光的世界︰派生科學計算六‧上

過去我們曾經談過伽利略變換︰

如果從『伽利略變換』如何『觀察』這個『相對性』的意義的呢？假設以『□觀察者』 $(x_{\Box}, t_{\Box})$ 為『靜止』，『□觀察者』見『○觀察者』 $(x_{\bigcirc}, t_{\bigcirc})$ 以『速度』 $v$ 向右運動，假使他們彼此能『交換資訊』，同意兩者的『原點』相同，那麼他們對『時空現象』或者說『事件』的『位置‧時間』描述滿足

$\begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} = G_v \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -v \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

。『□觀察者』的『原點』 $(0, t_{\Box})$ 對『□觀察者』是『靜止』的，然而對『○觀察者』而言，是 $x_{\bigcirc} = - v \cdot t_{\Box}$ 和 $t_{\bigcirc} = t_{\Box}$ ，它以『速度』 $v$ 『等速向左』運動。其次對於『□觀察者』而言，所發生的『同時兩事件』 $(x_{\Box}^1, t_{\Box})$ 與 $(x_{\Box}^2, t_{\Box})$ ，對『○觀察者』而言，是 $(x_{\Box}^1 - v \cdot t_{\Box}, t_{\Box})$ 和 $(x_{\Box}^2 - v \cdot t_{\Box}, t_{\Box})$ 也是『同時的』。既然『運動是相對的』，假使我們以『○觀察者』為『靜止』，來作個『伽利略變換』的『物理檢驗』，那麼 $\begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix} = G_{-v} \begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix}$ 當是應該的了。也就是說 $G_{-v} = {G_v}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}$ ，讀者自己可以『確證』 $\begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & - v \\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - v \\0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$ 它的『正確性』。也可以說『物理之要求』不得不決定了『數學的表達式』的吧！，所謂的『自然律』並不『必須』要『滿足』這種或那種『數學』的耶！！如果說『○觀察者』觀測某一個『星辰』 $(x_{\star}, t_{\star})$ 用 $w$ 的『速度』向右『直線運動』，那麼這一個『星辰』相對於『□觀察者』的『速度』是什麼的呢？『直覺上』我們認為既然『★ 對 ○ 是 w 向右，○ 對 □ 是 v 向右』，那麼『★ 對 ○ 該是 w + v 向右』的吧！我們可以用『伽利略變換』計算如下

$\begin{bmatrix} x_{\star} \\ t_{\star} \end{bmatrix} = G_w \begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -w \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & -w \\0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -v \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & -(w+v) \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

$= G_{(w+v)} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

，果真是『符合直覺』的勒！！

─── 摘自《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 !!!! 》下》

現今如果使用符號運算作回顧︰

pi@raspberrypi:~ *** QuickLaTeX cannot compile formula:
ipython3
Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11) 
Type "copyright", "credits" or "license" for more information.

IPython 2.3.0 -- An enhanced Interactive Python.
?         -> Introduction and overview of IPython's features.
%quickref -> Quick reference.
help      -> Python's own help system.
object?   -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.

In [1]: from sympy import *

In [2]: init_printing()

In [3]: xα, xβ, xγ, yα, yβ, yγ, v, w = symbols('xα, xβ, xγ, yα, yβ, yγ, v, w')

In [4]: 伽利略變換 = Matrix([[1, -v], [0, 1]])

In [5]: 伽利略變換
Out[5]: 
⎡1  -v⎤
⎢     ⎥
⎣0  1 ⎦

In [6]: 伽利略變換.inv()
Out[6]: 
⎡1  v⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

In [7]: 伽利略變換.det()
Out[7]: 1

In [8]: 伽利略變換.inv().det()
Out[8]: 1

In [9]: G = Matrix([[1, -w], [0, 1]])

In [10]: G
Out[10]: 
⎡1  -w⎤
⎢     ⎥
⎣0  1 ⎦

In [11]: G * 伽利略變換
Out[11]: 
⎡1  -v - w⎤
⎢         ⎥
⎣0    1   ⎦

In [12]: 伽利略變換 * G
Out[12]: 
⎡1  -v - w⎤
⎢         ⎥
⎣0    1   ⎦

In [13]: 
</pre>
 

<span style="color: #003300;">貌似簡單了！！卻也讓人懷疑論述『座標系』之選取，為什麼僅止於『平移』的呢？？</span>
<h1 id="firstHeading" class="firstHeading" lang="zh-TW"><span style="color: #003300;"><a style="color: #003300;" href="https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B9%B3%E7%A7%BB">平移</a></span></h1>
<span style="color: #808080;">在<a class="mw-redirect" style="color: #808080;" title="仿射幾何" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%87%A0%E4%BD%95">仿射幾何</a>，<b>平移</b>（translation）是將物件的每<a class="mw-redirect" style="color: #808080;" title="點" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%9E">點</a>向同一方向移動相同距離。</span>

<span style="color: #808080;">它是<a class="mw-redirect" style="color: #808080;" title="等距同構" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%B7%9D%E5%90%8C%E6%A7%8B">等距同構</a>，是<a style="color: #808080;" title="仿射空間" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E7%A9%BA%E9%97%B4">仿射空間</a>中<a style="color: #808080;" title="仿射變換" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2">仿射變換</a>的一種。它可以視為將同一個<a style="color: #808080;" title="向量" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F">向量</a>加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">  </span><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6" alt="\mathbf {v} " />是一個已知的向量，<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">  </span><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd73e3862cb92b016721b8c492eadb4e8a577527" alt="\mathbf{p}" />是空間中一點，平移 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ef190970526b4786ba110e009049bb934d3015" alt="T_{{{\mathbf {v}}}}({\mathbf {p}})={\mathbf {p}}+{\mathbf {v}}" />。</span>

<span style="color: #808080;">將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b693a74c20fc4905434fc29332de3d33ab61ff" alt="T_{{{\mathbf {v}}}}(T_{{{\mathbf {u}}}}({\mathbf {p}}))=T_{{{\mathbf {v}}+{\mathbf {u}}}}({\mathbf {p}})" />，因此所有平移的集是一個<a style="color: #808080;" title="群" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4">群</a>，稱為<b>平移群</b>。這個群和空間同構，又是<a class="new" style="color: #808080;" title="歐幾里德群（頁面不存在）" href="https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%AD%90%E5%B9%BE%E9%87%8C%E5%BE%B7%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1">歐幾里德群</a>E(n)的<a style="color: #808080;" title="正規子群" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E5%AD%90%E7%BE%A4">正規子群</a>。</span>

<span style="color: #808080;">T對E的<a style="color: #808080;" title="商群" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%95%86%E7%BE%A4">商群</a>與<a style="color: #808080;" title="正交群" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%BE%A4">正交群</a>O(n)同構：E(n) / T = O(n)。</span>

<img class="alignnone size-full wp-image-56644" src="http://www.freesandal.org/wp-content/uploads/220px-TraslazioneOK.png" alt="220px-TraslazioneOK" width="220" height="197" />

<span style="color: #808080;">平移將物件的每一點向同一方向移動相同距離。</span>

<span style="color: #808080;">………</span>

 

<span style="color: #003300;">難到『觀察者』之間的『座標系』不能『旋轉』的耶！！或許原因在於物理學比較專注於『相對性』原理。若是同時考慮『時間』之『平移』與『空間』之『旋轉』，恐怕難以簡明『表達』重要概念也？？！！</span>
<h1 id="firstHeading" class="firstHeading" lang="zh-TW"><span style="color: #003300;"><a style="color: #003300;" href="https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5">變換矩陣</a></span></h1>
<span style="color: #808080;"><b>變換矩陣</b>是<a style="color: #808080;" title="數學" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6">數學</a><a style="color: #808080;" title="線性代數" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0">線性代數</a>中的一個概念。</span>

<span style="color: #808080;">在<a style="color: #808080;" title="線性代數" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0">線性代數</a>中，<a class="mw-redirect" style="color: #808080;" title="線性變換" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2">線性變換</a>能夠用<a style="color: #808080;" title="矩陣" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5">矩陣</a>表示。如果<i>T</i>是一個把<b>R</b><sup><i>n</i></sup>映射到<b>R</b><sup><i>m</i></sup>的線性變換，且<i>x</i>是一個具有<i>n</i>個元素的<a style="color: #808080;" title="行向量" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%90%91%E9%87%8F">行向量</a>，那麼</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea38c119a0e701d009f7fc67b29f4064830d61b0" alt="T({\vec x})={\mathbf {A}}{\vec x}" /></span></dd></dl><span style="color: #808080;">我們把<i>m</i>×<i>n</i>的矩陣<b>A</b>，稱為<b><i>T</i>的變換矩陣</b>。</span>

<span style="color: #808080;">……</span>
<h2><span id=".E5.9C.A8.E4.BA.8C.E7.BB.B4.E5.9B.BE.E5.BD.A2.E4.B8.AD.E7.9A.84.E5.BA.94.E7.94.A8.E7.A4.BA.E4.BE.8B" class="mw-headline" style="color: #808080;">在二維圖形中的應用示例</span></h2>
<span style="color: #808080;">最為常用的幾何變換都是線性變換，這包括旋轉、縮放、切變、反射以及正投影。在二維空間中，線性變換可以用2×2的變換矩陣表示。</span>
<h3><span id=".E6.97.8B.E8.BD.AC" class="mw-headline" style="color: #ff9900;">旋轉</span></h3>
<span style="color: #808080;">繞原點逆時針<a style="color: #808080;" title="旋轉" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%8B%E8%BD%AC">旋轉</a>θ度角的變換公式是 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2a2afb8c2c5d404999fe1d9be93838cba5dc4c" alt="x'=x\cos \theta -y\sin \theta " />與 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76867df645419a8c64b041271ed4b4cfb968cd09" alt="y'=x\sin \theta +y\cos \theta " />，用矩陣表示為：</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcb27df8481ac7603f4f914ad707c9ee1be7393" alt="{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\ cos\theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}" /></span></dd></dl>
<h3><span id=".E7.BC.A9.E6.94.BE" class="mw-headline" style="color: #ff9900;">縮放</span></h3>
<span style="color: #808080;"><a style="color: #808080;" title="縮放" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BC%A9%E6%94%BE">縮放</a>(反矩陣)公式為 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c5df9ada8e915668be98d23166db655aae37d1" alt="x'=s_{x}\cdot x" />與<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">  </span><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39654008a50b6a5670519b77a7534bcff57dea88" alt="y'=s_{y}\cdot y" />，用矩陣表示為：</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59986dd440056bdb15436fadfa7cba331970c3b5" alt="{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}" /></span></dd></dl>
<h3><span id=".E5.88.87.E5.8F.98" class="mw-headline" style="color: #ff9900;">切變</span></h3>
<span style="color: #808080;"><a class="mw-redirect" style="color: #808080;" title="切變" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E5%8F%98">切變</a>有兩種可能的形式，平行於<i>x</i>軸的切變為 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6308dc0c636bf11db1c7a9eb205fe7643c23fd" alt="x'=x+ky" />與<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">  </span><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6239f12a70a7f715303934acf9dbae208fceb80" alt="y'=y" />，矩陣表示為：</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f624067705d7c2fd3fe7617b7cfefe8fdbb8fed6" alt="{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}" /></span></dd></dl><span style="color: #808080;">平行於<i>y</i>軸的切變為<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y">  </span><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cc09be3190c7464511712d6a1ba96481f83fa2" alt="x'=x" />與 <img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe73a538387223e1fc7b740f25df55eaaff2b080" alt="y'=y+kx" />，矩陣表示為：</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900b7271f454574d08bcde375fc9332b702a10d0" alt="{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}" /></span></dd></dl>
<h3><span id=".E5.8F.8D.E5.B0.84" class="mw-headline" style="color: #ff9900;">反射</span></h3>
<span style="color: #808080;">為了沿經過原點的直線反射向量，假設（<i>u<sub>x</sub></i>, <i>u<sub>y</sub></i>）為直線方向的<a style="color: #808080;" title="單位向量" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%90%91%E9%87%8F">單位向量</a>。變換矩陣為：</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b68732b304cddf27e113ac8d5d4bbdfcad6bdc4" alt="{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2u_{x}^{2}-1&2u_{x}u_{y}\\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^{2}-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}" /></span></dd></dl><span style="color: #808080;">不經過原點的直線的反射是仿射變換，而不是線性變換。</span>
<h3><span id=".E6.AD.A3.E6.8A.95.E5.BD.B1" class="mw-headline" style="color: #ff9900;">正投影</span></h3>
<span style="color: #808080;">為了將向量正投影到一條經過原點的直線，假設（<i>u<sub>x</sub></i>, <i>u<sub>y</sub></i>）是直線方向的<a style="color: #808080;" title="單位向量" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%90%91%E9%87%8F">單位向量</a>，變換矩陣為：</span>

<dl><dd><span style="color: #808080;"><img class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b12205261ce87af35f4f47843116cb4496bfeb" alt="{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}" /></span></dd></dl><span style="color: #808080;">同反射一樣，正投影到一條不經過原點的直線的變換是仿射變換，而不是線性變換。</span>

<span style="color: #808080;"><a class="new" style="color: #808080;" title="平行投影（頁面不存在）" href="https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E6%8A%95%E5%BD%B1&action=edit&redlink=1">平行投影</a>也是線性變換，也可以用矩陣表示。但是<a style="color: #808080;" title="透視投影" href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%8F%E8%A7%86%E6%8A%95%E5%BD%B1">透視投影</a>不是線性變換，必須用齊次坐標表示。</span>

<span style="color: #808080;">───</span>

 

<span style="color: #003300;">從『變換矩陣』看『旋轉』，總是有『零點』

*** Error message:
Missing $ inserted.
Missing $ inserted.
leading text: In [2]: init_
Missing $ inserted.
Unicode character α (U+03B1)
leading text: In [3]: xα
Unicode character β (U+03B2)
leading text: In [3]: xα, xβ
Unicode character γ (U+03B3)
leading text: In [3]: xα, xβ, xγ
Unicode character α (U+03B1)
leading text: In [3]: xα, xβ, xγ, yα
Unicode character β (U+03B2)
leading text: In [3]: xα, xβ, xγ, yα, yβ
Unicode character γ (U+03B3)
leading text: In [3]: xα, xβ, xγ, yα, yβ, yγ
Unicode character α (U+03B1)
leading text: ..., xγ, yα, yβ, yγ, v, w = symbols('xα
Unicode character β (U+03B2)
leading text: ..., yα, yβ, yγ, v, w = symbols('xα, xβ
Unicode character γ (U+03B3)
leading text: ..., yβ, yγ, v, w = symbols('xα, xβ, xγ


T \cdot \vec{0} = \vec{0}2 x 2$ 之矩陣豈足以兼顧『平移』和『旋轉』乎 ！！？？終究還是得進入『仿射空間』的矣︰
仿射空間，又稱線性流形，是數學中的幾何結構，這種結構是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。
非正式描述
下面的非正式描述可能比正式的定義容易理解一些：仿射空間是沒有起點只有方向大小的向量所構成的向量空間。假設有甲乙兩人，其中甲知道一個空間中真正的原點，但是乙認為另一個點p才是原點。現在求兩個向量a和b的和。乙畫出p到a和p到b的箭頭，然後用平行四邊形找到他認為的向量a + b。但是甲認為乙畫出的是向量p +(a − p) +(b − p)。同樣的，甲和乙可以計算向量a和b的線性組合，通常情況下他們會得到不同的結果。然而，請注意：

如果線性組合係數的和為1，那麼甲和乙將得到同樣的結果！

仿射空間就是這樣產生的：甲知道空間的「線性結構」。但是甲和乙都知道空間的「仿射結構」，即他們都知道空間中仿射組合的值，其中仿射組合的定義為係數和為1的線性組合。
如果乙：λa + (1 − λ)b 則甲為：p + λ(a − p) + (1 − λ)(b − p) = λa + (1 − λ)b.
那麼對於所有滿足λ + (1 − λ) = 1的係數，即使從不同的原點開始，甲乙將以同樣的線性組合描述同樣的點
具有仿射結構的集合就是一個仿射空間。
───
仿射變換
仿射變換，又稱仿射映射，是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。
一個對向量   ${\vec {x}}$ 平移  ${\vec {b}}$ ，與旋轉放大縮小 A {\displaystyle A}  $A$ 的仿射映射為

 ${\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}$ 

上式在齊次座標上，等價於下面的式子

 ${\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&{\vec {b}}\ \\0,\ldots ,0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}$ 

在碎形的研究裡，收縮平移仿射映射可以製造製具有自相似性的碎形。

一個使用仿射變換所製造有自相似性的碎形
……
表示
如上所示，仿射變換為兩函數的複合：平移及線性映射。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性映射, 用向量加法表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣「Ａ」，平移被表示為向量   $\vec{b}$ ，一仿射映射  $f$ 可被表示為

 ${\vec {y}}=f({\vec {x}})=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.$ 

增廣矩陣
使用一 增廣矩陣 與一增廣向量, 用一矩陣乘法同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長 「1」且所有矩陣都於底部添加一排零，右邊擴長一列轉換向量，及右下角添加一個 「1」。

 ${\begin{bmatrix}{\vec {y}}\\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\,&A&&{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}{\vec {x}}\\1\end{bmatrix}}$ 

等價於y → = A x → + b → . {\displaystyle {\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.}  ${\vec {y}}=A{\vec {x}}+{\vec {b}}.$ 
以上所言之擴長矩陣被稱為 「仿射變換矩陣」，又或稱為 「投射變換矩陣」 （其可應用於 投影轉換).
此表示法以 Kⁿ之半直積 與 GL(n, k)展示了 所有可逆 仿射變換的集合。 此為一個於眾函數集結下進行的一個 群, 被稱為 仿射群
普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現平移（原點必須映射至其他點）。藉由於所有向量上擴增一座標 「1」，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中，原本之空間佔有了擴長座標一的1的子集合。 因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1). 原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成（即為錯切變換）。在高維度中的座標即為 齊次座標的一例。 假如原空間為歐幾里德, 則更高維空間為實射影空間.
使用齊次座標的優點為，藉由相對應矩陣之乘積，可將任意數目的仿射變換結合為一。此性質被大量運用於 計算機圖形, 計算機視覺 與機器人學。
 


二維平面上的仿射變換可呈現於三維空間中。平移即為沿著z軸的錯切，旋轉則以z軸為軸心