【Sonic π】電路學之補充《二》

假使我們思考這樣的一個『問題』︰

一個由大量粒子構成的『物理系統』，這些粒子具有某一個『物理過程』描述的『隨機變量』 $X_i, i=1 \cdots N$ ，那麼在 $t$ 時刻，這個『隨機變量』的『大數平均值』

$\frac{1}{N} \sum \limits_{i=1}^{N} P[X = X_i] \cdot X_i$

，是這個『物理系統』由大量粒子表現的『瞬時圖像』，也就是『統計力學』上所說的『系綜平均』ensemble average 值。再從一個『典型粒子』的『隨機運動』上講，這個『隨機變量』 $X_{this} (t_i), i = 1 \cdots N$ 會在不同時刻隨機的取值，因此就可以得到此一個『典型粒子』之『隨機變量』的『時間平均值』

$\frac{1}{N} \sum \limits_{i=1}^{N} P[t = t_i] \cdot X_{this}(t_i)$

，這說明了此一『典型粒子』在『物理系統』中的『歷時現象』，那麼此兩種平均值，它們的大小是一樣的嗎？？

在『德汝德模型』中我們已經知道 $P_{nc}(t) = e^{- t / \tau}$ 是一個『電子』於 $t$ 時距裡不發生碰撞的機率。這樣 $P_{nc}(t) - P_{nc}(t+dt)$ 的意思就是，在 $t$ 到 $t+dt$ 的時間點發生碰撞的機率。參考指數函數 $e$ 的『泰勒展開式』

$e^x = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

，如此

$P_{nc}(t) - P_{nc}(t+dt) = e^{- \frac {t}{ \tau}} - e^{- \frac {t+dt}{ \tau}} = e^{- \frac {t}{ \tau}} \left[ 1 - e^{- \frac {dt}{ \tau}} \right]$

$\approx e^{- \frac {t}{ \tau}} \cdot \frac{dt}{\tau}$

，這倒過來說明了為什麼在『德汝德模型』中，發生碰撞的機率是 $\frac{dt}{\tau}$ ，於是一個有 $N$ 個『自由電子』的導體，在 $t+dt$ 時刻可能有 $N \cdot e^{- \frac {t}{ \tau}} \cdot \frac{dt}{\tau}$ 個電子發生碰撞，碰撞『平均時距』的『系綜平均』是

$\frac{1}{N} \int_{0}^{\infty} t \cdot N \cdot e^{- \frac {t}{ \tau}} \cdot \frac{dt}{\tau} = \tau$

。比之於《【Sonic π】電路學之補充《一》》一文中之電子的『時間平均值』，果然這兩者相等。事實上一般物理系統要是處於統計力學所說的『平衡狀態』，這兩種『平均值』都會是『相等』的。當真是『考典範以歷史』與『察大眾於一時』都能得到相同結論的嗎？？

功率的單位是瓦特

一六七三年法國物理學家丹尼斯‧帕潘 Denis Papin 在巴黎與惠更斯和萊布尼茨做助手期間，逐漸對利用『真空』產生動力感到興趣。其後在為波義耳做助手期間，發明了『高壓蒸鍋』 steam digester，這是一個氣密性良好，藉著增大氣壓提高水的沸點，能夠達到縮短烹飪時間的目的，是『蒸汽機』和『壓力鍋』的前身。一六八一年，帕潘將他的發明帶到了倫敦的英國皇家學會，最終這個發明被當作了一個『實驗器材』；不過，還是給了他加入學會的資格。然而一七零七年到一七一二年間，帕潘多篇論文被皇家學會發表，非但沒有通知他本人，也都沒有付稿費，這令他極為不滿。傳聞帕潘實於一七一二年裡，在窮困潦倒中去世，死後葬於一個不知名的地方。

同一年一七一二年，英國工程師和發明家湯瑪斯‧紐科門 Thomas Newcomen 發明利用『蒸氣』作『機械功』的『氣壓引擎』atmospheric engine，今天稱之為『紐科門蒸氣引擎』，之後被運用在礦區與油田，以節省大量的人力。

蘇格蘭著名的發明家和機械工程師詹姆斯‧馮‧布雷達‧瓦特 James von Breda Watt 是英國皇家學會院士，愛丁堡皇家學會院士。瓦特小時候因為身體孱弱去學校的時間不多，主要的教育都是由母親在家裡進行。他從小就表現出了靈巧的雙手以及數學上的天分，喜歡很多蘇格蘭的民間傳說與故事。一七歲時母親過世，而父親的生意又開始走下坡。瓦特於是到倫敦的一家儀錶修理廠作了一年的徒工，然後回到蘇格蘭格拉斯哥打算開一家自己的修理店。儘管當時蘇格蘭還沒有類似的修理店，由於他並沒有做滿所要求的七年徒工，他的開店申請還是被格拉斯哥的錘業者行會拒絕了。一七五七年格拉斯哥大學的教授給瓦特一個機會，讓他在大學裡開設了一間小修理店，這幫助了他走出了困境。當時物理學家與化學家約瑟夫‧布萊克 Joseph Black 教授更成了瓦特的朋友與導師。瓦特的小店開業四年後，在朋友蘇格蘭物理學家和發明家約翰‧羅比遜 John Robison 引導下，瓦特開始了對蒸汽機的實驗。據聞那時瓦特也還從未親眼見過一台可以運轉的蒸汽機，但是他就開始建造自己的蒸汽機模型。起初的實驗失敗後，他堅持繼續實驗並且閱讀了所有他能找到的有關蒸汽機的文獻，而且獨立的發現了『潛熱』的重要性，殊不知這早在多年前就已被布萊克教授所發現的了。

一七六三年，瓦特得知格拉斯哥大學有一台紐科門蒸汽機 Newcomen steam engine，然而正在倫敦修理，他請求學校取回了這台蒸汽機並親自進行了修理。雖然經過修理，這台蒸汽機勉強可以工作，但是效率很低。再藉著大量的實驗，瓦特發現效率低的原因是因為活塞每推動一次，氣缸里的蒸汽都要先行冷凝，然後再加熱進行下一輪推動，這使得蒸汽百分之八十的熱量，都耗費在為了維持氣缸的溫度之上。一七六五年瓦特取得了關鍵性的進展，他將冷凝器與氣缸分離開來，使得氣缸溫度可以持續維持在注入之蒸汽的溫度，並在此基礎上很快建造了一個可以運轉的模型。……這就是瓦特發明蒸汽機的故事！！

瓦特改良了紐科門蒸汽機，這事奠定了『工業革命』的重要基礎，他是那個時代裡的重要人物。瓦特創造『馬力』的概念，後人為了紀念他的貢獻，便將『功率』的『單位』命名為『瓦特』。

有些人認為『工業革命』始於一七五九年左右，但是直到一八三零年代，它還沒有真正蓬勃的展開。普遍的觀點認為，工業革命發源於英格蘭中部地區，是在一七六九年瓦特改良蒸汽機之後，再因為一系列『技術革命』引發了從『手工勞動』朝向由『機器生產』的轉變，是一次『生產方式』的重大飛躍。隨後才自英格蘭擴散到整個歐洲大陸，一九世紀方傳播到了北美地區。由於『工業革命』是以機器取代人力，以大規模『工廠化生產』取代個體作坊『手工生產』的一場『生產』與『科技』之革命。因此機器的發明及運用成為了這個時代的標誌，所以歷史學家稱這個時代為『機器時代』 the Age of Machines。

自然界中『能量』的『形式』有很多種，不同的『學說‧理論』的歷史的發展，產生了能量的多種『單位』︰

【機械功】︰ $\int \vec{F} \cdot \vec{ds}$ 是『牛頓‧米』，一『『牛頓‧米』就是一『焦耳』。

【熱能』︰將一公克的水在一大氣壓 ── 101.325 kPa ── 下升高攝氏一度所需要的熱量，叫做一『卡路里』Calorie，簡稱作『卡』，縮寫成 cal。後來的科學家發現水在不同溫度下的比熱容量不同，所以又衍生了許多不同的定義。這就是焦耳所量測的『熱功當量』。一『卡』等於 4.186 『焦耳』。

『電能』︰依據『焦耳定律』 $I \cdot V \cdot t$ 是『安培‧伏特‧秒』，也就是說一『安培‧伏特‧秒』就是一『焦耳』。

所謂的『功率』 power 是指『能量』之『轉換』或者『使用』的『速率』，用單位時間的能量大小來表示。『功率』的『單位』是『瓦特』 W ，假使 $\Delta W$ 是一物理系統在 $\Delta t$ 時間內所做的功，那麼這段時間內的『平均功率』 $P_{avg}$ 可以由下式給出

$P_{avg} = \frac{\Delta W}{\Delta t}$

。而『瞬時功率』就是當時間 $\Delta t \rightarrow 0$ 時，『平均功率』的極限值

$P = \lim \limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{{\rm d}W}{{\rm d}t}$

。也就是講一秒消耗一焦耳的能量就是一『瓦特』，一般所說的『一度電』是指『一千瓦小時』所使用的『電能』多寡，它等於 $1000 \cdot 60 \cdot 60 J$ 。

從『瞬時功率』的『定義』，可以推導出

【機械瞬時功率】是 ${P}(t) = \vec{F}(t) \cdot \vec{v}(t)$ ；

【電力瞬時功率】是 $P(t) = I(t) \cdot V(t)$ 。

出生於波茨坦的德國物理學家與工程師 Moritz von Jacobi，一八三五年前往，愛沙尼塔爾圖大學 Tartu Ülikool 任職為教授。自一八三四年起，他就開始研究『磁性馬達』 magnetic motors。據聞一八四零年，於『Die Galvanoplastik』一書中，他提出了『最大功率傳輸理論』Maximum power transfer theorem︰
Maximum power is transferred when the internal resistance of the source equals the resistance of the load, when the external resistance can be varied, and the internal resistance is constant.

。傳聞這個今稱『雅可比定律』早先被『焦耳』誤解為
a system consisting of an electric motor driven by a battery could not be more than 50% efficient since, when the impedances were matched, the power lost as heat in the battery would always be equal to the power delivered to the motor.

。一八三一年法拉第創造了『Homopolar generator』的『直流發電機』，現今稱之為『Faraday disc』，由於它的『設計構造』，祇能產生很小的『直流電壓』 DC voltage。自此『直流發電機』 dynamo 的『設計改善』就一直持續中。一八三二年，法國的儀器製造商 Hippolyte Pixii 應用『法拉第』的『電磁感應』定律，製造了最早的『交流發電機』alternating current electrical generator。是一種『有電』與『沒電』交替的『電流脈沖』發電機，因此輸出的『平均功率』也很小。一八六六年，適合於工業用的『現代發電機』，最早由英國工程師『瓦利』 C. F. Varley 於十二月二十四日，註冊了『專利』。隔年有兩位『獨立發展者』同時於一月十七日發表了他們的發現。其一是德國『西門子公司』創始人恩斯特‧維爾納‧馮‧西門子 Ernst Werner von Siemens；另一是以『惠斯登電橋』 Wheatstone bridge 稱名於世的英國科學家查爾斯‧惠斯登 Sir Charles Wheatstone。

在有了『發電機』之後，『電功率』有效之『應用』就更顯得重要的了，『最大功率傳輸理論』的『誤解』也將逐漸揭開了『真相』，難道『雅可比』錯了嗎？？

一八七八年，就在素有『科學家聖者』scientist-sage 稱號的德國物理學家與醫生赫爾曼‧馮‧亥姆霍茲 Hermann von Helmholtz 推薦下，愛迪生僱用了剛剛取得普林斯頓『碩士學位』的『弗朗西斯‧羅賓‧阿普顿』 Francis Robbins Upton 為助手。由於阿普顿畢業之後曾經跟隨他作過一年的研究，亥姆霍茲深為肯定，又鑑於愛迪生是『自學成家』，所以可能需要有良好『理論技能』的人來協助，因此玉成了這件事情。其後阿普顿成為愛迪生的主要夥伴之一，兩人一起完成了許多發明與創造。其一就是有關『電力工廠』與『配電系統』的研究。一八八零年，愛迪生開始設計『照明系統』，那時的所接受的『智慧』就是使『電樞阻抗』等於『負載電阻』。現今已經不知是愛迪生還是阿普顿覺得這事不對勁。很快的他們了解了『最大功率傳輸』maximum power transfer 和『最大效率』是不同的兩件事，於是便將『發電機』的『電樞阻抗』下降，得到了 90% 的效率。當時美國科技出版業的『專家』嘲諷的說︰就在他事實上作出來的時候，我卻根本作不了。之後大家都知道了這真的是一個『事實』，終究愛迪生或阿普顿幾乎從未因此得到過任何的讚譽。

『雅可比定律』是說當『電壓源』 $V$ 的『內阻』 $R_S$ 固定的時候，對於『可變動』的『負載電阻』 $R_L$ 來講，假使 $R_L = R_S$ 這時的『功率傳輸』是『最大值』。

這可以推導如下，依據歐姆定律

$I = \frac{V}{R_\mathrm{S} + R_\mathrm{L}}$

，因此

$P_{L} = I^2 R_{L} = \left(\frac{V}{R_{S} + R_{L}}\right)^2 R_{L} = \frac{V^2}{R_{S}^2 / R_{L} + 2 R_{S} + R_{L}}$

，所以當 $\frac{d P_L}{d R_L} = 0$ 就是『功率傳輸』之『最大值』的條件，可以得到 $R_L = \pm R_S$ ，再由二階導數 $\frac{d^2 P_L}{d {R_L}^2} = 0$ 的『正、負』號，來判斷『極小、大值』，就可歸結出了 $R_L = R_S$ ，這時 $P_{max} = \frac{V^2}{4 R_L} = \frac{V^2}{4 R_S}$ 。

『焦耳』的『誤解』在於『錯讀』了『 $R_S$ 是常數』的『假設』！為什麼呢？假使我們換一個說法，如果 $R_L$ 是『固定的』，那麼哪樣的 $R_S$ 可以產生『功率傳輸』之『最大值』的呢？此時它的條件變成 $\frac{d P_L}{d R_S} = 0$ ，然而這個條件得到 $R_S = - R_L$ 而且此時 $P_L \rightarrow \infty$ ，所以它並不是合理的『最大值』。進一步的分析，當 $R_S \rightarrow \infty$ 時， $P_L \rightarrow 0$ ，於是當 $R_S = 0$ 是合理範圍內的『功率傳輸』之『最大值』，此時 $P_{max} = \frac{V^2}{R_L}$ 。這就是當年愛迪生和阿普顿在說的事情啊！！