【鼎革‧革鼎】︰ Raspbian Stretch 《六之 K.3-言語界面-6.4 》

一個百年前的悖論

伯特蘭悖論 (機率論)

伯特蘭悖論是一個有關機率論的傳統解釋會導致的悖論。約瑟·伯特蘭於1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到此悖論,用來舉例說明,若產生隨機變數的「機制」或「方法」沒有清楚定義好的話,機率也將無法得到良好的定義。

伯特蘭悖論的內容

伯特蘭悖論的內容如下:考慮一個內接於的等邊三角形。若隨機選方圓上的個弦,則此弦的長度比三角形的邊較長的機率為何?

伯特蘭給出了三個論證,全都是明顯有效的,但導致的結果都不相同。

  1. 隨機的弦,方法1;紅=比三角形的邊較長,藍=比三角形的邊較短

    「隨 機端點」方法:在圓周上隨機選給兩點,並畫出連接兩點的弦。為了計算問題中的機率,可以想像三角形會旋轉,使得其頂點會碰到弦端點中的一點。可觀察 到,若另一個弦端點在弦會穿過三角形的一邊的弧上,則弦的長度會比三角形的邊較長。而弧的長度是圓周的三分之一,因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦 為三分之一。

  2. 隨機的弦,方法2

    「隨 機半徑」方法:選擇一個圓的半徑和半徑上的一點,再畫出通過此點並垂直半徑的弦。為了計算問題的機率,可以想像三角形會旋轉,使得其一邊會垂直於半 徑。可觀察到,若選擇的點比三角形和半徑相交的點要接近圓的中心,則弦的長度會比三角形的邊較長。三角形的邊會平分半徑,因此隨機的弦會比三角形的邊較長 的機率亦為二分之一。

  3. 隨機的弦,方法3

    「隨機中點」方法:選擇圓內的任意一點,並畫出以此點為中點的弦。可觀察到,若選擇的點落在半徑只有大圓的半徑的二分之一的同心圓之內,則弦的長度會比三角形的邊較長。小圓的面積是大圓的四分之一,因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為四分之一。

上述方法可以如下圖示。每一個弦都可以被其中點唯一決定。上述三種方法會給出不同中點的分布。方法1和方法2會給出兩種不同不均勻的分布,而方法3則會給出一個均勻的方法。但另一方面,若直接看弦的分布,方法2的弦會看起來比較均勻,而方法1和方法3的弦則較不均勻。

隨機的弦的中點,方法1

隨機的弦的中點,方法2

隨機的弦的中點,方法3

隨機的弦,方法1

隨機的弦,方法2

隨機的弦,方法3

還可以想出許多其他的分布方法。每一種方法,其隨機的弦會比三角形的邊較長的機率都可能不一樣。

至今依舊無解。試想任一實數的『開區間』都可以對應整體實數,那麼『樣本空間』之『機率測度』能不謹慎乎?就像一個處處連續但卻處處不可微分的函数令人驚訝!

一八七二年,現代分析之父,德國的卡爾‧特奧多爾‧威廉‧魏爾斯特拉斯 Karl Theodor Wilhelm Weierstraß 給出一個處處連續但卻處處不可微分的這種非直覺性之函数︰

f(x)= \sum_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x),

其中 0<a<1, b 為正的奇數,使得:ab > 1+\frac{3}{2} \pi

那美麗的『科赫雪花』由連續之線段,極限而成,

一九零四年瑞典數學家尼爾斯‧法比安‧海里格‧馮‧科赫 Niels Fabian Helge von Koch 不用著魏爾施特拉斯那種抽象又解析之定義,給出了現今稱作『科赫雪花』的直觀幾何學構造,……

─── 摘自《加百利之號角!!

─── 《時間序列︰伯特蘭悖論

 

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※ 參讀
‧ 《 Raspbian Stretch 《六之 J.3‧MIR-3 》
‧ 《Raspbian Stretch 《六之 K.3-言語界面-3上 》

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