萬花尺 Spirograph Art

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Lissajous apparatus

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Lissajous_animation

 

古代打鐵圖

 

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Lateral3

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一八一五年納撒尼爾‧鮑迪奇 Nathaniel Bowditch 首先研究了『一族曲線』,它是兩個沿著『互相垂直』方向的『正弦振動』之合成的『軌跡』。一八五七年朱爾‧安托瓦內‧利薩茹 Jules Antoine Lissajous 作了詳細研究。他同時利用『一束光』射向固定在一個『音叉』上的『鏡子』,再將『反射光』又導往固定在另一個『音叉』上的一面『鏡子』,之後的這一個音叉的振動方向與之前的那一個垂直,一般所使用的振動頻率也不同,最終反射光就在牆上形成了今天所說的『利薩茹圖形』。假使從『音樂』的角度來看,這就是兩個『音符』同奏或接續時,所產生的一種特定的『頻率』harmonic interval 之間『和諧』與否的關係!!

數學上,利薩茹 Lissajous 曲線可以用『參數方程式』表示為

x = A \sin(2 \pi f_a \ t + \delta)
y = B \sin(2 \pi f_b \  t)

這族曲線的『外貌』與兩個振動之『頻率比\frac{f_a}{f_b} 有很大的關係。如果它是最簡『有理數\frac{f_a}{f_b} = \frac{n}{m},此處 n, m 是自然數,這條曲線是靜止『封閉的』,在 x 軸上有 n 個『波瓣』,以及在 y 軸上有 m 個『波瓣』。假使比值是『無理數』,這條曲線看起來在『旋轉』。兩振動的『振幅』之比值 \frac {A}{B} 確定了此曲線相對的『長與寬』;兩振動之間的『相位差\delta 決定了曲線外貌的『旋轉角』。

傳說中畢達哥拉斯發現『音律』有一段美麗的故事。有一天他偶然經過『打鐵鋪』店門口,卻為『打鐵』時有『節奏』而且『悅耳』的聲音所吸引。他感覺到很『驚奇』,於是走進了鋪中『觀察』,『研究』後發現四個『打鐵錘』的『重量比』恰為 『12:9:8:6』。假使將之兩兩一組拿來敲打,『12: 6= 2:1』、『12 : 8 = 9:6 = 3:2』和『12:9=8:6=4:3』的組合都能發出『和諧』的聲音。之後畢達哥拉斯更進一步用『弦琴』來做『實驗』並且加以『驗證』,這就是著名之『弦琴律』的由來!!

如果在一台『示波器』上 CH1 輸入 x 軸信號,CH2 輸入 y 軸信號,這時你就可以用示波器來觀察它所顯示的曲線,並且衡量出這兩個信號的『頻率比』以及『相位差』。在專業聲音的領域,通常利薩茹曲線用來分析『左右』聲道的『立體聲信號』stereo audio signal 之間的『相位關係』。假使你正研究一個『線性非時變系統』的『電路』,因此『輸入信號』的頻率就一定會與『輸出信號』的頻率『相同』。由於物理的『因果原理』要求『輸出信號』發生在『輸入信號』之後,所以輸出入間的『相位關係』將如左圖所示,應當都是『負值』。這個情況下,你可以相當『精確』的『測量』相位差,也就是說這個 LTI 系統的『響應遲延』。

在沒有『示波器』的時代,有一種使用『單擺』的機械『繪圖工具』,稱之為『諧振記錄器』harmonograph。大約在十九世紀中葉出現,傳聞是英國蘇格蘭格拉斯哥大學 University of Glasgow 數學教授休‧布来克本 Hugh Blackburn 所發明的。一個簡單『橫向的』 lateral 諧振記錄器上的兩個『阻尼單擺』運動方程式,可以數學上表示為
x(t) = A_1 \sin (tf_1 + p_1) e^{-d_1t} + A_2 \sin (tf_2 + p_2) e^{-d_2t}
y(t) = A_3 \sin (tf_3 + p_3) e^{-d_3t} + A_4 \sin (tf_4 + p_4) e^{-d_4t}

,式中 A_i, \ i=1 \cdots 3 是『幅度大小』、f_i, \ i=1 \cdots 3 是『角頻率』、p_i, \ i=1 \cdots 3 是『相位角』以及 d_i, \ i=1 \cdots 3 為『阻尼常數』。在這個裝置上 x(t) 控制『繪圖筆』的 x 軸運動,y(t) 控制『繪圖板』的 y 軸運動,通常繪出的圖形也是『利薩茹』一類的相關曲線。

二零一一年 JM Gustafson 先生發表了一個『虛擬的諧振記錄器模擬軟體,有興趣的讀者可以到那兒去『玩玩』,嘗試設計不同的『單擺參數』,『創造』自己喜歡的『美麗曲線』!!

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內旋輪線參數方程式參考圖

地球繞著太陽轉,月亮繞著地球轉。兩個週期運動耦合起來,卻是複雜萬端。月球軌道以二十七點三二天環繞地球一周。地球和月球的質心在距地心四千七百公里處,各自圍繞著質心運轉。月球與地球中心的平均距離是三十八萬五千公里,約為地球半徑的六十倍。軌道的平均速度是一千零二十三公里/秒,月球在恆星背景上大約每小時移動 0.5°,軌道的平均離心率是0.0549。非圓形的軌道導致從大地上賞月時,視直徑的大小和角速度上都有著顯著的變化。對一位假想在質心上的觀測者而言,月球每天的平均角位移量是向東 13. 176358°,然而軌道的指向在空間中卻不固定,而是隨著時間不斷的進動;其一是拱點線的進動,橢圓形的月球軌道慢慢的逆時鐘方向轉動,一周需要三千兩百三十三天。另一是月球軌道與黃道的交點對的進動,一圈長達十八點六年。

果真簡諧運動的耦合,也許是和諧的,未必是簡單的!!

一八八零年代波蘭數學家 Bruno Abakanowicz 發明了『螺旋圖』Spirograph 。一九六四年英國工程師德尼斯‧費舍爾 Denys Fisher 發現使用多種『大小比值』不同的兩個內外『圓形齒輪』,當『內小圓形齒輪』上不同的『筆洞位置』在『外大圓形齒輪』上『循著圓周』轉動時,可以畫出各種美麗的『內旋輪線』 hypotrochoid 以及『外旋輪線 』epitrochoid。在經過一番齒輪『大小比值』與筆洞『位置比值』的研究後,費舍爾於隔年一九六五年的德國 Nuremberg 國際玩具展將之發表上市。由於它所繪出的『圖案』令人聯想到『萬花筒』 ,所以被我們叫做『萬花尺』。這是一個曾經『流行』過的『益智玩具』,其實它是了解『周期運動』組合的『複雜性』很好的『工具』。萬花尺內旋輪線的參數方程式可以表示為

\begin{array}{rcl} x(t)&=&R\left[(1-k)\cos t+lk\cos \frac{1-k}{k}t\right] ,\\[4pt] y(t)&=&R\left[(1-k)\sin t-lk\sin \frac{1-k}{k}t\right] .\\\end{array}

此處 R 是『外大齒輪』的半徑,k=\frac{r}{R} 是大小齒輪的『半徑比0\le k \le 1l=\frac{\rho}{r} 是筆洞所在位置到『內小齒輪』圓心的距離與『內小齒輪』半徑的比值 0\le l \le 1

網路上有一個『Spirograph Art』的網頁,假使讀者有興趣的話,不妨前去看看。

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踏雪尋梅!!

梅花

踏雪尋梅

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傳說『梅花詩』有十首是宋代『卜算』以及『易理』 的大師『邵康節』先生之所著。這十首詩詞每首四句詩文,每一句詩中文字,都是用來預言之『意境』與『意象』。也許他想『推測』的是假使『時空變換』後,誰將會如何的『興起』又誰將會如何『衰亡』之事!!

宋‧邵康節‧梅花詩


蕩蕩天門萬古開,幾人歸去幾人來;
山河雖好非完璧,不信黃金是禍胎。

湖山一夢事全非,再見雲龍向北飛;
三百年來終一日,長天碧水歎瀰瀰。

天地相乘數一原,忽逢甲子又興元;
年華二八乾坤改,看盡殘花總不言。

畢竟英雄起布衣,朱門不是舊皇畿;
飛來燕子尋常事,開到李花春已非。

胡兒騎馬走長安,開闢中原海境寬;
洪水乍平洪水起,清光宜向漢中看。

漫天一白漢江秋,憔悴黃花總帶愁;
吉曜半升箕斗隱,金烏起滅海山頭。

雲霧蒼茫各一天,可憐西北起烽煙;
東來暴客西來盜,還有胡兒在眼前。

如棋世事局初殘,共濟和衷卻大難;
豹死猶留皮一襲,最佳秋色在長安。

火龍蟄起燕門秋,原璧應難趙氏收;
一院奇花春有主,連宵風雨不須愁。

數點梅花天地春,欲將剝復問前因;
宸中自有承平日,四海為家孰主賓。

更早的《推背圖》傳說是唐太宗『李世民』貞觀年間令兩位天相家『李淳風』和『袁天罡』所推衍,為的是預知唐朝國運。李淳風使用周易八卦進行推算,沒想到李淳風一大衍起來竟然演算到了唐代之後中國兩千多年的未來,直到袁天罡推了推李淳風的背,說道:『天機不可再洩,還是回去休息吧!』,因是之故這本書就得名為《推背圖》。

那麼科學上如何看待『預言』的呢?比方講一七四四年瑞士大數學家和物理學家萊昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 在《尋找具有極大值或極小值性質的曲線,等周問題的最廣義解答》 Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti 論文中,非常清晰明白的給出『最小作用量原理』的定義

假使一個質量為 M,速度為 v 的粒子移動無窮小距離 ds 時。這時粒子的動量為 M \cdot v,當乘以此無窮小距離 ds 後,給出 M \cdot v \ ds ,這是粒子的動量作用於無窮小『路徑ds 距離之上。我宣稱︰在所有連結『始終』兩個端點的可能『路徑』之中,這個粒子運動的真實『軌跡』是 \int_{initial}^{final}  M \cdot v \ ds 為最小值的『路徑』;如果假定質量是個常數,也就是\int_{initial}^{final}  v \ ds 為最小值的『軌道』。

也就是說,在所有連結『始終』兩個端點的可能『路徑path 之中, 粒子所選擇的『路徑』是『作用量A = \int_{path}  M \cdot v \ ds 泛函數的『極值』,這是牛頓第二運動定律的『變分法』Variation 描述。如果從今天物理能量的觀點來看 A = \int_{path}  M \cdot v \ ds = \int_{path}  M \cdot v \ \frac {ds}{dt} dt = \int_{path}  M \cdot v^2 dt = 2 \int_{path} T dt,此處 T = \frac{1}{2} M v^2 就是粒子的動能。因為牛頓第二運動定律可以表述為 F = M \cdot a = \frac {d P}{dt}, \ P = M \cdot v,所以 \int_{path}  \frac {d P}{dt} ds = \int_{path}  \frac {d s}{dt} dP = \int_{path}  v dP  = \Delta T = \int_{path}  F ds

假使粒子所受的力是『保守力』conservative force,也就是講此力沿著任何路徑所作的『』work 只跟粒子『始終』兩個端點的『位置』有關,與它行經的『路徑』無關。在物理上這時通常將它定義成這個『力場』的『位能V = - \int_{ref}^{position}  F ds,於是如果一個粒子在一個保守場中,\Delta T + \Delta V = 0,這就是物理上『能量守恆』原理!舉例來說重力、彈簧力、電場力等等,都是保守力,然而摩擦力和空氣阻力種種都是典型的非保守力。由於 \Delta V 在這些可能路徑裡都不變,因此『最小作用量原理』所確定的『路徑』也就是『作用量A 的『極值』。一七八八年法國籍義大利裔數學家和天文學家約瑟夫‧拉格朗日 Joseph Lagrange 對於變分法發展貢獻很大,最早在其論文《分析力學》Mecanique Analytique 裡,使用『能量守恆定律』推導出了歐拉陳述的最小作用量原理的正確性。

從數學上講運動的『微分方程式』等效於對應的『積分方程式』,這本不是什麼奇怪的事,當人們開始考察它的『哲學意義』,可就引發很多不同的觀點。有人說 F = m a 就像『結果 \propto 原因』描繪『因果』的『瞬刻聯繫』關係,這是一種『決定論』,從一個『時空點』推及『無窮小時距dt 接續的另一個『時空點』,因此一旦知道『初始狀態』,就已經確定了它的『最終結局』!有人講 A = \int_{initial}^{final}  M \cdot v \ ds 彷彿確定了『目的地』無論從哪個『起始處』出發,總會有一個『通達路徑』,這成了一種『目的論』,大自然自會找到『此時此處』通向『彼時彼處』的『道路』!!各種意義『詮釋』果真耶?宛如說『花開自有因,將要為誰妍』??

所謂『科學的預言』不過是依據『條件』應用『自然律』所得到的『邏輯結論』罷了!設使『條件』正確,『定律』無誤,『推演』合理,若說『結果』不發生,怕也是『不可能』的了!也許本就不該有『環保問題』,因為對於孕育『人類生命』的『地球』理當懷著『謝天』的情懷,自然應該『愛惜保護』自己棲息的『大地』。並非是一再問著已經『氣候變遷』了嗎?或祇是不怕不悔,就怕是悔之晚矣!!

 

愛彌兒!?

讓‧雅克‧盧梭 Jean-Jacques Rousseau,生於一七一二年六月二十八日,卒於一七七八年七月二日,是位歐洲『啟蒙時代』的法國思想家、哲學家、政治理論家以及作曲家。盧梭之《科學和藝術的進步對改良風俗是否有益》和《論人類不平等的起源與基礎》的論述﹐確定了他在哲學史上的重要地位。尤其他的《社會契約論》之『民權』與『民主』政治哲學思想深深影響了『啟蒙運動』,這也許是引發了『法國大革命』的『誘因』。

 

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盧梭自己說《愛彌兒:論教育》Émile: ou De l’éducation 是『我的所有作品中最好且最重要的一部』。

愛彌兒是一本關於『人類天性』的『哲學故事』,致力於探究那些『個人與社會』關係之『政治和哲學』的問題;其內容特別注重『一個人』如何能夠在『不可避免趨於墮落』的社會中,還可以保持著『天性中的良善』。

無論是『中醫』或者『西醫』,用『杏林』一詞來指稱『醫學界』都是個常見的『辭彙』。那麼『杏林』這個語詞是怎麽來的呢?根據《太平廣記》上的記載,『杏林』一詞的由來,是出自三國時代名醫『董奉』的『神人傳奇』。董奉是東漢末年三國初期的東吳名醫,他的醫術高明能妙手回春,更因其高尚的『醫德修養』稱名於世。董奉他有『精湛的醫術』卻是不重視『名利』,為人又『樂善好施』,由於他的崇高的醫德為人們所敬仰與傳頌,遂成了『千古佳話』,因此『杏林』也就成為『有德醫者』的代稱的了。

太平廣記‧卷十二‧董奉

董奉者,字君異,候官人也。吳先主時,有少年為奉本縣長,見奉年四十餘,不知其道。罷官去,後五十餘年,複為他職,得經候官,諸故吏人皆老,而奉顏貌一如往日。問言『君得道邪?吾昔見君如此,吾今已皓首,而君轉少,何也?』奉曰:『偶然耳。』又杜燮為交州刺史,得毒病死,死已三日,奉時在彼,乃往,與藥三丸,內在口中,以水灌之,使人捧舉其頭,搖而消之,須臾,手足似動,顏色漸還,半日乃能坐起,後四日乃能語。雲:『死時奄忽如夢,見有十數烏衣人來,收燮上車去,入大赤門,徑以付獄中。獄各一戶,戶才容一人,以燮內一戶中,乃以土從外封塞之,不復見外光。忽聞戶外人言雲:‘太乙遣使來召杜燮’,又聞除其戶土,良久引出。見有車馬赤蓋,三人共坐車上,一個持節,呼燮上車。將還至門而覺,燮遂活。』因起謝曰:『甚蒙大恩,何以報效?』乃為奉起樓於庭中。奉不食他物,唯啖脯棗,飲少酒,燮一日三度設之。奉每來飲食,或如飛鳥,騰空來坐,食了飛去,人每不覺。如是一年餘,辭燮去。燮涕泣留之不住,燮問欲何所之,莫要大船否。奉曰:『不用船,唯要一棺器耳。』燮即為具之,至明日日中時,奉死,燮以其棺殯埋之。七日後,有人從容昌來,奉見囑雲:『為謝燮,好自愛理。』燮聞之,乃啟殯發棺視之,唯存一帛。一面畫作人形,一面丹書作符。後還豫章廬山下居,有一人中有癘疾,垂死,載以詣奉,叩頭求哀之。奉使病人坐一房中,以五重布巾蓋之,使勿動。病者雲:『初聞一物來舐身,痛不可忍,無處不匝。量此舌廣一尺許,氣息如牛,不知何物也。良久物去。』奉乃往池中 ── 明鈔本池中作除巾 ──,以水浴之,遣去,告雲:『不久當愈,勿當風。』十數日,病者身赤無皮,甚痛,得水浴,痛即止。二十日,皮生即愈,身如凝脂。後忽大旱,縣令丁士彥議曰:『聞董君有道,當能致雨。』乃自繼酒脯見奉,陳大旱之意。奉曰:『雨易得耳。』因視屋曰:『貧道屋皆見天,恐雨至何堪。』令解其意,曰:『先生但致雨,當為立架好屋。』明日,士彥自將人吏百餘輩,運竹木,起屋立成。方聚土作泥,擬數裏取水。奉曰:『不須爾,暮當大雨。』乃止。至暮即大雨,高下皆平,方民大悅。奉居山不種田,日為人治病,亦不取錢。重病癒者,使栽杏五株,輕者一株。如此數年,計得十萬余株,郁然成林。乃使山中百禽群獸,遊戲其下。卒不生草,常如芸治也。後杏子大熟,于林中作一草倉,示時人曰:『欲買杏者,不須報奉,但將穀一器置倉中,即自往取一器杏去。』常有人置穀來少,而取杏去多者,林中群虎出吼逐之,大怖,急挈杏走,路傍傾覆,至家量杏,一如穀多少。或有人偷杏者,虎逐之到家,嚙至死。家人知其偷杏,乃送還奉,叩頭謝過,乃卻使活。奉每年貨杏得穀,旋以賑救貧乏,供給行旅不逮者,歲二萬餘斛。縣令有女,為精邪所魅,醫療不效,乃投奉治之,若得女愈,當以侍巾櫛。奉然之,即召得一白鼉,長數丈,陸行詣病者門,奉使侍者斬之,女病即愈。奉遂納女為妻,久無兒息。奉每出行,妻不能獨住,乃乞一女養之。年十餘歲,奉一日竦身入雲中去。妻與女猶存其宅,賣杏取給,有欺之者,虎還逐之。奉在人間三百餘年乃去,顏狀如三十時人也。

 

或許今天的人們需要《老子》之『虛心實腹』哲學,常體會『虛其心』方可與『自然萬象』產生『共鳴』;勢必將『實其腹』才能夠用『共振』之法『移風易俗』,終於至『力無虛發』的『作功』 !所謂『』『』相長是『原理』和『實務』在『時空』中彼此『交互作用』的現象。於是設若『師生』中能有深厚之『情誼』,那麼『』『』間發生的『共鳴』與『共振』,就是『知識』或先來或後到的『放大器』,甚至可以發生少有的『波瀾壯闊』之『學問駐波』,因是之故在人類社會的『教育歷史』上,這個現象如果『成真』,常常會成為『杏壇佳話』!!

 

【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《四下》

波的傳播除了『頻率』之外,『波長』也是重要的因素,尤其在考慮波的『輻射』與『散射』現象的時候。常溫下聲波速度約為 343.2 米/秒,從一個『邊長』是 d 的共振腔共振時『半波長』的『整數倍』來看,它是否可以用來度量『聲源』的『尺寸』大小的呢?假使以『音律』中『十二平均律』的鋼琴『中央 C』261.6 赫茲來作計算,聲波波長大約是 1.312 米。『紅嘴相思鳥』鳴叫聲,以基本音調為主,頻率範圍大約為 2.50 ~ 3.80 千赫,主峰在 1.82 千赫,波長是 18.86 公分。當一隻鳥在發現略食者在周遭時,會發出警告同伴的鳴叫聲,它的頻率大約是 7000 Hz,波長約為 4.90 公分。『蟋蟀』的蟲鳴聲頻率範圍很廣 3 ~ 50 千赫,通常是相當純的律音,主峰在四、五千赫,次峰在十四千赫。以主峰 4.5 千赫計算大約 7.63 公分。 『人類』的發聲頻率範圍約為 85 ~ 1100 赫茲,假使說以低音 85 赫茲來講,波長為 4.04 米;『』的發聲頻率範圍是 452~ 1800 赫茲,波長是 75.93 公分;『』的發聲頻率範圍是 760 ~ 1500 赫茲,波長是 45.15 公分。如此看來『半波長』果然可以看成一根『估量的尺』,假使一個物體沒有明顯的『長寬高』,比方說像一個『』,它的共振波長 \lambda_H \propto \sqrt[3] V 正比於『體積立方根』也就是『想當然耳』的了!!

Tweeter

Midrange-speaker

Loudspeaker-bass

250px-Subwoofer

大聲公

蟲鳴鳥叫

然而人的『聽覺範圍』是從 20  到 20k Hz,一個二十赫茲的聲音波長有 十七點一六米那麼長,這樣一個『音響喇叭』又要多大才能夠『共振』的呢?因為即使對『中央 C』來講,半波長也有 65.6 公分那麼長。所以一般動力『揚聲器』Loudspeaker 是用『聲波輻射』原理來設計的。

聲學裡一個『脈動球』 Pulsataing  Sphere 『聲源

脈動球

是一個『半徑』在 r_0 附近 dr << r_0 以『頻率f 作『簡諧振動』的球,假使球的半徑遠小於聲波『波長\lambda >> r_0,多個波長距離之外的遠處『聲場強度I \propto I_0^2 \cdot \frac {f^2}{{r_0}^4},此處 I_0 是聲源振幅。其實假使 r_0 \rightarrow 0 它可以看成『點聲源』,比方講這就可以計算典型『揚聲器』的圓形『振動膜』所產生的『聲場』。因此也就可以了解為了追求『高傳真』 HiFi 的『聲音品質』,揚聲器分開了『高音』、『中音』以及『低音』喇叭設計的原故。以及現今為了加強『影音』的『震撼力』與『臨場感』採用杜比  AC3 5.1 規格,它有五個『喇叭』加上一個『超重低音』音箱的因由。

當人們在戶外,有時『拗著手』作『大聲公』狀來『叫人』,它是可以用『共振』和『輻射』來作解釋的嗎?每當夜深人靜時,『蟲鳴鳥叫』聲又為什麼會『擾人清夢』的呢??

也許越『理解』大自然,人們就越可能『欣賞』大自然的『』吧!又或許果真是『處處靜觀皆自得』的啊!!

笛子』Dizi 一根頗有『東方風味』的『樂器』,曾經有人依據

呂氏春秋》古樂

昔黃帝令伶倫作為律。伶倫自大夏之西,乃之阮隃之陰,取竹於嶰谿之谷,以生空竅厚鈞者、斷兩節間、其長三寸九分而吹之,以為『黃鐘之宮』,吹曰『舍少』。次制十二筒,以之阮隃之下,聽『鳳皇之鳴』,以別十二律。其雄鳴為六,雌鳴亦六,以比黃鐘之宮,適合。黃鐘之宮,皆可以生之,故曰黃鐘之宮,『律呂』之本。黃帝又命伶倫與榮將鑄十二鐘,以和五音,以施英韶,以仲春之月,乙卯之日,日在奎,始奏之,命之曰『咸池』。

認為笛子為伶倫所制。又有人比較相信另一則傳說

北宋李昉太平御覽‧卷五百八十‧樂部十八‧笛

樂書》曰:笛者,滌也,丘仲所作。可以『滌盪邪氣,出揚正聲』。 是故列和善吹,裁十二之音應律。荀勖樞問,依三尺二調成均,剪雲夢之霜筠,法龍吟之異韻。三孔為龠,文舞執之,邠人吹也。五孔為笛,祴里衩,周師掌之。六 孔為笛,羌人吹之。七孔下調,漢部用也。今之七 星,古之長笛。一定為調,合鍾磬之均,各有短長,應律呂之度,雅樂部內咸用之。

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Dizi(F)

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吹笛』時,進入笛內的『氣流』呈現『螺旋』方式打轉前進,直到離開笛子為止,在此過程中管內『空氣柱』依據笛腔的『直徑』和『長度』,發生不同頻率的『共振』,因而產生了『音高』。

笛子的按孔原是等距排列的。為了能夠得到較為準確的半音,而將右邊二孔的距離增大,左邊二孔和中間二孔的距離減小。過去笛子原本沒有『笛膜』,很可能是在蓋住意外多鑽出來的孔時,偶然間發現有膜覆蓋比原先的音色更加清脆。然而『笛竹』製的『竹膜』容易破碎,『腸衣膜』的音色不如竹膜清脆。『蘆葦笛膜』兼兩者之長,故為現今普遍使用。

音高指法
M = 口片
D = 笛膜
X = 蓋孔
O = 開孔
U = 半蓋孔

M D | X X X | X X X = E
M D | X X X | X X O = F#
M D | X X X | X U O = G
M D | X X X | X O O = G#
M D | X X X | O O O = A
M D | X X O | O O O = B
M D | X O O | O O O = C#6
M D | O X X | O O O = D
M D | O O O | O O O = Eb
M D | O X X | X X X = E
M D | X X X | X X O = F#
M D | X X X | X U O = G
M D | X X X | X O O = G#
M D | X X X | O O O = A
M D | X X O | O O O = B
M D | X O O | O O O = C#7
M D | O X O | X X X = D
M D | O O O | O O O = Eb
M D | O X X | X X X = E
M D | X X O | X X O = F#
M D | X O X | X O X = G#
M D | X O X | O O O = A
M D | O X X | X X O = B

 

── 在今日,好的樂器製造還是一門藝術的工藝!!──

 

【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《四上》

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一九七九年秋,河南省漯河市舞陽縣北舞渡鎮西南一點五公里的『賈湖村』村民修築護村堤時,村裡小學師生在取土坑內墾荒種地發現時了一個『遺址』,是一個『新石器時代』文化遺址,距今約為九千年至七千七百年前 。其後幾度發掘後發現了幾個『最早』︰『最早的契刻龜甲符號』、『最早的稻作遺跡』 、『最早的古酒釀造』以及『最早的骨笛』。

賈湖骨笛』是用鶴類動物的『尺骨』鋸去兩端關節鑽孔而成 。長約二十二點七公分,笛身上有小孔或用以調整個別孔的『音差』,推測它的製作方法和過程,與現在『民俗管樂器』的製法很相似。從五孔、六孔、七孔到八孔的發展,可以吹奏四階 、五階、六階至七階以及變化音 ,改寫了『先秦音樂史』中只有『五階音域』的歷史考據 。『賈湖骨笛』有七階高低階音域。它的形制固定且製作十分規範,極具音樂表現力,多數可達兩個『八度音域』以上。

如果用『賈湖骨笛』來吹奏一曲『流浪者之歌』,不知是否能帶人們進入『悉達多』追求的最終『知識』及『和平』之境的嗎??

一根『震盪的弦』即使演奏悠揚的樂章,或因『聲小音微』無法能推動『大氣介質』,也許需要『共振腔』Resonator 產生『共鳴』來放大聲音。

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Speakers

在《【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《四下》》一文之中,我們談到了『駐波』的形成,『共振腔』的目的就是產生『駐波共振』,使得『聲源』能夠有效的在空氣中放大『傳播』或者產生『聲波輻射』。一八六三年德國物理學家赫爾曼‧馮‧亥姆霍茲 Hermann von Helmholtz  所著之《作為樂理的生理學基礎的音調感受的研究》On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music 對之後的音樂學者產生了重大的影響。他發明了『亥姆霍茲共振腔』 Helmholtz resonator 以研究『正弦波』Sin Wave 的『頻率』和『音高』,它的共振頻率是 f_{H} = \frac{v_{sound}}{2\pi}\sqrt{\frac{A}{V L_{eq}}},此處 A 是頸口的『截面積』,V 為共振腔之『體積』,L_{eq} 是『等效』的頸長,它的成因是由於聲波的頸口『輻射』之故 。通常擁有『共振腔』的『樂器』中不同之『幾何形狀』、『構造材質』與『製作工法』會影響樂器的『共振頻域』以及『音色』。
假使說只考慮『幾何形狀』,一個『頸口通風』足夠大的『有頸球形共振腔』會有這樣的關係式
D=\sqrt[3]{\frac{3d^2v_{sound}^2}{8\pi^2 Lf^2}}
,此處
D 是球的直徑
d 是頸口的直徑
v_{sound} 是聲速
L 是頸長
f 是共振頻率

那麼它又為什麼會與『亥姆霍茲共振腔』所『表達的』基本上是一樣的呢?或許可以說到底什麼是所謂的『透氣』 vented 的呢??比方講一個『無頸的通風球體』,它的共振關係式是 D=17.87\sqrt[3]{\frac{d}{f^2}}
,此處
D 是球的直徑
d 是頸口的直徑
f 是共振頻率

,這樣又能夠告訴我們一些什麼不一樣的嗎?
假使我們知道一般的音響之『音箱喇叭』,通常會用著『大大小小』的『方形共振腔』,於是我們可以知道它的『共振頻率』就應該是
f = {v_{sound} \over {2 \cdot \pi}} \sqrt{\left({l \over L_x}\right)^2 + \left({m \over L_y}\right)^2 + \left({n \over L_z}\right)^2}
,這樣是否就有助於了解『聲源傳播』的呢??

 

─── 同中見異和異中求同,終究還是不容易的啊!!───