3 | 4 月 | 2017 | FreeSandal

論語‧《先進》

子路、曾皙、冉有、公西華侍坐。子曰：「以吾一日長乎爾，毋吾以也。居則曰：「不吾知也！』如或知爾，則何以哉？」子路率爾而對曰：「千乘之國，攝乎大國之間，加之以師旅，因之以饑饉；由也為之，比及三年，可使有勇，且知方也。」夫子哂之。「求！爾何如？」對曰：「方六七十，如五六十，求也為之，比及三年，可使足民。如其禮樂，以俟君子。」「赤！爾何如？」對曰：「非曰能之，願學焉。宗廟之事，如會同，端章甫，願為小相焉。」「點！爾何如？」鼓瑟希，鏗爾，舍瑟而作。對曰：「異乎三子者之撰。」子曰：「何傷乎？亦各言其志也。」曰：「莫春者，春服既成。冠者五六人，童子六七人，浴乎沂，風乎舞雩，詠而歸。」夫子喟然歎曰：「吾與點也！」三子者出，曾皙後。曾皙曰：「夫三子者之言何如？」子曰：「亦各言其志也已矣。」曰：「夫子何哂由也？」曰：「為國以禮，其言不讓，是故哂之。」「唯求則非邦也與？」「安見方六七十如五六十而非邦也者？」「唯赤則非邦也與？」「宗廟會同，非諸侯而何？赤也為之小，孰能為之大？」

有說孔子弟子賢人七十二

四科十哲與著名弟子資料

古代尊師-孔子畫像據《史記》記載，孔子有弟子三千，其中精通六藝者七十二人，稱「七十二賢人」。孔子有十位傑出弟子，號稱孔門四科十哲：

在德行方面出眾的有：顏回（顏淵）、閔損（閔子騫）、冉耕（伯牛）、冉雍（仲弓）。在言語方面出眾的有：宰予（宰我）、端木賜（子貢）。在文學方面出眾的有：言偃（子游）、卜商（子夏）。在政事方面出眾的有：冉求（冉有）、仲由（子路）。十哲以外，在文學方面出眾的有顓孫師（子張）、曾參（子輿）、澹臺滅明（子羽）、原憲（子思）、公冶長（子長）、樊須（樊遲）、有若（子有）、公西赤（子華）。

出自《先進篇》。爾時子曰︰

莫春者，春服既成。冠者五六人，童子六七人，浴乎沂，風乎舞雩，詠而歸。

！所以五六得三十，六七得四十二，豈非加之得七十二賢乎？所以黃花岡特記載十二烈士耶？？若說拼湊數字，何數不可得，何況是大中取小也！！此與條條大道通羅馬之道理不可同日而語矣。

不是不可由白努利多項式的定義

$B_n(x) = \sum \limits_{k=0}^{n} \binom {n}k B_k x^{n-k}$ ，直接求導數

$B_n^{'}(x) = \sum \limits_{k=0}^{n} \binom {n}k (n-k) B_k x^{n-k-1}$

$= \sum \limits_{k=0}^{n-1} \binom {n}k (n-k) B_k x^{n-k-1}$

$= \sum \limits_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{k! (n-k)!} (n-k) B_k x^{n-k-1}$

$= \sum \limits_{k=0}^{n-1} n \cdot \frac{(n-1)!}{k! (n-k-1)!} B_k x^{n-1-k}$

$= n \cdot \sum \limits_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k B_k x^{n-1-k}$

$= n B_{n-1} (x)$ 。

不過是強調生成函數之應用法而已。

假使將 $x^m$ 改寫成

$= {\left( \frac{1}{2} + (x - \frac{1}{2}) \right)}^m$ ，那麼依據二項式定理

$= \sum \limits_{k=0}^m \binom {m}k {(\frac{1}{2})}^{m-k} {(x - \frac{1}{2} )}^k$ 。

所以 $B_n (x)$ 當然可用 ${(x - \frac{1}{2})}^m$ 作級數展開哩。

熟悉二項式係數恆等式者︰

有關二項式係數的恆等式

關係式

階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在k是正整數時，對任意n有：

${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}$
$\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}$
$\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.$

兩個組合數相乘可作變換：

\binom ni \binom im=\binom nm \binom {n-m}{i-m}

^{[參 2]}

一階求和公式

$\sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n}$
$\sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}$
$\sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}$
$\sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}$ ^{[參 3]}
$\sum _{r=0}^{n}r^{m}{\binom {n}{r}}=n(n+1)\cdots (n+m-1)2^{n-m}$

(1+e^{x})^{n}=\sum _{{r=0}}^{n}e^{{rx}}{\binom {n}{r}}

n(n-1)\cdots (n-m+1)(1+e^{0})^{{n-m}}=\sum _{{r=0}}^{n}r^{m}e^{0}{\binom {n}{r}}

$\sum_{i=m}^n \binom {a+i}{i} = \binom {a+n+1}{n} - \binom {a+m}{m-1}$

\binom {a+m}{m-1} + \binom {a+m}{m} + \binom {a+m+1}{m+1} + ... + \binom {a+n}{n} = \binom {a+n+1}{n}

$F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}$ ^{[參 4]}

F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}

主條目：朱世傑恆等式

$\sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}$

\binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1}

二階求和公式

$\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}$
$\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}=\binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1}$ ^{[參 5]}