如果人們已經知道『五次以上』之方程式沒有『多次方根』形式的一般解︰

畢卡索名作《格爾尼卡》

群論啟始者

伽羅瓦理論創造者

$\sqrt[4]{-1}$ 之根

$\sqrt[3]{-1}$ 之根

$\pm \sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x}$

概念的由來並非是無根之木突然結果，自有歷史的淵源，比較像鐵樹開花，基礎之因和境遇之緣的偶遇，彷彿一道閃光劃破天際，於是人們就知道了雷聲不遠的了。

在『群論』 group theory 的歷史上，兩位重要的興起者，或許因為不同的環境因素，都發生不幸的早夭事件。其一是挪威數學家尼爾斯‧亨利克‧阿貝爾 Niels Henrik Abel 生於一八零二年，一八二五年得到政府之資助，始得遊學柏林和巴黎。由於生前不得志，現實裡一直無法獲得教席而能專心的研究，最終在一八二九年，因肺結核在挪威的弗魯蘭病世。就在死後兩天，家中收到了來自柏林的聘書。阿貝爾他以證明五次方程式『不可能』用『多次方根形式』 $\sqrt[n]{x}$ 的一般解與對於『橢圓函數論』的研究而聞名於世。

法國著名的數學家埃瓦里斯特‧伽羅瓦 Évariste Galois 生於一八一一年，當他還是十多歲的青年之時，他就已經發現了 N 次多項式可以用『根式解』的『充份必要條件』，這解決了長期困擾數學界的問題。伽羅瓦是第一個使用『群』 group 這一個術語的人。據聞他是一位激進的共和主義者，在路易‧菲利普復辟的時期被捕入獄。一八三二年時，伽羅瓦於出獄後，在一次幾乎自殺式的決鬥中喪了命，此事件的起因引起了多方各種的揣測？？在今天他與阿貝爾並稱為『現代群論』的創始人。

過去大數學家『歐拉』曾經著書立論，強調新的數學常常是起源於『觀察』與『實驗』。那麼伽羅瓦和阿貝爾他們又在觀察『什麼』的呢？假使思考 N 階『多項式』和 N 次『方程式』的『融會處』

$P(x) = \sum \limits_{i=0}^{i=n} c_i \cdot x^i = 0 \ =?= \prod \limits_{k=1}^{k=n} x - x_k$

，此處 $c_i$ 是『有理數』， $x_k$ 是對應的『根』。

那麼當時果真已經證明了 N 次『方程式』就有 N 個解的嗎？其實並非如此，然而『三次』與『四次』方程式求解的一般的『方法』大概已經知道了。這又和『五次』方程式能不能求解有什麼關係的呢？就樣我們就從 $\sqrt{2}$ 是『有理數』嗎開始，也許可以窺見一斑。為什麼說 $\sqrt{2}$ 『不可能』是『有理數』的呢？因為它不可能『表達』成『有理數』的『形式』 $\frac{p}{q}$ ，一般約定的說此處 $p$ 與 $q$ 是整數而且互質。如果依據『歐幾里得』的證法，假使講一個有理數 $Q$ 的『因式分解』，沒有任何一個『質因子次方』大於二 ── 其內沒有平方數 ──，那麼這個 $\sqrt{Q}$ 也就必然不會是『有理數』的了。這又是為什麼呢？因為假設 $\sqrt{Q} = \frac{p}{q}$ ，就可以得到 $p^2 = q^2 \cdot Q$ ，然而因為 $p, q$ 『互質』，所以 $p = k \cdot Q$ ，而且 $k, q$ 也『互質』，這樣又可以得到 $q^2 = k^2 \cdot Q$ ，因此 $q = m Q$ 就一定是當然的了，於是 $p$ 和 $q$ 就有了共同『因子』 $Q$ ，這卻產生了『假設矛盾』，因是之故，『歸謬』的得出了 $\sqrt{Q}$ 不是『有理數』。那麼當我們談及 $P(x) = x^2 -2 = 0 = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$ 時，這裡所說的『多項式』與『方程式』是一樣的嗎？它們的內在聯繫又是什麼的呢？

── 摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下下‧上》

為何繼續探究『白努利多項式序列』 $B_n (x)$ 之『根』呢？

乃今這個序列又稱之為『阿佩爾序列』

Appell sequence

In mathematics, an Appell sequence, named after Paul Émile Appell, is any polynomial sequence {p_n(x)}_{n = 0, 1, 2, …} satisfying the identity

{d \over dx}p_{n}(x)=np_{{n-1}}(x),

and in which p₀(x) is a non-zero constant.

Among the most notable Appell sequences besides the trivial example { xⁿ } are the Hermite polynomials, the Bernoulli polynomials, and the Euler polynomials. Every Appell sequence is a Sheffer sequence, but most Sheffer sequences are not Appell sequences.