16 | 8 月 | 2017 | FreeSandal

承上篇細咀嚼『透視』是什麼？？所謂『線』之『名』 $l, l^{'}$ 虛字也！！

如果仔細考察 $y = f(x)$ ── 比方說 $y = x^2$ ──，那麼『函數 $f$ 』是什麼呢？『變數 $x, y$ 』又是什麼呢？如果從函數定義可以知道『變數』並不是什麼『會變的數』，而是規定在『定義域』或者『對應域』中的『某數』的概念，也就是講在該定義的『集合元素中』談到『每一個』、『有一個』和『恰有一個』…的那樣之『指稱』觀念。這能有什麼困難的嗎？假使設想另一個函數 $z = w^2$ ，它的定義域與對應域都和函數 $y = x^2$ 一樣，那麼這兩個函數是一樣還是不一樣的呢？如果說它們是相同的函數，那麼這個所說的『函數』就該是『 $\Box^2$ 』，其中 $y, z$ 『變數』只是『命名的』── 函數的輸出之數 ──，而且 $w, x$ 『變數』是『虛名的』── 函數的輸入之數 ──。如果從函數 $f$ 將『輸入的數』轉換成『輸出的數』的觀點來看，這個『輸入與輸出』本就是 $f$ 所『固有的』，所以和『輸入與輸出』到底是怎麼『命名』無關的啊！更何況『定義域或對應域』任一也都不必是『數的集合』，這時所講的『函數』或許稱作『函式』比較好，『變數』或該叫做『變元』。其次假使將多個函數『合成』composition，好比『輸出入』的串接，舉例來講，一般數學上表達成 $g(f(x)) = x^2 + 1$ ，此時假使不補足， $g(x) = x + 1$ 和 $f(x) = x^2$ ，怕是不能知道這個函數的『結構』是什麼的吧？進一步講『函數』難道不能看成『計算操作子』operator 的概念，定義著什麼是 $f + g$ 、 $f - g$ 、 $f * g$ 或 $f / g$ 的嗎？就像將之這樣定義成︰
$(f \otimes g) (x) \ =_{df} \ f(x) \otimes g(x)$

，而將函數合成這麼定義為︰
$(f (g) ) (x) \ =_{df} \ f(g(x))$

。如此將使『函數』或者『二元運算』的定義域或對應域可以含括『函數』的物項，所以說它是『泛函式』functional 的了。

再者將函式的定義域由一數一物推廣到『有序元組』turple 也是很自然的事，就像講房間裡的『溫度函數』是 $T (x, y, z)$ 一樣，然而這也產生了另一種表達的問題。假想 $f(x) = x^2 - y^2$ 、 $g(y) = x^2 - y^2$ 和 $h(x, y) = x^2 - y^2$ ，這 $f, g$ 兩個函數都是 $h$ 函數的『部份』partial 函數，構成了兩個不同的『函數族』。於是在一個運算過程中，這個表達式『 $x^2 - y^2$ 』究竟是指什麼？是指『 $f$ 』還是指『 $g$ 』呢？也許說不定是指『 $h$ 』的呢？難道說『兩平方數之差』本身就沒有意義的嗎？？因是之故，邱奇所發展的『λ 記號法』是想要『清晰明白』的『表述』一個『表達式』所說之內容到底是指的什麼。如果使用這個記號法， $f, g, h$ 記作︰

$f \ =_{df} \ \lambda x. \ x^2 - y^2$

$g \ =_{df} \ \lambda y. \ x^2 - y^2$

$h \ =_{df} \ \lambda x. \lambda y. \ x^2 - y^2$

。那麼之前的 $g(f(x))$ 也可以寫成了︰

$\lambda z. \ ( \lambda y. \ y + 1) (( \lambda x. \ x^2)\ z)$ 。

── 說是清晰明白的事理，表達起來卻未必是清楚易懂 ──

─── 摘自《λ 運算︰淵源介紹》

彼此交換又何妨呢？？

且讓我們借著『透視性』之『抽象』定義︰

Projective geometry

In projective geometry the points of a line are called a projective range, and the set of lines in a plane on a point is called a pencil.

Given two lines $\ell$ and $m$ in a plane and a point P of that plane on neither line, the bijective mapping between the points of the range of $\ell$ and the range of $m$ determined by the lines of the pencil on P is called a perspectivity (or more precisely, a central perspectivity with center P).^[4] A special symbol has been used to show that points X and Y are related by a perspectivity; $X \doublebarwedge Y .$ In this notation, to show that the center of perspectivity is P, write $X \ \overset {P}{\doublebarwedge} \ Y.$ Using the language of functions, a central perspectivity with center P is a function $f_P \colon [\ell] \mapsto [m]$ (where the square brackets indicate the projective range of the line) defined by $f_P (X) = Y \text{ whenever } P \in XY$ .^[5] This map is an involution, that is, $f_P (f_P (X)) = X \text{ for all }X \in [\ell]$ .

The existence of a perspectivity means that corresponding points are in perspective. The dual concept, axial perspectivity, is the correspondence between the lines of two pencils determined by a projective range.

，嘗試『賦值』吧。

所謂某一『透視』，在給出『兩相異線』 $l, l^{'}$ 以及不在這兩線上的『一點』 $P$ 就已確定。因為不論 $l$ 線上，任一點 $X$ 所形成之 $PX$ 線，將交 $l^{'}$ 線於唯一一點 ── 且稱 $X^{'}$ ── 也。反之依然 $l^{'}$ 線上任一點 $Y^{'}$ 所形成之 $PY$ 線，亦將交 $l$ 線於唯一一點 $Y$ 也。

由於相異兩點決定一條線，

$f_{P} \colon : [ \overline{AC} ] \mapsto [ \overline{A^{'} C^{'}}]$

依理明定了 $l$ 與 $l^{'}$ 『所有點』之間的『對射關係』。

已從『幾何推理』知道，若取 $A, B$ 為『定點』，則

$\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}} \cdot \frac{\sin (\angle{APC})}{\sin(\angle{BPC})}$ 。

自然 $A^{'}, B^{'}$ 也為『定點』，且

$\frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B{'}}} = \frac{\overline{PA^{'}}}{\overline{PB^{'}}} \cdot \frac{\sin (\angle{APC})}{\sin(\angle{BPC})}$ 矣。

因此『賦值』後之『數值關係』當滿足

$\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B{'}}} } = \frac{\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}}{\frac{\overline{PA^{'}}}{\overline{PB^{'}}}}$ 吧！

然而 $\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}$ 至少可有兩種選項

‧ $\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \frac{\overline{CA}}{\overline{CA} - \overline{AB}} = \frac{x}{x -1}, \ x =_{df} \frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}$

‧ $\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \frac{\overline{CB} + \overline{BA}}{\overline{CB}} = \frac{y+1}{y}, \ y =_{df} \frac{\overline{CB}}{\overline{BA}}$

該如何選擇呢？★☆

然相異之線無窮，觀者亦無限也，

如何能夠『像之像』 $f_P (f_P (X)) = X$ 不變耶？？

此所以說，因

$\frac{x}{x-1} \Longrightarrow \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1} - 1} = \frac{x}{x-1}$ ，故優於選

$\frac{y+1}{y} \Longrightarrow \frac{\frac{y+1}{y} +1}{\frac{y+1}{y}} = \frac{2 y +1}{y+1}$

的嘛！

莫非祇為存其義乎？

大哲學家亞里士多德認為自然界有一種『原因』Cause 關係，它用著『因為 Because 』回答了『為什麼』Why 之問題。他列舉了四種原因，故簡稱之為『四因說』︰

任何『事物』是由它所構成的『原料』、『組件』和『元素』，按著一套完整的『架構』、『組裝』與『結合』方式才形成的，這個『材質』的部份，就是『物質因』Material Cause ；而那個架構規劃的『藍圖』就是『形式因』Formal Cause，形式因也定義了『□之所以是□』。其次任何『事物』之『存在』總是有理由的，它因著『目的因』Final Cause 而能在時空中『存有』，又可能將隨著時流因之而被改變，這就推動著『動力因』Efficient Cause 去『改變什麼』？又會『如何將之改變』！！

那麼亞里士多德的四因說，能不能解說這個『忒修斯之船』的同一性問題呢？也許先讓我們聽聽孔老夫子的『觚之抱怨』吧！

《倫语‧雍也》：

子曰：觚不觚，觚哉！觚哉！

朱熹集注：觚，棱也；或曰酒器，或曰木簡，皆器之有棱者也。不觚者，蓋當時失其制而不為棱也。觚哉：觚哉！言不得為觚也。

從造字來講，『觚』字也有『棱角』的啊，竟然將『方』觚改為『圓』觚！無怪乎孔老夫子會喊著『這算是個觚嗎』？『這難到也算是個觚嗎』？？

因此如果問他老先生這個『忒修斯之船』的問題，也許他會說︰依其『形制』並沒有什麼被『改變』，所以還一樣是『那個』。或許說『形式因』定義著『什麼是什麼』，所以相較之下比它是用『什麼所構成』的『物質因』還來的重要的吧！！

─── 摘自《Thue 之改寫系統《三》》

怎通『透鏡』之『矩陣形式』哩！◎

前三篇文本中，我們談了一般『光學矩陣』

$\left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)$

只要 $C \neq 0$ ，都可借著『自由空間』

$\left( \begin{array}{cc} 1 & t \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

化成一個等效之『薄透鏡』

$\left( \begin{array}{cc} 1 & t_2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & t_1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right)$ 。

因此在『主平面』之參考系裡，分享著同樣的『成像公式』

$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$

，具有相同『成像條件』， $B$ 參數為 $0$

$\left( \begin{array}{cc} 1 & d_i \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & d_o \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} - \frac{d_i}{d_o}& 0 \\ - \frac{1}{f} & - \frac{d_o}{d_i} \end{array} \right)$ 。

甚至可以『串接成像』

$\left( \begin{array}{cc} A_2 & 0 \\ C_2 & D_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} A_1 & 0 \\ C_1 & D_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} A_2 A_1 & 0 \\ C_2 A_1 + D_2 C_1 & D_2 D_1 \end{array} \right)$