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Thue 之改寫系統《一》

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自從喬治・康托爾 Georg Cantor 發展『集合論』至今，用集合 來談論『抽象系統』已是一種『傳統』。又因為『公理化』axiom 的盛行，今天的『數學』帶給人的印象常是一大套『抽象符號的總匯』，一本書裡到處填滿的是『空間』、『公理』、『假設』、『定義』、『引理』、『定理』、……。然而這卻是為使『定義』能『嚴謹』；『邏輯』能『明確』，希望『精簡』它『承載』的大量之『內容』，以致能達到『言之有物』與『理有所來』。所以就算所知道的『術語』太少，常常會導致『閱讀』的困難，『面對』之且『克服』它終將會大有所穫。

金文大篆抽

甲骨文象

什麼是『抽象化』呢？『抽』字的本意是，在成長茂密的『莊稼』中『拔掉』一些過盛的『株苗』，使得『剩餘』的能夠更『結實飽滿』。而『象』字就是『瞎子摸象』的象之象形。

人事物的『事件』與『現象』通常都太過於『複雜』，很難那樣的『分析』和『認識』它，假使將它用比較『簡約』的『概念』來『概括』，不但有助於『理解』，也能利於『論辨』之雙方，互相『發現』彼此相思維可能之『誤謬』。

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金文大篆零

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民國３９年發行的兩角鋁幣

一角蘭花硬幣

台灣硬幣5角正面

台灣硬幣5角反面

『零的歷史』講述著人類試圖用著『已知』的等等來『推廣』，並 使它『一 般化 』 ，以致能夠解說『未明』之種種，想用著『簡易』的方式『精煉』所知之宇宙人生中的一切。終究總會有人問起『 3 - 3 』是多少？又為什麼不能『 2 - 5 』呢？然而『應用 0 』與『明白 0 』實有很大的『差別』，比方說『 x^0  應當是 1 』，因為『 \frac {x^m} {x^n } = x^{m - n} 』當 m = n 時，就會有像 『 x^0 』這樣『形式』 的數『發生』，同時很顯然『大小相同之數相除必然是一』，只不過要是 用在『 \frac{0}{0}』上 呢？難到是『 0 \ne 0』 嗎？假使我們思考如果『 x \times 0 = 0』而且『 \frac{0}{0} = 1 』；這樣由於『 (x + 1) \times 0 = 0 』又因『 \frac{0}{0} = 1 』，不可以得到『 x = x + 1 』的嗎？？也許『相容』於已知，又能『理則』之一致，一直 都是並不『易得』的啊！！因此『零』之為『數』的『特殊性』正在於它是數的『正負概念』之『分界』，已知所有的『數』與『量』也只有『 0 』這一個數是『 + 0 = - 0 = 0 』。

相較於『零』，『空集合』引發的爭論就大的多了？這又是為什麼呢？比方假使你『想』要談論一些『什麼』？它總該是『有』吧？不會是『空無一物』的吧？但是像『想寫尚未寫』的□書本，剛拿起『將裝還沒裝』的○袋子，到底□○是否能算是『有』或是『沒有』的呢？也許概念愈是『基本』，或許『辯論』就愈多！『 \phi  』的來歷好比是數系中的『 0 』，用於『指稱』著一個『特殊』的『集合』︰不管它是如同『獨角獸』一樣不『存在』半個元素的呢？還是它指稱『沒盛水』的『空杯子』的呢？舉例說吧，假使一個貨幣收藏家構造了一個集合族 S_t = \{ x | t  是時期，x 是當時面值小於一元的硬幣 \}，這樣的集合構造『合法』的嗎？他說 S_{1980} = \phi  是『有效』的陳述嗎？其實集合雖是由它的元素所構成，但是集合與元素卻是兩個不同的概念。用『命了名』 的集合代表其內『元素』的『進出增減』之事實非常『普通』，以致有時人們會忘了其實『自己的名字』──  細胞共和國的國號 ── 就是這麼用的，它指稱著時光中變化的容顏，又不變的主體『我』！！

有人懷疑空集合可能是『無物』Nothing ？也許想一想『無水之杯』只是『無水』並非是『無杯』，就能明白的了。那麼果真有『無物』的嗎？有啊！比方說︰ S = \{ S \} 就是『誤謬』而『無物』，為什麼呢？假設 S \ne \phi，如果說 S 有某個元素 e，那 e 屬於 \{ S \} 嗎？顯然不屬於，這個 \{ S \} 集合只有一個元素就是 S，但是依據等式 S = \{ S \}，e  它又不得不屬於 \{ S \}，所以產生矛盾。假設 S = \phi，也就是說 \phi = \{ \phi\}，只要知道 \{ \phi\} 有一個元素 \phi，當然不是空集合，就能知道它是個『虛假』陳述了。因此有了 \phi 能使『集合論』的『理論』之論述『精簡』與『定理』的表達『清晰』。

集合論用著一些符號，來表達集合間的關係與運算，以及元素『屬於 \in 不屬於 \notin』某集合的基本關係。為了方便下面的論述，也許也避免『符號用意』的不同，所以先在此簡介一下。假使 S = \{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, \dots, x_k, \dots, x_n \} 和 T = \{ y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, \dots, y_j, \dots, y_m \} ︰

當然這些 x_k, k = 1 \dots n 都是 S 的元素，記作『 x_k \in S 』。如果談論 S 中的『每一個』、『任一個』或『所有的』元素，將以『\forall x\ x \in S 』表示；對等的『有一個』、『某一個』和『存在著』將用『\exists x\ x \in S 』表達。假使 T 是 S 的『子集』記作『 T \subset S 』，定義成『 \forall y\ y \in T \ \Rightarrow \ y \in S 』，這裡的 \Rightarrow 符號意謂邏輯可『推論』出的意思。建構一個『聯集』記作『 T \cup S 』，是說『 \{ x | \ x \in T  或\vee  x \in S \} 』；同樣的構造一個『交集』記作『 T \cap S 』，是講『 \{ x | \ x \in T  且\wedge  x \in S \} 』。所謂的笛卡爾的『乘積』──  座標系或 turple  有序元組 ──寫作『 S \times T 』，就是 \{ (x , y) |\ x \in S \wedge y \in T \}。至於集合的一般構造法 \{x | P x\}  可見之於《{x|x ∉ x} ！！？？》一文，為免於冗長起見其它的符號需要時再作引入。

人與自然關係

人際關係

自反

對稱

反對稱性波函數

邏輯樹

數學家是怎麼看待『關係』Relation 的呢？他說如果有一個集合叫 S，那定義在 S 上的二元關係『 R 』 就是『 S \times S 』的某個『子集』！！雖很『抽象』，分解的說︰
R 是一個有序二元組的集合。
R 是『論域』Domain S \times S 的『子集』。
如果 S 中之任意兩元素 s_1 和 s_2 構成『 ( s_1, s_2 ) 』有序二元組，假使 ( s_1, s_2 ) \in R ，我們就說 ( s_1, s_2 )  擁有關係 R 。

如果 S 有 n 個元素，那 S \times S  就有 n^2 個元素，且有 2^{n^2} 個子集，真是關係多於『牛毛』的啊！假使 R = \phi ，也就是說『在 S 集合裡，萬有元素皆無關』的勒！！這樣就可以追問關係 R 的集合能有什麼『性質』的嗎？比方說『自反性』︰
\forall x \ x \in S \ \Rightarrow \ (x, x) \in R，『反自反性』︰
\forall x \ x \in S \ \Rightarrow \ (x, x) \notin R。並及於『對稱性』︰
\forall x,y \ x ,y \in S \wedge (x,y) \in R \ \Rightarrow \ (y, x) \in R，『非對稱性』︰
\forall x,y \ x ,y \in S \wedge (x,y) \in R \ \Rightarrow \ (y, x) \notin R，『反對稱性』︰
\forall x,y \ x ,y \in S \wedge (x,y) \in R \wedge (y,x) \in R\ \Rightarrow \ x = y，……種種『可定義』的性質。

一般 (x,y) \in R 可記作『 xRy 』，有時為了方便操作又寫成『 x \ \rightarrow \ y 』，這對『遞移性』關係的描述來講尤其是如此︰

\forall x,y,z \ x,y,z \in S \wedge \ x \rightarrow y \ \wedge \ y \rightarrow z \ \Rightarrow \ x \rightarrow z

。x \rightarrow y \wedge y \rightarrow z \ \Rightarrow \ x \rightarrow z 的表達不但可以導引想像，在論域脈絡清楚時── \forall x,y,z \ x,y,z \in S ──，不必寫那麼多的符號干擾思考。

如此當數學家說『函數』f 的定義時︰

假使有兩個集合 S 和 T，將之稱作『定義域』domain 與『對應域』codomain，函數 f 是 S \times T 的子集，並且滿足

\forall x \ x \in S \ \exists ! \ y \ y \in T \ \wedge \ (x,y) \in f

，記作 x \mapsto y = f (x)，『 \exists \ !  』是指『恰有一個』，就一點都不奇怪了吧。同樣『二元運算』假使『簡記』成 X \times Y \mapsto_{\bigoplus} \ Z  ，X=Y=Z=S，是講︰

z = \bigoplus ( x, y) = x \bigoplus y，也是很清晰明白的呀！！

最後我們介紹一下『何謂 Thue 之改寫系統』？結束這個《系列》的第一篇。阿克塞爾‧圖厄【挪威語 Axel Thue】一位數學家，以研究丟番圖用『有理數』逼近『實數』問題以及開拓『組合數學』之貢獻而聞名。他於一九一四發表了『詞之群論問題』Word problem for group 啟始了一個今天稱之為『字串改寫系統』SRS String Rewriting System 的先河，如從現今的研究和發現來看，它與圖靈機的『停機問題』密切相關。上個千禧年之時，John Colagioia 用『Semi-Thue System』寫了一個『奧秘的』 esoteric 程式語言 Thue ，作者宣稱︰

Thue represents one of the simplest possible ways to construe 『constraint-based』基於約束 programming. It is to the constraint-based 『paradigm』典範 what languages like『 OISC 』── 單指令集電腦 One instruction set computer ── are to the imperative paradigm; in other words, it’s a 『tar pit』焦油坑.

 

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