時間序列︰生成函數‧漸近展開︰白努利 □○《十後》

『提問』其實不容易,『破題』往往費思量。若說整體部份能自洽 ,或得止觀觀止會通處耶?

以《止觀》來《觀止》,自能了解『整體』與『部份』的『自洽性』。就像拼圖』、數獨』以及燈謎』一樣,所求總在『整體』和『部份』之『契合』裡。這樣容易明白,一九七二年英國獨立的科學家、環保主義者和未來學家詹姆斯‧洛夫洛克 James Lovelock 提出的『蓋亞假說』 Gaia hypothesis ︰

地球整個表面,包括所有生命,構成一個自我調節的整體,這就是我所說的『蓋亞』。

簡單地說,蓋亞假說是指在生命與環境的相互作用之下,能使得『地球』適合『生命持續』的生存與發展。

維基百科上講︰

該觀點於 1972 年首次提出,主流科學家主要以其不夠嚴密為由堅決拒絕接受。 1981 年,這一觀點首次得到支持。當時,洛夫洛克創造出計算機模擬的反射或吸收太陽輻射的白色或黑色雛菊世界。由於雛菊的數量隨著普遍的表面溫度變化而相對改變,因此雛菊群維持全球氣溫均衡。此後,更多生物多樣性的複合模型提高了該系統的穩定性

當可以知道人們對『可計算』與『能度量』的堅持,有時忘卻了『不可計算性』和『測不準』的『科學』。怕只是『一時』以及『長遠』『○□難免』之爭的吧!

□︰ 『求解問題』有樂趣?『止觀觀止』能休閒嗎??

○︰ 煩惱即菩提

樂休『求不得』!

閒趣『止不了』!!


雖已『破題』,恐有人問到『題解』,『題解』倒是不知,或許能給些『提示』︰

讀錯□書⊙錯讀□書

天下一指、萬物一馬︰二進制

怎樣解題

‧ …… N. A.

,『藥引』嘛!問者自答!!

─── 摘自《M♪o 之 TinyIoT ︰ 《破題》

 

自問自答常可契合關鍵,當能自我啟蒙乎!

試求白努利多項式在單位閉區間 (k+1) - k = 1 之積分

\int_{k}^{k+1} B_n (x) dx

倘知 B_n^{'} (x) = n \cdot B_{n-1} (x), \ n \ge 1 ,可用

= \frac{1}{n+1} \int_{k}^{k+1} \frac{ d \ B_{n+1} (x) }{dx} dx

= \frac{1}{n+1} \cdot B_{n+1} (x) \left.  \right|_{k}^{k+1}

若知 B_n (x+1) = B_n (x) + n \cdot x^{n-1} ,能得

=  \frac{1}{n+1} \left( B_{n+1} (k+1) - B_{n+1} (k) \right)

= \frac{1}{n+1} \left( (n+1) k^{n} \right)

= k^n

 

或將知白努利多項式之『積分定義』矣。

Representation by an integral operator

The Bernoulli polynomials are the unique polynomials determined by

  \int_x^{x+1} B_n(u)\,du = x^n.

The integral transform

  (Tf)(x) = \int_x^{x+1} f(u)\,du

on polynomials f, simply amounts to

</span

This can be used to produce the inversion formulae below.

 

如是者,豈不敢踏上征途的哩☆

The asymptotics for the number of real roots of the Bernoulli polynomials

A new short clear proof of the asymptotics for the number cn of real roots of the Bernoulli polynomials Bn(x), as well as for the maximal root yn:

y_n = \frac{n}{2 \pi e} + \frac{\ln (n)}{4 \pi e} + O(1) and c_n = \frac{2 n}{\pi e} + \frac{\ln (n)}{\pi e} + O(1)

Comments: 5 pages, 4 figures, rearranged figures
Subjects: Number Theory (math.NT)
MSC classes: 11B68; 11B83
Cite as: arXiv:math/0606361 [math.NT]
  (or arXiv:math/0606361v2 [math.NT] for this version)

Submission history

From: Alexander Efimov [view email]
[v1] Thu, 15 Jun 2006 14:24:45 GMT (5kb)
[v2] Fri, 16 Jun 2006 06:03:55 GMT (5kb)

The asymptotics for the number of real roots of the Bernoulli polynomials