明代仇英繪《玉洞仙源圖》，現藏北京故宮博物院
桃花源
桃花源，出自陶淵明詩《桃花源詩》。詩的序《桃花源記》記述一個世俗的漁人偶然進入與世隔絕之地的奇遇記。
桃花源記
本文由晉朝文人陶淵明作於永初二年（421年），文章描繪了一個沒有戰亂，沒有壓迫，自給自足，人人自得其樂的社會，是當時的黑暗社會的鮮明對照，是作者與世人所嚮往的一種理想社會，它體現了人們的追求與想往，也反映出人們對現實的不滿與反抗。
原文
晉太元中，武陵人，捕魚為業。緣溪行，忘路之遠近。忽逢桃花林，夾岸數百步，中無雜樹，芳草鮮美，落英繽紛。漁人甚異之。復前行，欲窮其林。
林盡水源，便得一山。山有小口，彷彿若有光。便舍船，從口入。初極狹，纔通人。復行數十步，豁然開朗。土地平曠，屋舍儼然，有良田、美池、桑、竹之屬。阡陌交通，雞犬相聞。其中往來種作，男女衣著，悉如外人；黃髮、垂髫，並怡然自樂。
見漁人，乃大驚，問所從來。具答之。便要還家，設酒殺雞作食。村中聞有此人，咸來問訊。自雲先世避秦時亂，率妻子邑人來此絕境，不復出焉，遂與外人間隔。問今是何世，乃不知有漢，無論魏、晉。此人一一為具言所聞，皆嘆惋。餘人各復延至其家，皆出酒食。停數日，辭去。此中人語云：「不足為外人道也。」
既出，得其船，便扶向路，處處誌之。及郡下，詣太守說如此。太守即遣人隨其往，尋向所志，遂迷不復得路。
南陽劉子驥，高尚士也，聞之，欣然規往。未果，尋病終。後遂無問津者。
桃花源之美容易想像，桃花成林芳草落英怎不迷人！為何向路誌之不復得路呢？原居世外者自言︰不足為外人道也。無緣自是不得見的吧 。若問知性有美乎？果有，卻乏人問津？恐非無緣，怕是自己不想見哩！所以數學家到底在想些什麼？你非他，常常搞不懂也！不過就算是人非魚，有人能想出『出遊而從容，是魚之樂也。』？ ？那麼數學家所樂真無法得之嗎！！
作者偶因靈感，
『豆鵝狐人』之問題就是
《狐狸、鵝、豆子問題》
狐狸、鵝、豆子問題〔又稱狼、羊、菜問題〕是一則古老的智力遊戲題。
【問題】
有一個農民到集市買了一隻狐狸、一隻鵝和一袋豆子，回家時要渡過一條河。河中有一條船，但是只能裝一樣東西。而且，如果沒有人看管，狐狸會吃掉鵝，而鵝又很喜歡吃豆子。問：怎樣才能讓這些東西都安全過河？
【解答】
第一步、帶鵝過河；
第二步、空手回來；
第三步、帶狐狸〔或豆子〕過河；
第四步、帶鵝回來；
第五步、帶豆子〔或狐狸〕過河；
第六步、空手回來；
第七步、帶鵝過河。
在此『問』的『問題』是︰
如何將之用 pyDatalog 語言『改寫重述』，使得可以用『程式』來執行『推理』，得到『答案』的呢？
─── 摘自《勇闖新世界︰ 《 pyDatalog 》 導引《十》豆鵝狐人之問題篇》
，嘗寫序列文字，故而得識『豆鵝狐人』其人，得聞其事︰
我聽到有聲音說︰這裡是『數學桃花源』。我見到︰定義、原理、定律…鱗次櫛比之實物。那裡概念栩栩如生，色香味俱全。嚇的我一覺醒來……
。已經有前車之鑑，豈敢造次？？！！但其後又聞『符號算術』
class sympy.functions.combinatorial.numbers.bernoulli
Bernoulli numbers / Bernoulli polynomials
The Bernoulli numbers are a sequence of rational numbers defined by B_0 = 1 and the recursive relation (n > 0):
n
___
\ / n + 1 \
0 = ) | | * B .
/___ \ k / k
k = 0
They are also commonly defined by their exponential generating function, which is x/(exp(x) – 1). For odd indices > 1, the Bernoulli numbers are zero.
The Bernoulli polynomials satisfy the analogous formula:
n
___
\ / n \ n-k
B (x) = ) | | * B * x .
n /___ \ k / k
k = 0
Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials are related as B_n(0) = B_n.
We compute Bernoulli numbers using Ramanujan’s formula:
/ n + 3 \ B = (A(n) - S(n)) / | | n \ n /
where A(n) = (n+3)/3 when n = 0 or 2 (mod 6), A(n) = -(n+3)/6 when n = 4 (mod 6), and:
[n/6]
___
\ / n + 3 \
S(n) = ) | | * B
/___ \ n - 6*k / n-6*k
k = 1
This formula is similar to the sum given in the definition, but cuts 2/3 of the terms. For Bernoulli polynomials, we use the formula in the definition.
- bernoulli(n) gives the nth Bernoulli number, B_n
- bernoulli(n, x) gives the nth Bernoulli polynomial in x, B_n(x)
See also
bell, catalan, euler, fibonacci, harmonic, lucas
References
| [R91] | http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number |
| [R92] | http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomial |
| [R93] | http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html |
| [R94] | http://mathworld.wolfram.com/BernoulliPolynomial.html |
。心想又能探看『白努利多項式根』之鄉，或可不擾其清靜，因此方敢無所忌憚大膽說之也☆★
pi@raspberrypi:~ $ ipython3
Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11)
Type "copyright", "credits" or "license" for more information.
IPython 2.3.0 -- An enhanced Interactive Python.
? -> Introduction and overview of IPython's features.
%quickref -> Quick reference.
help -> Python's own help system.
object? -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.
In [1]: from sympy import *
In [2]: from sympy.plotting import plot
In [3]: init_printing()
In [4]: x = symbols('x')
In [5]: bernoulli(5,x)
Out[5]:
4 3
5 5⋅x 5⋅x x
x - ──── + ──── - ─
2 3 6
In [6]: plot(bernoulli(5,x), (x, -1,2), ylim = (-0.5, 0.5))
Out[6]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x74d0cad0>
In [7]: solve(bernoulli(5,x))
Out[7]:
⎡ 1 √21 √21 1⎤
⎢0, 1/2, 1, ─ + ───, - ─── + ─⎥
⎣ 2 6 6 2⎦
In [8]:
