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GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【四‧平面國】《己》

【苯環之夢】

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凱庫勒夢到了苯分子是一個環狀結構 。

1864年冬，某天德國化學家凱庫勒 Friedrich August Kekulé von Stradonitz 正坐在壁爐前打瞌睡，迷糊中原子們開始飛舞，碳原子串成了鏈，像蛇一般環繞，就像咬著自己的尾巴似的，在他眼前迴旋。 猛然地驚醒後，凱庫勒終於明白了苯分子是一個環狀結構。碳原子們在對稱的六邊形上跳動。

Kekulé’s dream

Kekulé’s proposal for the structure of benzene (1872)

The German organic chemist August Kekulé described the eureka moment when he realized the structure of benzene:[19]

I was sitting, writing at my text-book; but the work did not progress; my thoughts were elsewhere. I turned my chair to the fire and dozed. Again the atoms were gamboling before my eyes. This time the smaller groups kept modestly in the background. My mental eye, rendered more acute by the repeated visions of the kind, could now distinguish larger structures of manifold conformation: long rows, sometimes more closely fitted together; all twining and twisting in snake-like motion. But look! What was that? One of the snakes had seized hold of its own tail, and the form whirled mockingly before my eyes. As if by a flash of lightning I awoke; and this time also I spent the rest of the night in working out the consequences of the hypothesis.

 

說道精誠所至、夢裡顯現，考之科學史有之。若問夢『銜尾蛇』者如何解？聽聞知名的心理學家『榮格』認為『銜尾蛇』其實是反映了人類的『心理原型』，果然『真積力』也！但讀《平面國數點》講『點頭派』之興起，源自一夢 ── 平行線交於『無窮』 \infty ── ，故以證明此義為『入門題』◎

也曾苦思其義，一日夢夢之際 ，耳邊響起嗚哩哇啦聲響，正覺擾人清夢之時，咦！？這不是老子

道德經‧第二十五章

有物混成，先天地生。寂兮寥兮，獨立不改，周行而不殆，可以為天下母。吾不知其名，字之曰道，強為之名曰大。大曰逝，逝曰遠 ，遠曰反。故道大，天大，地大，王亦大。域中有四大，而王居其一焉。人法地，地法天，天法道，道法自然。

嗎？？恍兮惚兮惟『大、逝、遠、反』四字聽得分明！！猛想之下無蹤無影矣★

方將悵惘到底什麼『驢題』之刻︰

驢橋定理

驢橋定理（拉丁語：Pons asinorum），也稱為等腰三角形定理，是在歐幾里得幾何中的一個數學定理，是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。等腰三角形定理也是歐幾里得的幾何原本第一卷命題五的內容。

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋，另外一種比較廣為大家接受，是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為往後續更困難命題的橋樑[1]。幾何學是列在中世紀的四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為「笨蛋的難關」[2]，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞也變成是一種隱喻，是指對能力或了解程度的關鍵測試，可以將了解及不了解的人區分開來[3]。

Pons asinorum

In geometry, the statement that the angles opposite the equal sides of an isosceles triangle are themselves equal is known as the pons asinorum (Latin pronunciation: [ˈpons asiˈnoːrʊm]; English /ˈpɒnz ˌæsᵻˈnɔərəm/ PONZ-ass-i-NOR-(r)əm), Latin for “bridge of donkeys”. This statement is Proposition 5 of Book 1 in Euclid‘s Elements, and is also known as the isosceles triangle theorem. Its converse is also true: if two angles of a triangle are equal, then the sides opposite them are also equal.

The name of this statement is also used metaphorically for a problem or challenge which will separate the sure of mind from the simple, the fleet thinker from the slow, the determined from the dallier; to represent a critical test of ability or understanding.[1]‘

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Byrne版幾何原本中，驢橋定理的內容，有列出部份歐幾里得的證明

假如兩個三角形全等之 第一原理為 SAS ── 夾角相等、夾角之兩邊亦皆對等 ── ，那麼作等長之延伸線段，迭代使用 SAS 證明，的確需要一番思慮。若是 SSS ── 三邊長都對應相等 ── 當第一原理，或許只需在等腰三角形之底取中點，就可藉 SSS 得出兩底角相等。據知幾何原本裡根本沒有 SSS 全等，這又為什麼呢？難到是因為它不夠直覺嗎？還是以一邊為底，兩端點各依所餘兩邊作圓，此二圓將相交於兩點，那要如何判定所形成的這兩個三角形全等的 呢？？也許 SSS 之證明可以藉著在頂點處作條平行於底邊的平行線︰

『歐幾里得』的『平行公設』 ── 經過『線外』一『點』，只能作一條『平行線』平行該『線』 ──，或許正因為不夠『直覺』，然而又有人將它看成了『公理』，於是乎長期以來議論不斷，如此經過了兩千多年。一八二零年時，俄國數學家『尼古拉‧伊萬諾維奇‧羅巴切夫斯基』 Никола́й Ива́нович Лобаче́вский 想用『歸謬法』證明︰假使僅『反對』了『平行公設』 ── 假設有兩條平行線 ── ，但是卻『保留』著『其它公設』，這樣的『幾何系統』是不是會發生內部 之『邏輯矛盾』的呢？本來是想『證明』平行公設的『必要性』，結果意外『成立』了一門『新的幾何學』，這就是第一個被提出的『非歐幾何學』。如果從『羅氏幾何學』建構方法來看，我們可以『知道』只要『選擇』邏輯上不矛盾的『一些公理』都有可能『成立』一種『幾何學』。這樣我們的『大自然』它會『選擇』特定的『幾何學』的嗎？假使果真有這個『幾何學』，我們又要『依據』什麼才能『判斷』它是『真實』的呢？？因此我們或許更當 細思『先驗知識』與『後驗知識』之間的大哉『辯』與『辨』的吧！！

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三種平行假設


笛沙格定理

如果A.a，B.b，C.c 共點，那麼 (A.B)∩(a.b)，(A.C)∩(a.c)，(B.C)∩(b.c) 共線。

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雙曲面幾何學
多條平行線

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球面幾何學
沒有平行線

─── 摘自《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 !!!! 》上》

在此頂點兩端都可取一點，依據 SAS 及內錯角相等，全等於 SSS 之三角形。如是再因平行線的唯一性而得證。

─ 摘改自《光的世界︰【□○閱讀】樹莓派近攝鏡‧下‧答之承》

 

突得一朦朧『意象』，醒後忙作一圖︰

 

，且自解自證一番︰

x = \lambda 線上之一般點 (\lambda, n \cdot \lambda) 為『視線』 L_n 投影至 (\frac{1}{n},1) 點，當 n \to \infty 時，落於 Y 軸之 (0, 1) 處 ── 消失點 ──，此刻 n \cdot \lambda \to \infty ── 無窮遠點── 也。當下『視線』 L_n 與 Y 軸 x=0 重合，故知『平行』之 x=0 和 x = \lambda 實『相交』的哩☆