【Sonic π】電路學之補充《一》

假使仔細觀察與比較用『德汝德模型』來推導『歐姆定律』,這是電子的『動量傳輸』現象 \langle \vec{p} \rangle,來自於 tt + dt 間不發生『碰撞』的電子;當論述『焦耳定律』時,這又是電子的『能量移轉』現象 \langle \frac{1}{2} m v^2 \rangle,發生在 tt + dt 間與『正離子』發生『碰撞』的電子。這兩個現象同時而起,各自『電場』中汲取『動量』和『能量』。為了更深入的理解,就讓我們稍微談一談『機率』與『統計』吧!

擲一個硬幣產生『正‧反』面兩種結果,這是很普通的現象,今天在『術語』上稱之為『伯努利試驗』Bernoulli trial,是說對一個只有兩種可能結果的單次『隨機試驗』,就一個『隨機變數X 而言,

Pr[X = 1] \ = \ p
Pr[X = 0] \ = \ 1-p = q

,此處 {Pr}_i[X_i = {\alpha}_i] = q_i 是說『隨機變數X_iq_i 的機會取 {\alpha}_i 的值。從『期望值』的角度講

E(X) = \sum \limits_{i=1}^N  {Pr}_i \cdot X_i } = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

,它的『標準差』 Standard Deviation 是

\delta = \sqrt{\sum \limits_{i=1}^N  {Pr}_i \cdot {\left( X_i - E(X) \right)}^2} } =  \sqrt{ p (1-p)}

。這為什麼要叫做『伯努利試驗』的呢?一七三零年代,荷蘭出生大部分時間居住在瑞士巴塞爾的丹尼爾‧伯努利 Daniel Bernoulli 之堂兄尼古拉一世‧伯努利 Nikolaus I. Bernoulli,在致法國數學家皮耶‧黑蒙‧德蒙馬特 Pierre Rémond de Montmort 的信件中,提出了一個問題:擲一枚硬幣,假使第一次擲出正面,你就賺了 1 元。如果第一次出現反面,那就要再擲一次,若是第二次擲的是正面,你便賺了 2 元。要是第二次擲出反面,那就得要擲第三次,假若第三次擲的是正面,你便賺 2^2 元……如此類推,也就是說你可能擲一次遊戲就結束了,也許會反覆擲個沒完沒了。問題是,你最多肯付多少錢來玩這個遊戲的呢?假使從『期望值』來考量,這個遊戲的期望值是『無限大

E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots
=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots
=\sum \limits_{k=1}^\infty {1 \over 2}=\infty

,然而即使你願意付出『無限的金錢』去參與這個遊戲。不過,你卻可能只賺到 1 元,或 2 元,或 4 元……等等,只怕不可能賺到無限的金錢。那你又為什麼肯付出巨額的金錢加入遊戲的呢?

其後丹尼爾‧白努利於一七三八年寫了一篇論文『風險度量的新理論之討論』考慮了一個對等的遊戲,不斷的擲同一枚硬幣,直到獲得正面為止,如果你擲了 N 次才最終得到正面,你將獲得 2^{N - 1} 元。即使參與玩這個遊戲的花費是『天價』,假使我們考慮到這個遊戲的『期望收益』是無窮大,我們就應該參加。這就是史稱的『聖彼得堡悖論』。白努利提出了一個理論來解釋這個悖論,他得到了一條原理,『財富越多人越滿足,然而隨著財富的累積,滿足程度的增加率卻不斷下降』。這或許可以說是古典的『邊際效用遞減』版本,就像『白手起家』和其後之『錦上添花』,對一個人的『效用』之『滿足』是完全不同的一樣。他這麼講︰

邊際效用遞減原理】:一個人對於財富的佔有多多益善,就是說『效用函數』一階導數大於零;隨著財富的增加,滿足程度的增加速度不斷下降,正因為『效用函數』二階導數小於零。

最大效用原理】:在『風險』和『不確定』的條件下,一個人行為的『決策準則』是為了獲得最大『期望效用』值而不是最大『期望金額』值。

作者不知『理性』是否該『相信』期望值,或者『感性』果就會『追求』效用量,彷彿『天下』到底是『患寡』還是『患不均』的呢??

事實上一個『發生』或『不發生』,『存在』也許『不存在』,是『成功』還是『失敗』的『可‧不可』 Yes or No 的『事件機率』能夠表達的『現象界』不勝枚舉,就像『德汝德模型』中『電子』之『碰撞』與『不碰撞』也是一樣的。假使我們將『伯努利試驗』推廣到 n 次中有 k 次的『成功率』,我們就得到了數學上所謂的『二項分佈

\Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} = {n\choose k}p^k(q)^{n-k}

,此處 {n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}n 中取 k 之『組合數』。假使 n 很大,且機率 p 很小,這個『二項分佈』可以『近似』如下︰

如果 \lambda = n p 是有限大小的『適度量』,回顧指數函數 e 的定義之一是

\lim \limits_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda}

依據二項分佈的定義:

P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}

如果假設 p = \lambda/n,當 n 趨於無窮時, P 的極限可以如此計算

\lim \limits_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim \limits_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}

=\lim \limits_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}

=\lim \limits_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1}

= \lim \limits_{n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1}

= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)

。這就是知名的 『卜瓦松分佈』 Poisson distribution,是法國數學家西莫恩‧德尼‧卜瓦松 Siméon-Denis Poisson 在一八三七年『Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters』論文中最早先發表。『卜瓦松分佈』適合於描述單位時間內『隨機事件』發生之次數的『機率分佈』 ── 諸如某種服務在一定時間內所接到的服務請求人數,電話交換機需要轉接的來電次數、公汽站台裡的候車人數、一台機器會出現的故障率、自然災害發生的頻率、DNA 序列的變異數、放射性原子核的衰變係數等等 ──。它有兩個基本性質︰

一、滿足『卜瓦松分佈』的『隨機變數』,它的『期望值』與『變異數』 Variance ── 在此等於『標準差』的平方 ── 相等,都是『參數\lambdaE[X] = Var[X] = \lambda

二、兩個獨立而且滿足『卜瓦松分佈』之『隨機變數』,它們的『』依然滿足『卜瓦松分佈』。

卜瓦松分佈是歸一化的

\sum \limits_{k=0}^{\infty}  P[X=k] = e^{-\lambda} \sum \limits_{k=0} ^{\infty} \frac{{\lambda}^k}{k!} = e^{- \lambda} e^{\lambda} = 1

卜瓦松分佈的期望值

\operatorname{E}[X] = \sum \limits_{k=0}^{\infty}  P[X=k] \cdot k = \sum \limits_{x=0} ^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}k
= \frac{e^{-\lambda}\lambda^0}{0!}\cdot 0 + \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}k
= 0 + e^{-\lambda} \sum \limits_{k=1} ^{\infty} \frac{\lambda \lambda^{k-1}}{(k-1)!}
= \lambda e^{-\lambda} \sum \limits_{k=1} ^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
= \lambda e^{-\lambda}\sum \limits_{k=0} ^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}

= \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda}=\lambda

卜瓦松分佈的變異數

變異數可以用下式來計算

{Var}[X] = {E}[X^2] - ({E}[X])^2

{E}[X^2] = \sum \limits_{k=0}^{\infty}  P[X=k] \cdot k^2
{E}[X^2] = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}k^2
= 0+\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda \lambda^{k-1}}{(k-1)!}k
= \lambda\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}(k+1)
= \lambda\left[\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}k+\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\right]

{E}[X^2] = \lambda\left[\lambda+1\right]=\lambda^2+\lambda

,所以 {Var}[X] = (\lambda^2+\lambda) - (\lambda)^2 = \lambda

由於『二項分佈』之『機率』是『二項』取值 ──  pq = 1-p ── 的原因,無論說到底是哪一個真的『很小』,推導的結論最終都是『卜瓦松分佈』 ,這被稱之為『小數法則』 Poisson law of small numbers。

在《【Sonic π】電聲學之電路學《一》中》一文中,我們推導了一個『電子』在 t 時距裡不發生碰撞的機率是 P_{nc} = e^{- t/ \tau},得到了 P_{nc} \cdot P_c = e^{- t/ \tau} \frac{dt}{\tau} 就是間隔了 t 時間,在 t + dt 時發生碰撞的機率。這樣一個『電子』發生碰撞的『平均時距』就是

\int_{0}^{\infty} t \cdot e^{- t/ \tau} \frac{dt}{\tau} = \tau

。於《【Sonic π】電聲學補充《三》中》一篇裡,我們也計算過典型金屬的 \tau 值非常的小,大約 {10}^{-14} \sim {10}^{-15} 秒,如此『電子』的『碰撞頻率\frac{1}{\tau} 是非常的高,也就是說『電能』很容易而且很快的就轉換成了『熱能』的啊!!

 

─── 看來電子之動量傳輸和能量轉換的現象,並不如想像中的簡單,不知德汝德模型還能解釋什麼其它現象的嗎??──