光的世界︰【□○閱讀】折射式望遠鏡《三》

不同領域裡看似無關之問題,如果它們的數學關係式卻相同,或許彼此有更深之聯繫。值得類推比擬,用系統論的觀點一探它的原由 ,可能不期而遇發生跨學科之理解。約莫兩年前,我們談過一個叫『交叉梯子』的幾何學問題︰

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作者不知從何時起網路上開始流傳了一個『交叉梯子之問題』 Crossed ladders problem,根據『 Wolfram‧mathworld』的索引 ,它來自於

Gardner, M. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American. New York: Knopf, pp. 62-64, 1979.

這本書。為什麼它又被稱之為『迷惑‧難題』 puzzle 的呢?假使你知道『巷子』中兩根斜擺的『梯子』的長度是 a,b,你也知道它的『交叉點』距地的『高度』是 h,那麼你能不能算出『巷寬w 的呢?

由 於 h \parallel h_1h \parallel h_2,可以得到 \frac{d_2}{d} = \frac{h}{h_1}\frac{d_1}{d} = \frac{h}{h_2}。然而 d_1 + d_2 = d = \left( \frac{h}{h_2} \right) d + \left( \frac{h}{h_1} \right) d,化簡後得到 \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}  = \frac{1}{h},這三者竟然滿足這個『不預期』之『關係式』,而且不見 d 的蹤影了 。假設 h_1 的梯子長 l_1h_2 的梯子長 l_2,由『畢氏定理』 可以得到 l_1^2 + d^2  = h_1^2l_2^2 + d^2  = h_2^2,所以 l_1^2 - l_2^2 = h_1^2 - h_2^2 = (h_1 + h_2) \cdot (h_1 - h_2),因此 {\left[ l_1^2 - l_2^2  \right]}^2 = {(h_1 + h_2)}^2 \cdot {(h_1 - h_2)}^2
= {(h_1 + h_2)}^2 \cdot {\left[ {(h_1 + h_2)}^2 - 4 h_1 h_2 \right] },由於 \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}  = \frac{1}{h},因此 h_1h_2 = (h_1+h_2)h,將之代入上式得到
= {(h_1 + h_2)}^2 \cdot {\left[ {(h_1 + h_2)}^2 - 4 (h_1+h_2)h \right] }

。如果我們仔細考察下面的方程式

{\left[ l_1^2 - l_2^2  \right]}^2 =  {(h_1 + h_2)}^2 \cdot {\left[ {(h_1 + h_2)}^2 - 4 (h_1+h_2)h \right] }

,『左邊項』為『已知量』,『右邊項』是『未知數h_1+h_2 的『方程式』。假設 l_1 > l_2,如果我們定義

c = \frac{4 h}{\sqrt{l_1^2 - l_2^2}}x = \frac{h_1+h_2}{\sqrt{l_1^2 - l_2^2}}

, 可以將之化簡為

x^3(x - c) - 1 = 0

,總是不見『巷寬d 的『蹤影』,所以方說令人『迷惑』的啊!竟然得要『求解』四次方程式,因此才是個『難題』的吧!更不要講它還能夠有全『整數解』,舉例來說,(l_1, l_2, h, h_1, h_2, d_1, d_2, d) = (119, 70, 30, 105, 42, 40, 16, 56),果然是奇也怪哉!!

假使我們已經解得了 x_{\lambda},那麼要怎們求出『巷寬d 的呢?我們還得解下面的方程式?? 假設 \alpha = \sqrt{l_1^2 - l_2^2} x_{\lambda}

h_1 + h_2 = \alpha

h_1 \cdot h_2 = \alpha h

,用二次方程式的『公式解』可以得到

h_1 = \frac{\alpha \pm \sqrt{{\alpha}^2 - 4 \alpha h}}{2}

h_2 = \frac{\alpha \mp \sqrt{{\alpha}^2 - 4 \alpha h}}{2}

再 由,l_1^2 + l_2^2 = (h_1^2 + d^2) + (h_2^2 + d^2),因此 d = \sqrt{\frac{(l_1^2 + l_2^2) - (h_1^2 + h_2^2)}{2},因為 h_1^2 + h_2^2 = {(h_1+h_2)}^ 2 - 2 h_1 h_2 = {\alpha}^ 2 - 2 \alpha h,所以那個久違的『巷寬』就是 d = \sqrt{\frac{(l_1^2 + l_2^2) - ( {\alpha}^ 2 - 2 \alpha h)}{2}!!

有人問為什麼要『假設l_1 > l_2 的呢?由於那個『方程式』對於 h_1, h_2l_1, l_2 來講是『對稱的』,所以除非這兩者『相等』,否則『假設l_1 > l_2 只是方便論述而已,畢竟『根號』 內之數在此該是正的啊!再者當 l_1 = l_2 時,就有 {(\frac{l_1}{2})}^2 + h^2 = {(\frac{d}{2})}^2 的關係存在,就可以直接求得 d = \sqrt{l_1^2 + 4 h^2} 的了!如此根本不需要解那個四次方程式的吧!!

如果從『直覺上』來講,假使當 h_2 = \delta h_2 \approx 0,此時 h = \delta h \approx 0,那麼我們能夠求得 \frac{\delta h}{\delta h_2} 之『極限值』 的嗎?因為這時 l_2 \approx d,因此c = \frac{4 h}{\sqrt{l_1^2 - l_2^2}} \approx \frac{4 \delta h}{\sqrt{l_1^2 - d^2}} \approx 0,所以那個四次方程式就變成了 x^3(x - c) -1 =0 \Longrightarrow  x^4 - 1 \approx 0,它有四個解 \pm 1, \pm \sqrt{-1},於是 \alpha = \sqrt{l_1^2 - l_2^2} x_{\lambda} \approx \sqrt{l_1^2 - d^2},由於 h_1 \delta h_2 = \alpha \delta h,故得 \frac{\delta h}{\delta h_2} = \frac{h_1}{\alpha} \approx \frac{h_1}{\sqrt{l_1^2 - d^2}} \approx 1

事實上,即使\angle BAC\angle DCA不是『直角』,依然是 \frac{1}{\overline{AB}} + \frac{1}{\overline{CD}} = \frac{1}{\overline{EF} }。在它們是『直角』時,甚至可以得到 \angle BFE = \angle DFE,如果將它想像成『入射角』等於『反射角』,從 B 點發出的光線,將於 F 點反射到 D 點上。

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許多看似『無關』的『知識』片段,往往具有『內在』的『肌理』關係,就此觀之,『學習』一事常在『發現』這個『關係』,以及『貫通』現象之間內在的『聯繫』的啊!!

摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下中‧下

 

不知如今讀來,是否心有戚戚焉!『幾何光學』之『幾何』何為耶 ?若將

光的軌跡 〒 梯子長度

光程 〒 巷寬

物距 d_o 〒 左梯 h_1

像距 d_i 〒 右梯 h_2

焦距 f 〒 兩梯之交叉點高 h

對應起來,那麼『等光程原理』就是『同一巷子』的乎!☆

如是在等光程下,是否

\frac{\delta f}{\delta d_i}  \approx 1 的呢?★

 

最後且借先前提及之 OpticalRayTracer 軟體工具,追跡光程行徑,假虛擬透鏡實驗折射式望遠鏡之成像控制的穩定性。權當補筆之說而已。

【理想望遠鏡模型 ε=0】

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【ε<0】

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【ε>0】

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