【Sonic π】電聲學補充《三》中

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电阻定律

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假使一個帶電荷量為 q 的粒子在電場 \vec{E} 中從 A 點移動到 B 點,此電場力所做的『W_{AB} 與電荷量 q 的『比值』,稱之為 AB 兩點間的『電位差』,可用V_{AB}=\frac{W_{AB}}{q} 定義。『電位差』在『電磁學』裡也可以用電場 \vec{E} 表示為︰
V_{AB} = V_A - V_B = - \int_{r_0}^{A} \vec{E} \cdot d\vec{l} - \left( - \int_{r_0}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l} \right)
= \int_{A}^{r_0} \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_{r_0}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l}
。因此所謂的『一伏特』One Volt 的定義就是對『一庫侖』的電荷做了『一焦耳』的功。

如果我們從『巨觀現象』的角度,來看『德汝德模型』,通常一個『截面均勻』的導體之『電阻』或『電阻率』和導體『長度』成正比,與其『截面積』成反比。這可以用關係式表達為 R=\rho\frac{\ell}{A},此處, R 是電阻,\ell 是長度, A 是截面積,\rho 是電阻率。假使根據『歐姆定律』,電壓 V 等於電流 I 乘上電阻:V = I R。所以,
 V = I \rho\frac{\ell}{A}。由於在均勻導體內,『電場』與『電壓』的關係為
\vec{E} = \frac{V}{\ell}\hat{z}
式中,\hat{z}是電流方向。因此,
\vec{E}=\rho\frac{I}{A}\hat{z} = \rho \vec{J}
因為『電導率』是『電阻率』的倒數,\sigma=1/\rho。於是『電流密度』與『電場』的關係為
\vec{J}=\sigma\vec{E}。將它與『微觀』推導方程式作比較,就可以得到

\sigma = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right)

因此只要知道導體的『電導率』或者『電阻率』,我們能夠計算『弛豫時間\tau 的大小,舉例來說『』在 20 °C時的『電阻率』是 47.7 \times {10}^{-9} 歐姆‧米,於是它的『弛豫時間』是

 \frac{9.109 \times {10}^{-31}} {47.7 \times {10}^{-9} \cdot {\left( 1.602 \times {10}^{-19} \right)}^2 \cdot 2.54 \times {10}^{28}} = 2.93 \times {10}^{-14}

秒。這說明了我們很難觀測到『暫態』的現象,一般金屬『導體』幾乎是『瞬間』就達到了『穩態』!!

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這樣什麼又是『電流』的呢?從『微觀』上來說,如果一條『導線』在『一秒鐘』內,對於任何的『截面』上,通過了相當於『一庫侖』的『電荷量』所指稱之 6.242 \times {10}^{18}  這麼多個『電子』的數量,我們就將此『電流』定義為是『一安培』。由是對於一個『穩定』的『電流』來講,這條導線上流經之『電流』 I 就可以用下式來計算:

I = {\Delta Q \over \Delta T}

此處,\Delta Q 是那個時距所通過的『電荷量』,\Delta T   則是它所花費的『時距』。

那麼為什麼金屬『導體』它可以傳導這麼大的『電流量』的呢??這就是因為『金屬』的『電子密度』非常高的原故。假使我們用『銅線』的『美國線規AWG American wire gauge 來講,『十四號』線材的『直徑』為一點六二八公釐,即使它祇是一公釐長的銅線,每個銅原子也祇貢獻一個『自由電子』,其中尚且含有 3.51 \times {10}^{20} 個電子,相當於五十六『庫倫』的『電荷量』,無怪乎就算是那麼小的『漂移速度』,依然是可以負載這麼大的『電流』量的啊!!

雖然在日常生活中人們對『』 force 的『現象』並不陌生,然而物理上『』的『概念』又是什麼的呢?一八四九年,『法拉第』提出了『』 Field 的概念,因此『超距作用』的想法逐漸的被取代了。所謂的『』是一個以『時空』為變數之『物理量』,延伸於整個空間,目前所知到的『』只要是在『夠遠距離』之外,都會小至『無法量測』的程度。或許也可以說『』佔有『空間』、含有『能量』與『動量』,正由於『』的存在,排除了完全的『真空』,換句話說『』形成了一種『空間的狀態』。舉例而言當一個『電荷』突然被『加速』時,對於『鄰近』的『電荷』並不會『立即』的產生『作用』,那個『電荷』會先感受到『反作用力』,然後發生『動量』變化,這個『影響』將以『光速』傳播,直到『電磁波』抵達另一個『較遠』的『電荷』那個位置的時候,它才會感受到這個『電磁場』的作用。這樣我們是否就足以用『』的概念來說明『電流』到底是如何在『導線』中『流動』的呢?就像一小時不過一米的典型的『漂移速度』,果真就能讓我們『一開燈,燈就亮了』的嗎??

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─── 待續……