【Sonic π】電聲學補充《二》

生於公元十年卒於公元七十年之古希臘數學家亞歷山卓的希羅 Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς 居住在埃及托勒密時期的羅馬省。希羅是一名活躍於其家鄉的工程師，他被認為是古代最偉大的實驗家。在亞歷山大大帝征服波斯帝國後之希臘化時代的文明裡，他的著作於科學傳統方面享負盛名。由於希羅大部份的作品 ── 包含了數學、力學、物理和氣體力學 ── 都以講稿的形式出現，因此人們認為他曾經在繆斯之家教學，可能也在亞歷山大圖書館授課。

希羅的發明林林總總，有人說其中最著名的是『風琴』，這或許是最早利用『風能』的裝置。另一是稱作『汽轉球』的蒸汽機，這個『蒸汽機』可比『工業革命』早了二千年。在其著作《機械學與光學》中，描述了世界上第一部『自動販賣機』︰使用者將硬幣投入機器頂上的槽，槽接受了硬幣後，這台機器就會分配一定份量的『聖水』給投幣者。一般認為希羅是一位『原子論』者，他的一些思想源自於克特西比烏斯 Ctesibius 的著作，從他的各種發明來看，他的創造具有時代之『超越性』！

據聞希羅也是第一個體認到『虛數』 imaginary number 的人！！

$e^{i \pi} + 1 = 0$

一五七二年義大利數學家拉斐爾‧邦貝利 Rafael Bombelli 是文藝復興時期歐洲著名的工程師，也是一個卓越的數學家，出版了《代數學》 L’Algebra 一書，他在書中討論了『負數的平方根』 $\sqrt{- a}, \ a>0$ ，這在歐洲產生了廣泛影響力。

一六三七年笛卡爾在他的著作《幾何學》 La Géométrie 書中創造了『虛數』imaginary numbers 一詞，說明這種『真實上並不存在的數字』。

瑞士大數學家和物理學家李昂哈德‧尤拉 Leonhard Euler 傳說年輕時曾研讀神學，一生虔誠篤信上帝，並不能容忍任何詆毀上帝的言論在他面前發表。一回，德尼‧狄德羅 Denis Diderot ── 法國啟蒙思想家、唯物主義哲學家、無神論者和作家，百科全書派的代表 ── 造訪葉卡捷琳娜二世的宮廷，尤拉挑戰狄德羅說︰『先生， $e^{i \pi} + 1 = 0$ ，所以上帝存在，請回答！』。作者以為這或許只是個『杜撰』。然而尤拉是位多產的作家，一生著作有六十到八十巨冊。一七八三年九月十八日，晚餐後，尤拉邊喝著茶邊和小孫女玩耍，突然間，煙斗從他手中掉了下來。他說了聲：『我的煙斗』，將彎腰去撿，就再也沒有站起來了，他祇是抱著頭說了一句：『我死了』。法國哲學家馬奎斯‧孔多塞 marquis de Condorcet 講︰..il cessa de calculer et de vivre，『尤拉停止了計算和生命』！！

一七九七年挪威‧丹麥數學家卡斯帕爾‧韋塞爾 Caspar Wessel 在『Royal Danish Academy of Sciences and Letters』上發表了『Om directionens analytiske betegning』，提出了『複數平面』，研究了複數的幾何意義，由於是用『丹麥文』寫成的，幾乎沒有引起任何重視。一八零六年法國業餘數學家讓-羅貝爾‧阿爾岡 Jean-Robert Argand 與一八三一年德國著名大數學家约翰‧卡爾‧弗里德里希‧高斯 Johann Karl Friedrich Gauß 都再次『重新發現』同一結果！！

虛數軸和實數軸構成的平面稱作複數平面，複平面上每一點對應著一個複數。

那麽要怎樣理解『複數』 $z = x + i \ y$ 的呢？如果說『複數』起源於『方程式』的『求解』，比方說 $x^2 + 1 = 0, \ x = \pm i$ ，這定義了『 $i = \sqrt{-1}$ 』，但是它的『意義』依然晦澀。即使說從『複數平面』的每一個『點』 $(x, y)$ 都對應著一個『複數』 $z = x + i \ y$ 可能還是不清楚『 $i$ 』的意思到底是什麼？假使再從『複數』的『加法上看』︰

假使 $z_1 = x_1 + i \ y_1$ 、 $z_2 = x_2 + i \ y_2$ ，

那麼 $z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i \ (y_1 + y_2)$ 。

這是一種類似『向量』的加法，是否『 $i$ 』的意義就藏在其中的呢？

一九九八年美國新罕布希爾大學 University of New Hampshire 的
Paul J. Nahin 教授寫了一本『An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1』的書，指出韋塞爾當初所講的『幾何意義』就是︰

$i = \sqrt{-1} = 1 \ \angle 90^{\circ}$

，也就是說『i』就是『逆時鐘旋轉九十度』的『運算子』！

假使從複數的『極座標』表示法來看複數的『乘法』︰

假使 $z_1 = r \cdot e^{i \ \theta}, \ z_2 = \alpha \cdot e^{i \ \beta}$ ，那麼 $z_1 \cdot z_2 = \alpha \cdot r \cdot e^{i \ (\theta +\beta)}$

。就可以解釋成 Z1 『向量』被『逆時鐘旋轉』了『β』角度，它的『長度』被『縮放』了『α』倍！！

複數果真不是簡單的『數』啊！也難怪它是『完備的』的喔！！

電子和工程領域中，常常會使用到『正弦』 Sin 信號，一般可以使用『相量』 Phasor 來作簡化分析。『相量』是一個『複數』，也是一種『向量』，通常使用『極座標』表示，舉例來說一個『振幅』是 $A$ ，『角頻率』是 $\omega$ ，初始『相位角』是 $\theta$ 的『正弦信號』可以表示為 $A \ e^{j \ (\omega t + \theta)}$ ，這裡的『j』就是『複數的 i』。為什麼又要改用 $j = \sqrt{-1}$ 的呢？這是因為再『電子學』和『電路學』領域中 $i$ 通常代表著『電流』， $v$ 通常代表了『電壓』，因此為了避免『混淆』起見，所以才會『更名用 j』。