不等式是數學家的寶貝,『證明定理』重要之工具︰
如果說任何一個『開區間』 ,無論 再小,都可以『一一對應』整體實數,是否會讓人『驚訝』的呢?也就是說一個『開區間』與整體『實數』是一樣『等級』之『無限大』的啊!!舉個例說 將 的區間,一一對應到了整體實數。假使將整體『實數』表達成
,此處 是一個包含著『端點』的『閉區間』。通常數學中有關『實數性質』的『分析』經常用著『開閉區間』來『論證』。從『自然數』是『可數的』無限大來看,『實數』可由可『列舉』 enumerate 的無窮多個『區間』之『聯集』構成。
假使 是『有理數』, 也是一個『有理數』,而且 ,這是『有理數』的『可分性』,也就是說任『兩個不等』的『有理數』之間『存在』另一個『有理數』,雖然『有理數』能夠無限的『密集』,它也只不過是『可數的』無限大。然而這種『密集性』不僅僅可以用來『逼近』一個『實數』,更可以藉著『不等式』與『整數』的『離散性』 ── 相鄰兩個『整數』 之間不存在另一個『整數』 ── 來論證種種『實數性質』,這也說明了『不等式』在『數學分析』裡的『重要性』。就像在『劉維爾數』 是個『無理數』的證明裡
假使它不是一個『無理數』,那麼 。 要是取足夠大的 使得 ,在 時有
,因此就與它的定義發生矛盾。
為什麼沒有提及『萬一』 的情況的呢?因為此時 ,這就違背了『劉維爾數』 的定義。又為什麼可以得到 的呢?由於 是『整數』,所以它的『差值』至少是個『一』之故。因此對於『不等式』而言,『等號』的『有無』有時是很不相同的,就像『開區間』與『閉區間』的性質也並不相同一樣。從觀察左圖就可以知道,『不等式』構成的『方程式』一般在『求解』上其實是非常『複雜的』。
─── 摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧下下‧上》
故而常藉著『底』 floor 函數 取『實數』 之『整數』部分,『頂』 ceiling 函數 取其『整數上界』。
Floor and ceiling functions
In mathematics and computer science, the floor and ceiling functions map a real number to the greatest preceding or the least succeeding integer, respectively. More precisely, floor(x) = is the greatest integer less than or equal to x and ceiling(x) = is the least integer greater than or equal to x.[1]
Floor function
Ceiling function
因此 。
此處以『通用符號』改寫 A. Efimov 先生
The asymptotics for the number of real roots of the Bernoulli polynomials
A new short clear proof of the asymptotics for the number cn of real roots of the Bernoulli polynomials Bn(x), as well as for the maximal root yn:
and
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From: Alexander Efimov [view email]
[v1] Thu, 15 Jun 2006 14:24:45 GMT (5kb)
[v2] Fri, 16 Jun 2006 06:03:55 GMT (5kb)
The asymptotics for the number of real roots of the Bernoulli polynomials
─ 摘自《時間序列︰生成函數‧漸近展開︰白努利 □○《十後》》
文本中所使用之符號 為 ,這裡 是 的『最大實數根』。且略為梳理內容,更正可能的打字錯誤,期望一路讀來者能對其『證明思路』更清晰而已。
◎
首先 ,因為所有白努利多項式在 區間中都有 的根。因此如果 ,該不等式 成立。這使得我們只需要考慮當 之情況,此時 、 。我們已知 有四種兩類,此處依其性質分成了兩項考察︰
◇
此時 ,由於 是奇次類白努利多項式的根, 這種偶次白努利多項式 ,故得 。 由多步公式
。
可知 、 。因為 是 之最大根,故知於 閉區間中至少有兩個以上的偶數根。 讓我們取其中最大的兩個。依羅爾定理,其間必有一點使得斜率為零 。此點也就是 之最大根 ,因此 ,所以 ,當然 。
◇
此時 。這種白努利多項式 在 閉區間裡滿足 ,由多步公式可得
。因此 。可知 ,其後恆增也 。故知 之最大根 必落 之前矣。其前有根乎?從 以及 知其有也。且因 與 同號,同理得知於 閉區間中至少有兩個以上的偶數根。同上可證 ,所以 。
※ 連續套用 與 ,可得
。
為什麼以 為中心立論呢?答案請參考上一篇。這裡只強調有值也。
。
※
。
而且 ,所以
。
◎ 之上下界
從 之定義前後推步可知 ,而且 。再由多步公式
,可得
。同理
,可得
。所以
。
然後借著
斯特靈公式
斯特靈公式是一條用來取n階乘近似值的數學公式。一般來說,當n很大的時候,n階乘的計算量十分大,所以斯特靈公式十分好用,而且,即使在n很小的時候,斯特靈公式的取值已經十分準確。
公式為:
這就是說,對於足夠大的整數n,這兩個數互為近似值。更加精確地:
或
計算簡化得出 。因為
,所以四種兩類白努利多項式 之 都有相同的漸近展開式,故得
也。
◎ 之計算
首先回顧白努利多項式 四種兩類的性質︰
因此除了 之外,我們可將白努力多項式 歸納成四種
、 、 、 ,兩類
◎ 偶次 類︰
在閉區間 嚴格遞增↗。從 負→零→正→正極大值 。
在閉區間 嚴格遞減↘。從正極大值 →正→零→負→ 。
◎ 奇次 類︰
在開區間 恆負 。從 → 。
在開區間 恆正 。從 → 。
─── 摘自《時間序列︰生成函數‧漸近展開︰白努利多項式之根《四》》
由於 是白努利多項式的對稱軸,而且 ,所以計算根的數目 時,只需考慮那些 之根的數目,然後將它乘二【※對稱根】加一【※ 是根】即可。
已知 ,也知 ,因此 至少有一根 ,故而 。
且讓我們考慮 這些整數。因為 ,由多步公式可得 。於是 在 閉區間裡沒有根。所以 。因著 以及從多步公式前推數值遞減可知 。故可歸結︰
‧ 於每個 閉區間中皆有根。
‧
‧
‧ 【 】
得出在每個 閉區間裡,根不在端點 處,同時為下凸形式 ,因此恰有 根之結論。 。
再從 ,可知
,能知
。故得
也☆