λ 運算︰計物數《上》

韓信點兵多多益善

『孫子算經』的作者不知何許人也，成書的年代不詳，一些學者根據書中事物發生的時間來看，約是在魏晉南北朝，距今已超過一千五百年了。

《卷下‧第三十一題》︰雞兔同籠問題的始祖

今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足。問雉、兔各幾何？
答曰：雉二十三。兔一十二。
術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七。以少減多，再命之，上三除下三，上五除下五。下有一除上一，下有二除上二，即得。
又術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

《卷下‧第二十六題》︰中國餘數定理

今有物，不知其數。三、三數之，賸二；五、五數之，賸三；七、七數之，賸二。問物幾何？
答曰：二十三。
術曰：「三、三數之，賸二」，置一百四十；「五、五數之，賸三」，置六十三；「七、七數之，賸二」，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數之，賸一，則置七十；五，五數之，賸一，則置二十一；七、七數之，賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。

【孫子歌】

三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。

《孫子算經‧序》孫子曰：

夫算者，天地之經緯，群生之元首；五常之本末，陰陽之父母；星辰之建號，三光之表裹；五行之準平，四時之終始；萬物之祖宗，六藝之綱紀。稽群倫之聚散，考二氣之降升；推寒暑之迭運，步遠近之殊同；觀天道精微之兆基，察地理從橫之長短；采神祇之所在，極成敗之符驗；窮道德之理，究性命之情。立規矩，準方圓，謹法度，約尺丈，立權衡，平重輕，剖毫釐，析黍絫；歷億載而不朽，施八極而無疆。散之不可勝究，斂之不盈掌握。嚮之者富有餘，背之者貧且窶；心開者幼沖而即悟，意閉者皓首而難精。夫欲學之者必務量能揆己，志在所專。如是則焉有不成者哉。

南宋時的數學家秦九韶著作《數書九章》內有『大衍求一術』，正好用來『解詩』，『七十』除三餘一，卻為『五、七』整除；『二十一』除五餘一，卻為『三、七』整除；『十五』除七餘一，卻為『三、五』整除；三數的最小公倍數『三乘五乘七』是為『百零五』，所以答案是 $105 \times n + 1$ 。『科技』與『人文』難道一定是『南轅北轍』不能『對話共歌』的嗎？？

義大利的數學家朱塞佩‧皮亞諾 Giuseppe Peano 提出『自然數』之五條公設的系統。用著『未定義』的『基元』數『零 $0$ 』，以及『後繼數』successor 的概念，打造了一階算術系統，現今稱之為『皮亞諾算術系統』︰

一、 $0$ 是自然數。
二、如果 $n$ 是自然數，則 $n$ 的後繼數也是自然數。
三、 $0$ 不是任何自然數的後繼數。
四、如果兩個自然數的後繼數相等，則這兩個自然數相等。
五、任何關於自然數的命題，假使證明了這個命題對於自然數 $0$ 是真的，如果它對自然數 $n$ 為真時，又可以證明它對 $n$ 後繼數也真，那麼這個命題對所有的自然數都是真的── 數學歸納法 ──。

於是可以將皮亞諾算術表達成︰此處 $S$ 代表某數之後繼數

$\forall n (Sn \neq 0)$
$\forall m, n ((Sm = Sn) \Rightarrow m = n)$
$\varphi[0] \wedge \forall n \ (\varphi[n]\Rightarrow\varphi[Sn]) \Rightarrow \forall n \ (\varphi[n])$ ，就是數學歸納法
$\forall n (n + 0 = n)$
$\forall m, n(m + Sn = S(m + n))$
$\forall n (n \cdot 0 = 0)$
$\forall m, n (m \cdot Sn = (m \cdot n) + m)$

唐賈島《尋隱者不遇》
松下問童子，
言師採藥去。
只在此山中，
雲深不知處。

果真身緣此山中，不識廬山真面目！！

皮亞諾將『算術』公設化變成了祇有『零』、『後繼數』以及『相等』三個關於『計物數』之『基本』的『概念』。抽象了的『自然數』是否一樣『自然』，能如『骨牌』從『零』開始，一個推倒一個以至於『無窮』的嗎？？

自從坎特爾用『集合論』將『數是什麼』以『一對一』『函數』來說明『有限集合』的『元素數目相等』概念之時，目的是通向『無限大』的『詮釋』，然而這使得人們重新發現『數ㄕㄨˇ數ㄕㄨˋ』的概念原來並非是『那麼簡單』。一八八九年皮亞諾所寫之《算術原理：用一種新方法的說明》的書開啟了自然數公設化的先河。或許這就是邱奇之所以會用著『一一對應』的方式，創造了一種將整體『自然數』都給『編碼』encode 成了『 λ函式』的方法。在此為了避免『歷史事實』的爭議，就讓我們先拋掉所謂的『自然數』是不是該『始於一』之『歷史包袱』吧！也許簡單假設它是『起於無』的吧！由於『 λ 表達式』中根本就沒有『數』的『概念』，只有『變元』、『函式』和『應用』與可以『運用』，因此將『計物』比擬成『記點函式』應用於『所數之物』，彷彿用指點著它『一個一個』的數，『指點幾次』就是『該物之數』也是很自然的吧！！這樣我們就可以在『純 λ語言』裡『定義』邱奇數 ── 皮亞諾自然數的編碼 ──，是︰

一、 $0 =_{df} \lambda f. \lambda x. x$ ，零
二、 $SUCC =_{df} \lambda n. \lambda f. \lambda x. (n \ f \ x)$ ，後繼數產生方法
三、 $n =_{df} SUCC ( SUCC \cdots (SUCC \ 0))$ ，某數 $n$

。假使你將『第一條』與『第二條』輸入設定為『純 λ 運算』且沒有『 $\eta$ 變換』的 Lambda Calculator，然後用著『逐次逐個』的方式定義『 $1, 2, 3, \cdots, 9, \cdots$ 』，你會得到︰

0 [\f.\x.x] = \f.\x.x
1 [SUCC 0] = \f.\x.f x
2 [SUCC 1] = \f.\x.f (f x)
3 [SUCC 2] = \f.\x.f (f (f x))
4 [SUCC 3] = \f.\x.f (f (f [f x]))
5 [SUCC 4] = \f.\x.f (f (f [f (f x)]))
6 [SUCC 5] = \f.\x.f (f (f [f (f (f x))]))
7 [SUCC 6] = \f.\x.f (f (f [f (f (f {f x}))]))
8 [SUCC 7] = \f.\x.f (f (f [f (f (f {f (f x)}))]))
9 [SUCC 8] = \f.\x.f (f (f [f (f (f {f (f (f x))}))]))
…

假使將 $f$ 詮釋成的『作記號函式』── 在『物上作《 . 》記號』──，這樣 $SUCC$ 就是調用『作記號函式』針對『當下物』 $x$ 多作『一次』記號。由於這是『一一對應』的『記點』作法，那麼『物之數』自然就會『相等』於『做了幾次記號』的函式。難到這樣當真是『可行』的嗎？這一種『鏡花水月』的『定義』方式就已經能夠產生『算術』的了嗎？？