《山海經‧西次三經》:
又西三百五十里曰天山,多金玉,有青雄黃,英水出焉,而西南流注於湯谷。有神焉,其狀如黃囊,赤如丹火,六足四翼,渾敦無面目,是識歌舞,實惟帝江也。
《莊子‧內篇‧應帝王》︰
南海之帝為倏,北海之帝為忽,中央之帝為混沌。
倏與忽時相與遇於混沌之地,混沌待之甚善。
倏與忽謀報混沌之德,曰:
『人皆有七竅,以視聽食息,此獨無有,嘗試鑿之。』
日鑿一竅,七日而混沌死。
不 知莊子是否在忽悠人的嗎?混沌和盤古有無關係的呢??
法國的儒勒‧昂利‧龐加萊 Jules Henri Poincaré 最偉大的數學家之一,理論科學家和科學哲學家。他被公認為是十九世紀末與二十世紀初的數學領袖,一位繼天才高斯之後對數學及其應用具有全面知識之最後一人。他在數學、物理數學和天體力學上都有很多獨創性的貢獻。龐加萊提出的『龐加萊猜想』是數學中最著名的問題之一 ,一個克雷數學研究所所懸賞求解的七大千禧年數學難題 ──,二零零六年確認由俄羅斯數學家格里戈里‧佩雷爾曼 ригорий Яковлевич Перельман 完成最終證明,亦在同年獲得菲爾茲獎,但他卻並未現身領獎 ── 。龐加萊在物理學『三體問題』之研究中的發現,使他成了知道『確定性系統』之『混沌』現象的第一人,並為今天的『混沌理論』打下了基礎。
一個質量 物體,初始位置在 ,初始速度為 ,在 軸上運動,依據牛頓的第二運動定律,它的運動滿足一個二階微分方程式︰
一般而言,除了一些特殊的力 的形式,比方說簡諧運動之線性彈力 ,微分方程式很難有『確解』,大概都得用『數值分析』的方式求解。那麼有沒有另一種運動描述辦法的呢?龐加萊和玻爾茲曼 Boltzmann 等人發展了『相空間』phase space 的想法,因為物體一旦給定了初始位置與初始速度── 一般使用動量 ──,它的運動軌跡就由牛頓的第二運動定律所確定,相空間是一個 (位置,動量) 所構成的座標系,這樣該物體的運動軌跡就畫出了相空間裡的一條線 ── 叫做相圖 phase diagram ──。一般這條曲線不會『自相交』,因為相交代表有不同的運動軌跡可以選擇,所以一旦相交會就只能是一種『週期運動』。龐加萊在研究三體問題的相圖時,卻發現只要『初始點』── 位置或動量 ──,極微小的變化,相圖就發生很大的改變,這種『敏感性』可能導致系統的『不可預測性』或是『不穩定性』。那我們的太陽系是穩定的嗎??
現今的混沌理論 Chaos theory 描述『非線性』系統在一定參數條件下會發生『分岔』 bifurcation 現象,周期運動與非周期運動可能相互『糾纏』,以至於通往某種非周期又可以有序之運動理論。因此它是一種兼具『定性』與『定量』的分析之思考方法,用以探討動力系統中無法僅用『一時單一』的數據,必須用『連續整體』的數據才能加以解釋或是描述該系統之行為。
『混沌』chaos 一詞源自古希臘哲學家認為宇宙起源於混亂無序的狀態,逐漸由這個混沌之初形成現今有條不紊的世界。這個混沌論說︰
一切事物的初始狀態,都只是一些看似無關的碎片,然而當此混沌過程結束之時,這些碎片終自主有序的聚合成一個整體。
左圖演示一個『雙擺』Double pendulum 的運動,系統總能量取某些數量時它的運動是混沌的。假使想要對它『數值』求解,從『數值分析』的程式設計觀點來看這個數據『敏感性』問題 ── 叫做『惡劣條件』ill condition ──,通常需要作多次多種『收斂測試』,否則到底計算出來的是什麼,可就說不清的了。有興趣物理、數學或寫程式的讀者可以參考︰
因為牛頓力學的『確定性』使然,法國數學家皮埃爾‧西蒙‧拉普拉斯 Pierre-Simon marquis de Laplace 曾經想像了一個『拉普拉斯的惡魔』Démon de Laplace 的妖怪,此物之智︰因能知道宇宙中每個原子確切的位置和動量,所以能夠使用牛頓定律來計算演示萬有事件的完整過程,無論是過去、現在以及未來。不知此妖遇到了混沌後,結果到底又是如何的呢?或許會……再組織……
『自组織』現象是近代非線性科學和非平衡態熱力學研究中,最令人驚奇的一個發現︰
是一系統內部組織化的過程,通常是一開放系統,在沒有外部來源引導或管理之下會自行增加其複雜性。 自組織是從最初的無序系統中各部分之間的局部相互作用,產生某種全局有序或協調的形式的一種過程。這種過程是自發產生的,它不由任何中介或系統內部或外部 的子系統所主導或控制。
一九零零年法國的貝納德 Henri Claude Bénard 於其博士論文展示了將薄層液面加熱,漸次產生了『對流花紋』。這是非線性自組織現象的第一個著名實驗。
─── 有序的事物將走向失序,
組織又從混沌中自生,
大自然總奧妙不斷。───
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