4 | 9 月 | 2016 | FreeSandal

雖然司乃耳定律的數學表達式

$n_{in} \cdot \sin ( {\theta}_{in} ) = n_{out} \cdot \sin ( {\theta}_{out} )$

可依應用之方便而改寫形式。甚至其物理推導方法多種多樣︰

從惠金斯原理推導

惠金斯原理表明，波前的每一點可以視為產生球面次波的點波源，而以後任何時刻的波前則可看作是正切這些次波的包絡。假設傳播速度為 $v$ 的波前，在時間 $t=0$ 為平面，在這波前的每一點所產生的球面次波，在時間 $t=\Delta t$ 已傳播了距離 $v\Delta t$ ，由於正切這些球面次波的包絡只能為平面，所以波前在時間 $t+\Delta t$ 為平面。波前傳播的方向垂直於這兩個相互平行的平面。

Huygens_principle

按照惠更斯作圖法，平面波的直線傳播與球面波的徑向傳播。

$260px-Wavefront_Refraction.svg$

惠更斯的分析

如上圖所示，光波從介質1傳播進入介質2，其入射角、折射角分別為 $\theta_1$ 、 $\theta_2$ ，傳播速度分別為 $v_1$ 、 $v_2$ ，假設 $v_1>v_2$ 。在時間 $t_{j}$ 時，光波的波前會包含點 $A_{j}$ 和點 $B_{j}$ 的位置，標記這時的波前為 $\overline {A_{j}B_{j}}$ 。假設時間 $t_{j}$ 與 $t_{{j+1}}$ 之間的間隔為常數 $\Delta t$ ，則以下幾個直線段之間的長度相等關係成立：

A_{0}A_{1}=B_{0}B_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=v_{1}\Delta t

、

A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=B_{3}B_{4}=v_{2}\Delta t

。

從波前 $\overline {A_{1}B_{1}}$ 的每一個點波源發射出的球面次波，分別在介質1、介質2的傳播速度為 $v_1$ 、 $v_2$ ， $\overline {A_{2}B_{2}}$ 必須正切這些球面次波。特別而言，在時間間隔 $\Delta t$ 之後，波前 $\overline {A_{2}B_{2}}$ 在介質1的部分必須平行於相距 $v_{1}\Delta t$ 的波前 $\overline {A_{1}B_{1}}$ ，而波前 $\overline {A_{2}B_{2}}$ 在介質2的部分必須正切從點波源 $A_{1}$ 發射出的半徑為 $v_{2}\Delta t$ 的球面次波。所以，在通過界面時，會出現彎曲的波前 $\overline {A_{2}B_{2}}$ 。

由於光波傳播的方向垂直於波前，所以在介質1、介質2裏，波前與界面之間的夾角分別等於入射角 $\theta_1$ 、折射角 $\theta_2$ 。直線段長度 $B_{1}B_{3}$ 與 $A_{1}A_{3}$ 之間的關係為

B_{1}B_{3}/\sin \theta _{1}=A_{1}B_{3}=A_{1}A_{3}/\sin \theta _{2}

。

即

{\frac {v_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{\sin \theta _{2}}}

。

應用折射率 $n$ 的定義式：

n\ {\stackrel {def}{=}}\ c/v

；

其中， $c$ 為光速。

總結，司乃耳定律成立：

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

；

其中， $n_{1}$ 、 $n_{2}$ 分別為介質1、介質2的折射率

從平移對稱性推導

假設對某系統整體做一個平移之後，這系統仍舊保持不變，則稱此系統具有平移對稱性。從平移對稱性，可以推導出司乃耳定律。^[10]這是建立於橫向均勻界面不能改變橫向動量的道理。由於波向量 k = ${\mathbf {k}}=(k_{x},k_{y},k_{z})$ 與光子的動量成正比，假設介質1、介質2的界面垂直於z-方向，則在介質1、介質2裏的光波橫向傳播方向必須保持不變：

k_{{x1}}=k_{{x2}}

、

k_{{y1}}=k_{{y2}}

。

因此，

k_{1}\sin \theta _{1}=k_{2}\sin \theta _{2}

。

應用折射率 $n$ 的定義式：

n\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {c}{v}}={\frac {ck}{\omega }}

；

其中， $\omega$ 是光波的角頻率。

總結，司乃耳定律成立：

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

。

微觀至原子尺寸，雖然沒有任何界面是完全均勻的，假若精細至光波波長尺寸，傳播區域可以估視為均勻，則平移對稱性仍不失為優良近似。

重要的是掌握它的『物理意義』︰

$\frac{ \sin ( {\theta}_{in} ) }{{\lambda}_{in}} = \frac{\sin ( {\theta}_{out} )}{{\lambda}_{out}}$

，在介質裡以『波長』為尺度，相對於真空中光速是『常數』 $c$ ，所表達的意涵。這也就是

《光的世界︰【□○閱讀】話眼睛《三》》文本︰

再回顧球面折射『成像條件』︰

$\frac{1}{\frac{D_{in}}{N_{in}}} + \frac{1}{\frac{I_{out}}{N_{out}}} = \frac{1}{\frac{R}{N_{out} - N_{in}}}$ 。

之所以這麼表述的原故。這真的有意義嘛？且思上篇我們談過角膜光學環境之複雜性，實際上無法棌用『等效薄透鏡』的作法！若問為什麼呢？因為入、出介質加上透鏡材料可有三個不同的折射率，將要如何可能耶？？還得回到透鏡的基礎，『曲面折射』的了！！那麼為什麼上篇只講這個形式的呢？？？

可知在此環境中角膜之行列式不等於 $1$ ，而是 $\frac{n}{m}$ ，將要如何應用《光的世界︰矩陣光學六戊》方法將之化簡成『薄透鏡』呢？？或者能否化約為

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f_{eff}} & \frac{n}{m} \end{array} \right)$

類似球面屈光矩陣形式耶！！

難到不能簡化成

$\left( \begin{array}{cc} \frac{n}{m} & 0 \\ - \frac{1}{f_{eff}} & 1 \end{array} \right)$

乎！！！

此事看來固然數學上可行︰

pi@raspberrypi:~  ipython3
Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11) 
Type "copyright", "credits" or "license" for more information.

IPython 2.3.0 -- An enhanced Interactive Python.
?         -> Introduction and overview of IPython's features.
%quickref -> Quick reference.
help      -> Python's own help system.
object?   -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.

In [1]: from sympy import *

In [2]: from sympy.physics.optics import FreeSpace, FlatRefraction, ThinLens, GeometricRay, CurvedRefraction, RayTransferMatrix

In [3]: init_printing()

In [4]: Nin, f, Nout, Din, Iout, Rin, Rout, Nf, t = symbols('Nin, f, Nout, Din, Iout, Rin, Rout, Nf, t')

In [5]: 角膜前緣 = CurvedRefraction(Rin, Nin, Nf)

In [6]: 角膜厚度 = FreeSpace(t)

In [7]: 角膜後緣 = CurvedRefraction(Rout, Nf, Nout)

In [8]: 角膜 = 角膜後緣 * 角膜厚度 * 角膜前緣

In [9]: 角膜.C
Out[9]: 
                        ⎛ Nf    t⋅(Nf - Nout)⎞
            (-Nf + Nin)⋅⎜──── + ─────────────⎟
Nf - Nout               ⎝Nout     Nout⋅Rout  ⎠
───────── + ──────────────────────────────────
Nout⋅Rout                 Nf⋅Rin              

In [10]: 角膜等效矩陣 = RayTransferMatrix(1, 0, -1/f, Nin/Nout)

In [11]: 角膜等效矩陣
Out[11]: 
⎡ 1    0  ⎤
⎢         ⎥
⎢-1   Nin ⎥
⎢───  ────⎥
⎣ f   Nout⎦

In [12]: 角膜等效矩陣成像 = FreeSpace(Iout) * 角膜等效矩陣 * FreeSpace(Din)

In [13]: 角膜等效矩陣成像
Out[13]: 
⎡  Iout          ⎛  Iout    ⎞   Iout⋅Nin⎤
⎢- ──── + 1  Din⋅⎜- ──── + 1⎟ + ────────⎥
⎢   f            ⎝   f      ⎠     Nout  ⎥
⎢                                       ⎥
⎢   -1                Din   Nin         ⎥
⎢   ───             - ─── + ────        ⎥
⎣    f                 f    Nout        ⎦

In [14]: ((角膜等效矩陣成像.B.expand() / (Din * Iout)).expand() * Nout).expand()Out[14]: 
  Nout   Nout   Nin
- ──── + ──── + ───
   f     Iout   Din

In [15]:

水中光學果有何異焉☆

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光的世界︰【□○閱讀】話眼睛《五》

從惠金斯原理推導

從平移對稱性推導

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