25 | 3 月 | 2017 | FreeSandal

數理論述若是簡單易明恐有掛一漏萬之失，複雜難解常生白馬非馬之病。蓋因為概念間單行、雙向蘊涵之邏輯網，前前後後密密麻麻，上上下下難知何為本何為末！！圜圜回回怎曉哪是頭哪是尾？？此所以數學之惱人也。然而本末頭尾全是練習而來，書籍文章不過編織材料，自造學問之網自得之乎？倘有病失不在知識之過耶！

且讓我們借著等冪求和生成函數

$\sum \limits_{p=0}^{\infty} S_p(n-1) \frac{x^p}{p !} = \sum \limits_{p = 0}^\infty \left({\sum \limits_{k = 0}^{n - 1} k^p}\right) \frac {x^p} {p!} = \sum \limits_{k = 0}^{n - 1} e^{k x} = \frac {e^{n x} - 1} {e^x - 1} = G(x)$

起頭，談談操作自修吧！

首先

$S_0(n-1) = 0^0 + 1^0 + \cdots + {(n-1)}^0 = n$ ，但

$G(0) = \frac {e^{n \cdot 0} - 1 } {e^0 - 1} = \frac{0}{0}$ ，所以得用 L’Hôpital’s rule

$G(0) = \lim \limits_{x \to 0} \frac {e^{n x} - 1} {e^x - 1} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{n e^{n x}}{e^x} = n$ 。

那麼 $S_1(n-1) = 0^1 + 1^1 + \cdots + {(n-1)}^1 = \frac{n (n-1)}{2}$ 是否等於 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{dG(x)}{d x} = \lim \limits_{x \to 0} G^{'} (x)$ 呢？

$G^{'} (x) = {\left( \frac{e^{n x} - 1}{e^x - 1} \right)}^{'} = \frac{n e^{n x}}{e^x -1} - \frac{e^x (e^{n x} -1)}{{(e^x - 1)}^2}$

$= \frac{(n-1) e^x e^{nx} - n e^{nx} + e^x} {{(e^x - 1)}^2}, \ \to \frac{(n-1) - n +1}{0} = \frac{0}{0}$ 。由於

${\left( (n-1) e^x e^{nx} - n e^{nx} + e^x \right)}{'} = (n-1)(e^x e^{nx} + n e^x e^{nx}) - n^2 e^{nx} + e^x ,$

$\to (n-1) + n(n-1) - n^2 + 1 = 0$

${\left( {(e^x - 1)}^2 \right)}^{'} = 2 (e^x - 1) e^x, \ \to 0$

${\left( (n-1) e^x e^{nx} - n e^{nx} + e^x \right)}{''}$

$= (n-1) e^x e^{nx} + 2 n (n-1) e^x e^{nx} + n^2 (n-1) e^x e^{nx} - n^3 e^{nx} + e^x,$

$\to (n-1) + 2 n (n-1) + n^2 (n-1) - n^3 + 1 = n^2 - n$

${\left( {(e^x - 1)}^2 \right)}^{''} = 2 e^x (2 e^x - 1), \to 2$

$\therefore \lim \limits_{x \to 0} G^{'} (x) = \frac{n^2 - n}{2} = S_1(n-1)$ 。

莫笑作者癡，分明已有好工具︰

pi@raspberrypi:~ \frac{0}{0}x = 0e^{nx} - 1 = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{{(nx)}^k}{k !}e^{x} - 1 = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !}\frac{1}{e^{x} - 1}B_0 = 1B_0\lim \limits_{x \to 0} G_B(x) = 1\frac{\alpha \cdot x}{e ^x -1}\lim \limits_{x \to 0} \frac{\alpha \cdot x}{e ^x -1} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\alpha}{e^x}  = \alpha = 1 $ 了☆

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時間序列︰生成函數‧漸近展開︰白努利 □○《五》

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