光的世界︰【□○閱讀】樹莓派近攝鏡‧下‧答之起

若問薄透鏡之理想性何在？又為什麼會成為理論法寶的呢！得先從兩個曲面 $R_1}$ 、 $R_2$ 的折射推導出薄透鏡

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right)$

以及造透鏡者公式

$\Phi (R_1, R_2) = \frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ 講起。

因為 $\Phi (R_1, R_2)$ 的反對稱性︰

$\Phi (R_2, R_1) = - \Phi (R_1, R_2)$

當薄透鏡由 $R_1 \to R_2$ 反轉成 $R_2 \to R_1$ 時，凹面將變凸面、凸面將變凹面，此時 $R_1$ 、 $R_2$ 依約定之符號正負慣例，皆需變號，反倒使薄透鏡維持反轉不變性。故知薄透鏡前、後焦距一樣就是焦距 $f$ 。事實上由於薄透鏡的特殊矩陣形制，兩個緊貼之薄透鏡組合還滿足交換律的哩︰

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f_1} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f_2} & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f_2} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1& 0 \\ - \frac{1}{f_1} & 1 \end{array} \right)$

其次薄透鏡的

端點面 = 主平面 = 節點面

，使得它特別容易用『幾何光學三條線』作圖，講述成像法則︰

$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$

，此處 $d_o$ 是物距， $d_i$ 是像距。

在此成像條件下，總合矩陣可表示成︰

$\left( \begin{array}{cc} 1 & d_i \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & d_o \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} - \frac{d_i}{d_o}& 0 \\ - \frac{1}{f} & - \frac{d_o}{d_i} \end{array} \right)$ 。

也就是說總合矩陣的 $B$ 參數等於 $0$ 。

若以放大率 $M = - \frac{d_i}{d_o}$ 之定義，可將之改寫為︰

$\left( \begin{array}{cc} M & 0 \\ - \frac{1}{f} & \frac{1}{M} \end{array} \right)$ 。

此處負號是說︰假如 $f$ 是正的，將聚焦產生倒立之實像也。

雖然沿著光徑走，經過一個透鏡，才能到下個透鏡，光子不必知有幾村幾店，不過是走過這村到那店，因此

物成像，像做物。

依序聚散罷了，講其是否能『串接成像』而已︰

$\left( \begin{array}{cc} A_2 & 0 \\ C_2 & D_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} A_1 & 0 \\ C_1 & D_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} A_2 A_1 & 0 \\ C_2 A_1 + D_2 C_1 & D_2 D_1 \end{array} \right)$

不過符號眾多，代數運算麻煩，而且易為虛實正負物距像距鬧的個頭昏腦轉。即使知兩個一般光學矩陣

$\left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)$

就可代表『人眼見物』或『鏡頭攝物』，卻難了那個 ABCD 之光學矩陣實為人眼或鏡頭所設計出的觀物設備矣。

因此通熟薄透鏡的基本成像法則

$\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$

之作用︰物已成像，像即是物。實是關鍵處也。若說起初物在透鏡之外，則 $do_{begin} > 0$ ，但如成像落在下個薄透鏡之內，那麼 $do_{next} < 0$ ，於是正負與虛實之理相互爭勝，用前一薄透鏡定之哉？或以後一薄透鏡定之哉！還是由薄透鏡組合定之哉？？！！設若將此議論用之於像，豈不依然焉！！？？奈何懷疑人眼或鏡頭只見虛像或實像呢★？倘已成像，就是看到像了吧，又怎能不實的哩。此時所謂設備之有無，難到不祇是為方不方便觀物的嗎☆！

固然物理不是數學，但當物理原理可用數學作表達時，用數學概念探討物理現象，也是理所當然的也。且以『物距序列』在薄透鏡之焦距外和焦距內，看看『像距序列』之變化也。

pi@raspberrypi:~ d_i \to \infty$ 之故， SymPy 不能求解也。或可考之以內、外極限值乎︰
In [13]: limit(solve(ObjFar, di)[0], n, 1,'+')
Out[13]: ∞⋅sign(f)

In [14]: limit(solve(ObjNear, di)[0], n, 1,'-')
Out[14]: ∞⋅sign(f)

In [15]:

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