Thue 之改寫系統《二》

三足鳥

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斷頭台

人類的思維如果一旦不『審慎』,很容易邏輯『混亂』,以至於言論多所『謬誤』,有時或許『巧說詭辯』。比方說公孫龍子的『雞三足』之詭論︰…牛羊有毛,雞有羽。謂雞足一,數足二;二而一,故三。謂牛羊足一,數足四;四而一,故五。羊牛足五,雞足三,故曰:『牛合羊非雞』。非,有以非雞也。…裡頭的『謂雞足一』之『雞足』和『一』是什麼?『數足二』的『足』與『二』又是什麼?卻能相加,彷彿『一雞 + 二足』可以得到『三 \biguplus 』的一般?!已經完全不像他的『白馬非馬論』了。

洛基的賭注 Loki’s Wager
洛基乃北歐神話中以『詐騙』著名之神。傳說他曾與矮人打賭卻輸了。當矮人們依約來『提頭』時,洛基說︰沒問題』,但是必須依照『約定』,只能取走『他的頭』,而不能動著『他的脖子。於是彼此開始『爭論』該如何的『切割』:有哪些部分雙方同意『是頭』;又有哪些部分認同『是脖子只是脖子的『結束點』和頭之『開始點』究竟『是哪裡』,互相一直無法『取得共識』。於是洛基終於保住著了他的頭

因此『語言學家』在『定義』他們的『術語』時,通常採取數學家和邏輯學家的『方式』,舉例說,集合 V 代表一個『形式語言』中的『字彙』集合,也就是說 V 的元素是某種『抽象』語言的語詞。假使 v_1, v_2, v_3 \in V,『序連』 concatenation 是指像『v_1v_2v_3』這樣的把語詞串接成『字串』,那麼要如何表達『任意多個字彙序連的字串論域 V^* 』呢?他們使用著美國數學家 Stephen Cole Kleene 的『Kleene star』Kleene之星遞迴的表示成︰

V_0 = \{ \varepsilon \},『空字串』的集合,
V_1 = V
V_{i +1} = \{ wv | w \in V_i  \ \wedge \ v \in V \}

V^* = \bigcup_{i \in N } V_i = \{\varepsilon\} \cup V \cup V_2 \cup V_3 \cup V_4 \cup \ldots

雖然這樣作有點『麻煩』,作的好處就是『清晰可驗證』。此處的『 N 』是包含零的『自然數系』,而『 N \setminus \{0\}』是不包含零的自然數系,假使所指的論域不包含空字串,一般會記成︰

V^+=\bigcup_{i \in N \setminus \{0\}} V_i = V_1 \cup V_2 \cup V_3 \cup \ldots

比方英國的哲學家  Antony Garrard Newton Flew 於 1975 年在一本名為『 Thinking About Thinking:  Do I sincerely want to be right? 』書中講到︰

【沒有真正的蘇格蘭人 No true Scotsman】

想像一位名叫 Hamish McDonald 的蘇格蘭人,坐下打開他的《格拉斯哥先驅晨報》,看見一則新聞『布萊頓 ── 位於英格蘭南部 ──色魔再度犯案!』他震驚地說:『沒有蘇格蘭人會 幹這種事!』隔天他又打開報紙,看見新聞描述一位亞伯丁人 ── 該城位於蘇格蘭 ── 更殘暴的行為,相較之下布萊頓色魔還算是個紳士。這顯示 Hamish 的想法是 錯的,但他會承認嗎?似乎不會。這次他說:『沒有【真正的】蘇格蘭人會作這種事。』

今天這稱之為『訴諸純正』appeal to purity 的謬誤,是指在原先的普遍性宣稱遭遇反例時,隨即提出一個更『理想』的『標準』作為他辯護之依據。大概沒人知道這個 { □ |  □是純正蘇格蘭人} 到底有哪些元素?難到它不會是個 \phi  嗎??

就讓我們『正式的』formal  將『 Thue 改寫系統』定義如下︰

semi-Thue 改寫系統是一個有序元組 ( \Sigma, R ),其中 \Sigma 是一個有限的『字母』alphabet 集合,它之Kleene之星是 \Sigma^*  ,包含空字串、有限字串或稱作字詞。R 是一個建構於 \Sigma^*  的二元關係,也就是說 R \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^* 。每一個 R 中的元素 (u,v) \in R 叫做一個『改寫規則』rewriting  rule,通常寫成 u \rightarrow v 。假使關係 R 具有『對稱性』,這個系統便稱作『Thue 改寫系統』。

從這個定義看來,關係 R 是一個『轉換表』,假使 s_0 \in \Sigma^* \ \wedge \exists u (s_0, u) \in R ,這個  s_0 稱為『起始字』或叫『起始字串』,同時假設 s_k \in \Sigma^* \ \wedge  (s_k, s_{k+1}) \in R \ , k=0 \dots, n。這樣從 s_0 開始逐步應用轉換表的改寫規則,可以得到如下的轉換序列︰

s_0 \rightarrow s_1 \rightarrow s_2 \rightarrow s_3 \rightarrow \dots s_k \rightarrow \dots

由於關係 R 是廣義的,我們並不知道有多少條規則包含著 s_0 ,但可以設想它們可以有兩種形式 (s_0, u_i)(v_j, s_0)。因此從 s_0 出發的轉換序列可以是多條,它可能多次折返。若是將 s_i \ \rightarrow \ s_j 想作『連接字詞 s_is_j 的線段』,這樣將關係 R 中的每個字詞每條轉換序列都以線段連接起來,這會是個很複雜的『連接網』。前文《一》中所說的『字詞問題』word problem 就是給定 u, v \ \in \Sigma^* 和關係 R,是否有一條轉換序列存在,能將 u 轉換成 v 呢?就現今所知這是一個『無法判定』Undecidable 的問題,也就是說『不可能』有著一個單一的『演算法』algorithm  ── 比方像歐基里德最大公因數演算法是可以決定兩數是不是互質的 ── 來決定答案的『』或『不是』!!

由另一方面考察,關係 R 的轉換表是『整個字串』的轉換,這與今天一般語言學用的『形式』不同,於是就有人將之『改寫』擴充成了『抽象改寫系統』abstract rewriting system。這個擴充的主要目的是想及於『子字串』的改寫,於是在關係 R 上引入『單步導出關係\rightarrow_R

s \rightarrow_R t \ \Leftrightarrow \exists x, y, u, v \in \Sigma^* \ \wedge \  s=xuy, t=xvy, \ \wedge ( u,  v) \in R.

這裡的 \Leftrightarrow 符號是邏輯上『雙向可推導』,其實就是單步導出關係 \rightarrow_R  的定義,當然從這個定亦可知 R \subset \rightarrow_R

在集合論的數學裡,經常會聽到『封閉性』closure 一詞,針對不同的概念有所不同。就『二元關係』來講,它的核心意義是有一個集合 S,定義了一個關係 R ,它是否擁有某種 P 性質,如果不是,Q 稱作針對 RP 的封閉性,就是︰

一、Q\subseteq S \times S \ \wedge R \subset QQ 擁有性質 P
二、在所有滿足『一』項的集合裡,Q是最小的。

數學家為什麼要談『封閉性』呢?比方對『四則運算』的『加乘法 +‧ 』來講,『自然數』+‧『自然數』是『自然數』;但是遇到『減法 – 』時,『自然數』- 『自然數』不一定是『自然數』;就將之擴張到了『整數』,又因『除法』運算的問題,再度擴張到了『有理數』。 也就是說有理數對四則運算具有『四則運算封閉性』,這樣省了多少因為四則運算的結果『不一定』所可能引發之問題!!因此語言學上,也把『單步導出關係』擃張成了『零步』或『多步』導出關係,記作 \rightarrow_R^*,用以表達一個廣義的『導出』,它的結果是由此得到︰

零步u \rightarrow_R u
多步u \rightarrow_R v 之導出或是一步或是接續使用多次單步導出關係,u \rightarrow_R s_1, \ s_1 \rightarrow_R s_2, \dots \rightarrow_R v

又稱之為關係 R 的『reflexive transitive closure』自反遷移封閉性。

通常□□系統或○○理論的論述展開多半藉著引入新的『定義』,證明△△具有某某性質,推導『☆☆定理』之種種。於此我們應當特別注意其中『定義』的使用,明確的了解『所言何事』和『所指何物』,因為許多不經意的誤謬就是這麼產生的。英國分析學派哲學家喬治‧愛德華‧摩爾 George Edward Moore 最先提出『自然主義謬誤』,他認為『』是『不可化約』 non-reducible 的性質,也就是說它是『基本』概念,並不能用別的概念來定義它有些人將『』定義成『較令人喜悅的』、『更使人渴望的』或『相對進化的』等等,都是一種『錯誤。同時他也認為『與倫理有關』之概念是不可以用著『關乎自然』的概念 ── 生存功利天擇、…──來『解釋』的事實上『自然界』有的現象和發生的事件是一種『實然』,而『倫理領域』所談的待人之『原則』與處事之『道理』是一種『應然如果用『實然』來推論『應然』,自當是一種『謬誤』

舉例而言那些類似如下的『說法』:

戰爭是能被允許的,因為暴力是種人類的本能。

素食者是愚昧的,因為人們已經吃了幾千年的肉。

男人和女人實在不應該擁有同樣的社會角色,自然中男人有較強壯的肌肉,而女人卻可以生小孩。

通姦是可接受的,由於想要更多的性伴侶是人類之自然慾望。

 

── 與其想改寫昨日的我,不如就活在當下,

反思再創未來之我!!──

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