【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧下

最小上界性質

Let S be a non-empty set of real numbers:
A real number x is called an upper bound for S if x ≥ s for all s ∈ S. A real number x is the least upper bound (or supremum) for S if x is an upper bound for S and x ≤ y for every upper bound y of S.

從『疊套區間』的觀點來看，一個『超實數』 $r^{*} = r + \delta x$ 就可以表達成 $[r - \delta \epsilon, r + \delta \epsilon]$ ，而且說 $st \left( [r - \delta \epsilon, r + \delta \epsilon] \right) = \{r\}$ ，由於它只有『唯一的』一個元素，所以被稱作『單子集合』 singleton set。假使我們思考一個『單調上升有上界』 $a_n, a_{n+1} > a_n, a_n < U, n=1 \cdots n$ 的『序列』，會發現它一定有『最小上界』。假設 $H$ 是一個『巨量』，那麼 $st \left( \bigcap \limits_{1}^{\infty} [a_n, 2 a_H -a_n] = a_{\infty} \right)$

。這就是『實數』的『基本性質』，任何一有極限的『序列』收斂於一個『唯一』的『實數』，一般稱之為『實數』的『完備性』 completeness，由於我們是站在『超實數』的立場，選擇了『疊套區間』的觀點，加之以『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』，所以這個『實數』的『完備性』只是從『疊套區間』確定了一個『單子集合』推導的結論。對比著來看，這一個『有理數』序列 $x_0 = 1, x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{2}{x_n}}{2}$ 的『極限』 $x_{\infty} = \sqrt{2}$ ，它可從求解 $x_H = \frac{x_H + \frac{2}{x_H}}{2}$ 得到，然而它並不是『有理數』，所以說『有理數』不具有『完備性』。那麼對一個『非空有上界』的『集合』 $S$ ，也可以用『二分逼近法』論證如下︰

由於 $S$ 有上界，就說是 $b_1$ 吧，因為 $S$ 不是空集合，一定有一個元素 $a_1$ 不是它的上界。這兩個序列可以遞迴的如此定義，計算 $\frac{a_n + b_n}{2}$ ，如果它是 $S$ 的上界，那麼 $a_{n+1} = a_n, \ b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ ，否則 $S$ 中必有一個元素 $s$ ，而且 $s > \frac{a_n + b_n}{2}$ ，此時選擇 $a_{n+1} = s, \ b_{n+1} = b_n$ ，如此 $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \leq b_3 \leq b_2 \leq b_1$ 而且 $a_H - b_H \approx 0$ ，所以一定存在一個 $L = a_{\infty} = b_{\infty}$ ，此為 $S$ 之最小上界。

同理 $S$ 的補集 $R - S$ 就會有『下界』，而且會有『最大下界』。因此我們將一個有『上界』與『下界』的集合，簡稱之為『有界集合』。

『實數集合』的『最小上界』性質，可以用來證明『實數分析』上的多條定理，在此僅列舉幾條『常用的』︰

【波爾查諾‧魏爾斯特拉斯定理】任一實數 $R$ 中的有界序列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}$ 至少包含一個收斂的子序列。

讓我們從 $x_n$ 中選擇元素，建構一個『峰值集合』 $S = \{ a_k : \forall n \geq k, \ a_k \geq x_n \}$ ，假使 $S$ 的元素是『有限的』，就可將之大小『排序』，建立序列 $(s_k: s_k \leq s_{k+1})$ 。如果 $S$ 的元素是『無限的』，我們依然可以用『下標』 $p$ 遞增的方式從 $S$ 中選擇建立『序列』 $(a_p: a_p \leq a_{p+1})$ ，這兩者都是『單調上升有界』的序列，所以必然會有『最小上界』。

【極值定理】如果實數函數 $f$ 是閉區間 $[a, b]$ 上的『連續函數』，那麼它在其間一定會有『最大值』和『最小值』。也就是說，存在 $c, d \in [a,b]$ 兩個『極值』使得 $\forall x \in [a, b], \ f(c) \geq f(x) \geq f(d)$ 。

假設函數 $f$ 沒有上界。那麼，根據實數的『阿基米德性質』，對於每一個自然數 $n$ ，都可以有一個 $x_n \in [a, b]$ ，使得 $f(x_n) > n$ ，這就構成了一個『有界的序列』 $x_n$ ，然而依據『波爾查諾‧魏爾斯特拉斯定理』，這個 $x_n$ 序列至少會有一個收斂的『子序列』 $x_{n_k}$ ，就稱它的極限值是 $x_H$ ，此處 $H$ 是『巨量』。因為 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 中『連續』，於是 $f(x_H)$ 也是『有限量』，然而依據『假設』 $f(x_H) > H \approx \infty$ ，故而矛盾，所以實數函數 $f$ 是有『上界的』。只需考慮 $-f$ ，從它有『上界』，就可以得到 $f$ 一定有『下界』的吧！也就是說一個實數的『連續』函數，因其『連續性』將一個『定義域』的『閉區間』映射到『對應域』的『閉區間』，所以也必將『無窮小』閉區間 $[x - \delta x, x + \delta x]$ 映射到『無窮小』閉區間 $[f(x) - \epsilon, f(x) + \epsilon]$ 的啊！！事實上，『無窮小』閉區間 $[x - \delta x, x + \delta x]$ 可以看成 $x$ 點的『鄰域』，難道說所謂的函數 $f$ 在 $x$ 點『連續』， $f$ 可能不在這個『無窮小鄰域』裡無限的『逼近』 $f(x)$ 的嗎？？

【羅爾定理】如果一個實數函數 $f(x)$ 滿足

在閉區間 $[a, b]$ 上『連續』；
在開區間 $(a,b)$ 內『可微分』；
在區間端點處的函數值相等，即 $f(a) = f(b)$ ，

那麼在開區間 $(a,b)$ 之內至少有一點 $x_s, \ a < x_s < b$ ，使得 $\frac{df(x)}{dx} (x_s) = f^\prime(x_s) = 0$ 。

根據『極值定理』，實數函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 裡有『極大值』 $M$ 和『極小值』 $m$ ，如果它們都同時發生在『端點』 $a$ 或 $b$ 處，由於 $f(a) = f(b)$ 而且 $m \leq f(x) \leq M, x \in (a, b)$ ，因此 $f(x) = m = M$ 是一個『常數函數』，所以 $\frac{df}{dx} = \frac{f(x + \delta x) - f(x)} {\delta x} = f^\prime(x) = 0$ 。除此之外『極大值』 $M$ 或『極小值』 $m$ 之一只能發生在開區間 $(a, b)$ 之內，假設於 $\xi$ 處取得了『極大值』 $M = f(\xi)$ ，因此 $f(\xi - \delta x) \leq M$ ，而且 $f(\xi + \delta x) \leq M$ ，由於 $\delta x > 0$ ， $\frac{df}{dx}(\xi) = \frac{f(\xi + \delta x) - f(\xi)} {\delta x} \leq 0$ ，同時 $-\delta x < 0$ ， $\frac{df}{dx}(\xi) = \frac{f(\xi - \delta x) - f(\xi)} {-\delta x} \geq 0$ ，再由於函數 $f$ 在 $\xi$ 處『可微分』，所以 $\frac{df}{dx}(\xi) = f^\prime(\xi) = 0$ 。同理也可以證明 $f$ 有『極小值』 $m = f(\eta)$ 時， $\frac{df}{dx}(\eta) = f^\prime(\eta) = 0$ 。也可以講『羅爾定理』將『連續性』、『可微分性』與『極值』聯繫了起來，在此強調那個『可微分』的條件是『必要的』。舉個例子說，函數 $y = | x |$ 在 $x = 0$ 處有『極小值』，考慮它的『無窮小鄰域』 $[- \delta x, \delta x]$ ，右方逼近的『導數』是 $\frac{| \delta x | - | 0 |}{\delta x} = 1$ ，然而左方逼近的『導數』是 $\frac{|- \delta x | - | 0 |}{- \delta x} = -1$ ，因此這個函數於『此點』不可微分，此時當然『羅爾定理』也就不適用的了！！

【均值定理】一個實數函數 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 裡『連續』且於開區間 $[a, b]$ 中『可微分』，那麼一定存在一點 $c, \ a < c < b$ 使得此點的『切線斜率』等於兩端點間的『割線斜率』，即 $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 。

假使藉著 $f(x)$ 定義一個函數 $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x$ ，這個 $g(x)$ 函數在閉區間 $[a, b]$ 裡『連續』且於開區間 $[a, b]$ 中『可微分』，同時 $g(a) = g(b) = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}$ ，於是依據『羅爾定理』一定有一點 $c$ 使得 $g^{\prime}(c) = 0 = f^{\prime}(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ ，所以 $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 。

Bolzano–Weierstrass theorem

極值定理

阿基米德性質

Rolle’s theorem

均值定理

$g(x) = f(x) - rx, \ r = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

一個係數是整數的『多項式』 $f(x) = \sum \limits_{i=0}^{n} c_i x^i$ 是一個在任何閉區間 $[a, b]$ 裡『連續』而且於開區間 $[a, b]$ 中『可微分』的『函數』，如果用『均值定理』來看所對應的 $n$ 次『方程式』 $f(x) = 0$ 的『根』 $\alpha$ ── 稱之為『代數數』 ──，『劉維爾』證明了

如果『無理數』 $\alpha$ 是一個 $n$ 次『多項式』之根的『代數數』，那麼存在一個『實數』 $A > 0$ ，對於所有的『有理數』 $\frac{p}{q}, \ p, q \in \mathbb{Z}, \ \wedge \ q > 0$ 都有

$\left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n}$

，現今這叫做『劉維爾定理』。

既然 $\alpha$ 是 $f(x) = 0$ 的一個『解』 $f(\alpha) = 0$ ，假設除此之外它還有 $\{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m \}$ 個與 $\alpha$ 值不同的『解』，考慮一個由 $\alpha$ 構造的『閉區間』 $[\alpha - 1, \alpha +1]$ ，由於 $f^{\prime}(x) = \sum \limits_{i=1}^{n} c_i \cdot i \cdot x^{i-1}$ 存在且連續，因此 $| f^{\prime}(x) |$ 存在且連續，從『極值定理』可以知道 $| f^{\prime}(x) |$ 在任何『閉區間』裡都有『極大值』，將 $| f^{\prime}(x) |$ 在 $[\alpha - 1, \alpha +1]$ 中的『最大值』記作 $M, | f^{\prime}(x) | \leq M, \ x \in [\alpha - 1, \alpha +1]$ 。讓我們選擇一個滿足 $0 < A < \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)$ 的 $A$ ，『假使』有一個『有理數』 $\frac{p}{q}$ 違背『劉維爾定理』，將會有 $\left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right)$ ，此處 $\frac{A}{q^n} \leq A$ 是因為『不等於零』的『正整數』至少是一。由於 $A < 1$ 和 $A < | \alpha - \alpha_{i} |, i=1 \cdots m$ ，因此 $\frac{p}{q} \in [\alpha - 1, \alpha +1]$ 而且 $\frac{p}{q} \notin \{ \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m \}$ ，也就是說 $\frac{p}{q}$ 不是 $f(x)$ 的『根』，而且 $f(x)$ 在 $\alpha$ 與 $\frac{p}{q}$ 的『閉區間』內沒有『根』，按照『均值定理』一定有一個 $x_0$ 界於 $\alpha$ 與 $\frac{p}{q}$ 之間，使得 $f(\alpha)-f(\frac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) \cdot f^{\prime}(x_0)$ 。因為 $f(\alpha) = 0$ 與 $f(\frac{p}{q}) \neq 0$ ，所以可以將之改寫成 $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right |= \frac{\left | f(\alpha)- f(\tfrac{p}{q})\right |}{|f^{\prime}(x_0)|} = \left | \frac{f(\tfrac{p}{q})}{f^{\prime}(x_0)} \right |$ 。

由於 $\left|f \left (\frac{p}{q} \right) \right| = \left| \sum \limits_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right| = \frac{1}{q^n} \left| \sum \limits_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge \frac {1}{q^n}$ ，此處 $\left| \sum \limits_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge 1$ 是因為 $f(\frac{p}{q}) \neq 0$ 而『不等於零』的『正整數』至少是一。然而 $\left| f^{\prime}(x_0) \right| \le M$ 以及 $1/M > A$ ，因此 $\left | \alpha - \frac{p}{q} \right | = \left|\frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)}\right| \ge \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n} \ge \left| \alpha - \frac{p}{q} \right|$ ，產生了 $\left | \alpha - \frac{p}{q} \right | > \left | \alpha - \frac{p}{q} \right |$ 的『矛盾』，所以『假使』有一個『有理數』 $\frac{p}{q}$ 違背『劉維爾定理』的『假設』不成立。

在此回顧一下『劉維爾數』的定義

如果一個實數 $w$ 滿足，對任何正整數 $n$ ，都存在著整數 $p, q$ ，其中 $q > 1$ 而且『定然』的會有 $0 < \left| w - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}}$ ，如此我們就將此數 $w$ 叫做『劉維爾數』。

假使一個『劉維爾數』 $w$ 是一個『代數數』，那麼一定會有 $\exists n \in \mathbb Z, \ A > 0 \ \forall p, q \ q > 0, \ \left( \left\vert w - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^{n}} \right)$ 。但因為它也是『劉維爾數』，所以當取滿足 $\frac{1}{2^r} \le A$ 的正整數 $r$ ，並使 $m = r + n$ ，一定存在整數 $a, b$ 其中 $b > 1$ 使得