不同領域裡看似無關之問題,如果它們的數學關係式卻相同,或許彼此有更深之聯繫。值得類推比擬,用系統論的觀點一探它的原由 ,可能不期而遇發生跨學科之理解。約莫兩年前,我們談過一個叫『交叉梯子』的幾何學問題︰
作者不知從何時起網路上開始流傳了一個『交叉梯子之問題』 Crossed ladders problem,根據『 Wolfram‧mathworld』的索引 ,它來自於
Gardner, M. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. New York: Knopf, pp. 62-64, 1979.
這本書。為什麼它又被稱之為『迷惑‧難題』 puzzle 的呢?假使你知道『巷子』中兩根斜擺的『梯子』的長度是 ,你也知道它的『交叉點』距地的『高度』是 ,那麼你能不能算出『巷寬』 的呢?
由 於 和 ,可以得到 與 。然而 ,化簡後得到 ,這三者竟然滿足這個『不預期』之『關係式』,而且不見 的蹤影了 。假設 的梯子長 , 的梯子長 ,由『畢氏定理』 可以得到 與 ,所以 ,因此
,由於 ,因此 ,將之代入上式得到
。如果我們仔細考察下面的方程式
,『左邊項』為『已知量』,『右邊項』是『未知數』 的『方程式』。假設 ,如果我們定義
,
, 可以將之化簡為
,總是不見『巷寬』 的『蹤影』,所以方說令人『迷惑』的啊!竟然得要『求解』四次方程式,因此才是個『難題』的吧!更不要講它還能夠有全『整數解』,舉例來說,,果然是奇也怪哉!!
假使我們已經解得了 ,那麼要怎們求出『巷寬』 的呢?我們還得解下面的方程式?? 假設
,用二次方程式的『公式解』可以得到
再 由,,因此 ,因為 ,所以那個久違的『巷寬』就是 !!
有人問為什麼要『假設』 的呢?由於那個『方程式』對於 與 來講是『對稱的』,所以除非這兩者『相等』,否則『假設』 只是方便論述而已,畢竟『根號』 內之數在此該是正的啊!再者當 時,就有 的關係存在,就可以直接求得 的了!如此根本不需要解那個四次方程式的吧!!
如果從『直覺上』來講,假使當 ,此時 ,那麼我們能夠求得 之『極限值』 的嗎?因為這時 ,因此,所以那個四次方程式就變成了 ,它有四個解 ,於是 ,由於 ,故得 。
許多看似『無關』的『知識』片段,往往具有『內在』的『肌理』關係,就此觀之,『學習』一事常在『發現』這個『關係』,以及『貫通』現象之間內在的『聯繫』的啊!!
摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下中‧下》
不知如今讀來,是否心有戚戚焉!『幾何光學』之『幾何』何為耶 ?若將
光的軌跡 〒 梯子長度
光程 〒 巷寬
物距 〒 左梯
像距 〒 右梯
焦距 〒 兩梯之交叉點高
對應起來,那麼『等光程原理』就是『同一巷子』的乎!☆
如是在等光程下,是否
的呢?★
最後且借先前提及之 OpticalRayTracer 軟體工具,追跡光程行徑,假虛擬透鏡實驗折射式望遠鏡之成像控制的穩定性。權當補筆之說而已。
【理想望遠鏡模型 ε=0】
【ε<0】
【ε>0】