近兩百年前克希荷夫推廣『歐姆定律』，使得單埠『電路元件』的『分支電流』 $I$ 以及『分支電壓』 $V$ 可用

克希荷夫電路定律

克希荷夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為克希荷夫定律，指的是兩條電路學定律，克希荷夫電流定律與克希荷夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恆及電位的保守性。1845年，古斯塔夫·克希荷夫首先提出克希荷夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於電機工程學。

從馬克士威方程組可以推導出克希荷夫電路定律。但是，克希荷夫並不是依循這條思路發展，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

『系統化』來描述。到特勒根定理之拓延已過百年矣！

Tellegen’s theorem

Tellegen’s theorem is one of the most powerful theorems in network theory. Most of the energy distribution theorems and extremum principles in network theory can be derived from it. It was published in 1952 by Bernard Tellegen.^[1] Fundamentally, Tellegen’s theorem gives a simple relation between magnitudes that satisfy Kirchhoff’s laws of electrical circuit theory.

The Tellegen theorem is applicable to a multitude of network systems. The basic assumptions for the systems are the conservation of flow of extensive quantities (Kirchhoff’s current law, KCL) and the uniqueness of the potentials at the network nodes (Kirchhoff’s voltage law, KVL). The Tellegen theorem provides a useful tool to analyze complex network systems including electrical circuits, biological and metabolic networks, pipeline transport networks, and chemical process networks.

The theorem

Consider an arbitrary lumped network whose graph $\displaystyle G$ has $\displaystyle b$ branches and $\displaystyle n_{t}$ nodes. In an electrical network, the branches are two-terminal components and the nodes are points of interconnection. Suppose that to each branch of the graph we assign arbitrarily a branch potential difference $\displaystyle W_{k}$ and a branch current $\displaystyle F_{k}$ for $\displaystyle k=1,2,\dots ,b$ , and suppose that they are measured with respect to arbitrarily picked associated reference directions. If the branch potential differences $\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}$ satisfy all the constraints imposed by KVL and if the branch currents $\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}$ satisfy all the constraints imposed by KCL, then

\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.

Tellegen’s theorem is extremely general; it is valid for any lumped network that contains any elements, linear or nonlinear, passive or active, time-varying or time-invariant. The generality is extended when $\displaystyle W_{k}$ and $\displaystyle F_{k}$ are linear operations on the set of potential differences and on the set of branch currents (respectively) since linear operations don’t affect KVL and KCL. For instance, the linear operation may be the average or the Laplace transform. More generally, operators that preserve KVL are called Kirchhoff voltage operators, operators that preserve KCL are called Kirchhoff current operators, and operators that preserve both are simply called Kirchhoff operators. These operators need not necessarily be linear for Tellegen’s theorem to hold.^[2]

The set of currents can also be sampled at a different time from the set of potential differences since KVL and KCL are true at all instants of time. Another extension is when the set of potential differences $\displaystyle W_{k}$ is from one network and the set of currents $\displaystyle F_{k}$ is from an entirely different network, so long as the two networks have the same topology (same incidence matrix) Tellegen’s theorem remains true. This extension of Tellegen’s Theorem leads to many theorems relating to two-port networks.^[3]

Definitions

We need to introduce a few necessary network definitions to provide a compact proof.

Incidence matrix: The $\displaystyle n_{t}\times n_{f}$ matrix $\displaystyle \mathbf {A_{a}}$ is called node-to-branch incidence matrix for the matrix elements $\displaystyle a_{ij}$ being

\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{if flow }}j{\text{ leaves node }}i\\-1,&{\text{if flow }}j{\text{ enters node }}i\\0,&{\text{if flow }}j{\text{ is not incident with node }}i\end{cases}}

A reference or datum node $\displaystyle P_{0}$ is introduced to represent the environment and connected to all dynamic nodes and terminals. The $\displaystyle (n_{t}-1)\times n_{f}$ matrix $\displaystyle \mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ , where the row that contains the elements $\displaystyle a_{0j}$ of the reference node $\displaystyle P_{0}$ is eliminated, is called reduced incidence matrix.

The conservation laws (KCL) in vector-matrix form:

\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0}

The uniqueness condition for the potentials (KVL) in vector-matrix form:

\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w}

where $\displaystyle w_{k}$ are the absolute potentials at the nodes to the reference node $\displaystyle P_{0}$ .

Proof

Using KVL:

\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}

because $\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0}$ by KCL. So:

\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0

試想任一『兩端點元件』的網路，若滿足物理學之『能量守恆』定律，能違背『特勒根定理』的嗎？

因是『線性之集總量』 $I, V$ 概括之『系統』，蓋遵循

戴維寧定理

戴維寧定理（Thevenin’s theorem）又稱等效電壓源定律，是由法國科學家 L·C·戴維寧於 1883 年提出的一個電學定理。由於早在 1853 年，亥姆霍茲也提出過本定理，所以又稱亥姆霍茲-戴維寧定理。其內容是：一個含有獨立電壓源、獨立電流源及電阻的線性網絡的兩端，就其外部型態而言，在電學上可以用一個獨立電壓源 V 和一個鬆弛二端網絡的串聯電阻組合來等效。在單頻交流系統中，此定理不僅適用於電阻，也適用於廣義的阻抗。

此定理陳述出一個具有電壓源及電阻的電路可以被轉換成戴維寧等效電路，這是用於電路分析的簡化技巧。戴維寧等效電路對於電源供應器及電池（裡面包含一個代表內阻抗的電阻及一個代表電動勢的電壓源）來說是一個很好的等效模型，此電路包含了一個理想的電壓源串聯一個理想的電阻。

任何只包含電壓源、電流源及電阻的黑箱系統，都可以轉換成戴維寧等效電路。

戴維寧等效電路計算

在計算戴維寧等效電路時，必須聯立兩個由電阻及電壓兩個變數所組成的方程式，這兩個方程式可經由下列步驟來獲得，但也可以使用埠在其他條件下的狀態得出：

在 AB 兩端開路（在沒有任何外電流輸出，亦即當 AB 點之間的阻抗無限大）的狀況下計算輸出電壓 V_AB，此輸出電壓就是 V_Th。
在 AB 兩端短路（亦即負載電阻為零）的狀況下計算輸出電流 I_AB，此時 R_Th等於 V_Th除以 I_AB。

此等效電路是由一個獨立電壓源 V_Th與一個電阻 R_Th串聯所組成。

其中的第2項也可以考慮成：

a. 首先將原始電路系統中的電壓源以短路取代，電流源以開路取代。

b. 此時，用一個電阻計從 AB 兩端測得系統的總電阻 R ，即等效電阻 R_Th。

此戴維寧等效電壓就是該原始電路輸出端的電壓，當在計算戴維寧等效電壓時，分壓原理是很好用的，可將其中一端電壓設爲 V_out，而另外一端接地。

戴維寧等效電阻是由橫跨 A 與 B 兩端往系統「看」進來所量測到的，但重點是，要先將所有的電壓源及電流源以內部電阻取代。對於理想電壓源來說，可以直接用短路來取代；對於理想的電流源來說，可以直接用開路來取代。之後，電阻可以用串聯電路及並聯電路的公式計算出來。這種方法只適用於含有獨立源的電路。如果電路中存在受控源，需要用到其他的方法，如在 A 和 B 之間連接一個測試源，並計算兩端的電壓或流過測試源的電流。

戴維寧等效電路的限制

許多電路特別在短路的狀況下會變成非線性，所以戴維寧等效電路通常只適用於有限定負載的範圍內。此外，戴維寧等效電路只是從負載的觀點來看待電路系統，在戴維寧等效電路中的功率耗損並不代表在真實系統中的功率耗損。

轉換成諾頓等效電路

右圖所示，左邊為諾頓等效電路，右邊為戴維寧等效電路，諾頓等效電路與戴維寧等效電路之間的關係，可由下列方程式來描述：

\displaystyle R_{Th}=R_{No}\!

\displaystyle V_{Th}=I_{No}R_{No}\!

\displaystyle {\frac {V_{Th}}{R_{Th}}}=I_{No}\!

其中 $\displaystyle R_{th}$ 、 $\displaystyle V_{th}$ 及 $\displaystyle I_{No}$ 分別代表戴維寧等效電阻、諾頓等效電阻、戴維寧等效獨立電壓源以及諾頓獨立電流源。

也。故說

$\because V_{AB} = \alpha I_{AB} + \beta$

$\therefore \ I_{AB} =0 , \ V_{AB} = V_{TH} \ \longrightarrow \ \beta = V_{TH}$

$V_{AB} = 0, \ I_{AB} = I_{sc} \ \longrightarrow \ \alpha = - \frac{V_{TH}}{I_{sc}} = - R_{TH}$

哩☆

對偶而言即

諾頓定理

諾頓定理（Norton’s theorem）指的是一個由電壓源及電阻所組成的具有兩個端點的電路系統，都可以在電路上等效於由一個理想電流源 I 與一個電阻 R 並聯的電路。對於單頻的交流系統，此定理不只適用於電阻，亦可適用於廣義的阻抗。諾頓等效電路是用來描述線性電源與阻抗在某個頻率下的等效電路，此等效電路是由一個理想電流源與一個理想阻抗並聯所組成的。

諾頓定理是戴維寧定理的一個延伸，於 1926年由兩人分別提出，他們分別是西門子公司研究員漢斯·梅耶爾（1895年-1980年）及貝爾實驗室工程師愛德華·勞笠·諾頓（1898-1983）。實際上梅耶爾是兩人中唯一有在這課題上發表過論文的人，但諾頓只在貝爾實驗室內部用的一份技術報告上提及過他的發現。

諾頓等效電路的計算

任何只包含電壓源、電流源及電阻的黑箱系統，都可以轉換成諾頓等效電路

要計算出等效電路，需：

在 AB 兩端短路（亦即負載電阻為零）的狀況下計算輸出電流 I_AB。此為 I_NO。
在 AB 兩端開路（在沒有任何往外電流輸出，亦即當 AB 點之間的阻抗無限大）的狀況下計算輸出電壓 V_AB，此時 R_No等於 V_AB除以 I_NO。

此等效電路是由一個獨立電流 I_NO與一個電阻 R_NO並聯所組成。