【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《二》

惠更斯原理
在『波前』wavefront 上的每一個點都可以將它看成是產生『球面次波』Spherical secondary waves 的『點波源』，而在這『之後』任何時刻的『波前』則可看作是這一些『相同相位子波』的『包絡』Envlope 『線』或者『面』。

那麼什麼是『包絡』的呢？從幾何學上講，一個『曲線族』的『包絡線』與該曲線族中的每一條曲線都『相切』tangent to 於某一點。一七三四年法國數學家亞歷克西斯‧克勞德‧克萊羅 Alexis Claude de Clairault 提出 $y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)$ 方程式。如果將該方程式對變數 $x$ 再次作『微分』得到 $0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}$ ，因此 $0=\frac{d^2 y}{dx^2}$ 或者 $0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)$ 。假使 $0=\frac{d^2 y}{dx^2}$ ，那麼 $\frac{dy}{dx} = C$ 是一個『常數』，將之代入原方程式得到『曲線族』 $y(x)=Cx+f(C)$ 的一般解。如果 $0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)$ ，它的解是上述曲線族的『包絡線』。舉例而言，下圖是 $f(p) = p^2$ 的圖示

其次『波前』的形狀可以被經過的『光學系統』所改變；而『相位相同』是講在 $t$ 時間的波前『次波』都經過了『相同』的『時距』 $\Delta t$ ，形成了 $t^{'} = t + \Delta t$ 新的波前。

藉著這原理，惠更斯給出了波的『直線傳播』與『球面傳播』的『定性』解釋，並且推導出了『反射定律』與『折射定律』。但是他卻不能解釋，為什麼當光波遇到『銳邊』、『小孔』或『狹縫』時，會偏離了直線傳播，也就是說會發生『繞射』現象。除此之外『惠更斯原理』假設了『次波』只會朝著『行進方向』傳播；然而他並沒有解釋為什麼它們不可以朝反方向傳播的呢？

法國物理學家奧古斯丁‧菲涅耳 Augustin Fresnel ，是『波動光學理論』的主要創建者之一，在惠更斯原理的基礎上假設這些『次波會彼此發生干涉』，這就是現今所稱的『惠更斯‧菲涅耳原理』，是『惠更斯原理』與『干涉原理』的開花結果。一八一八年菲涅耳將他的論文提交給法蘭西學術院的評委會。評委會的會員西莫恩‧德尼‧帕松 Siméon Denis Poisson 認為假使菲涅耳的理論成立，那麼將光波照射於一小塊圓形擋板時，所形成的陰影之中央必定會有一個亮斑，因此他推斷這理論不正確。同時與會的弗朗索瓦‧讓‧多米尼克‧阿拉戈 François Jean Dominique Arago 親自動手做了這個實驗，結果與預測相符，證實了菲涅耳原理的正確無誤。這實驗是支持光波動說的強有力的證據，與楊氏的雙縫實驗共同反駁了牛頓主導的光粒子說。

惠更斯‧菲涅耳原理 Huygens–Fresnel principle 是研究『波傳播』問題的一種『分析方法』。它能夠正確地『解釋』與『計算』波的傳播。其後德國物理學家古斯塔夫‧羅伯特‧克希荷夫 Gustav Robert Kirchhoff 的『繞射公式』給繞射提供了一個嚴謹的數學基礎。聲波的繞射現象可能使得『聽音辨位』失了準頭，聲音來源處的『波』未必是經過繞射後感覺的『其所來處』，彷彿門外樓梯間角落邊的低語聲，誤以為來於自家的大門口！！

於此我們將簡單介紹一下菲涅耳的『實驗精神』，說一說『菲涅耳原理』的『數學表達』

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如上圖所示，假使『點波源』 $Q_0$ 所發射出的球面波，它的複數『振幅』為 $\psi_0$ 、『波長』是 $\lambda$ 、因此『波數』為 $k= \frac {2\pi}{\lambda}$ 。由於一個球面波，『波擾』的數值大小與距離 $r'$ 成『反比』，『相位』會隨著波數 $k$ 與距離 $r^'$ 的乘積 $k \cdot r^'$ 而改變。所以在一個與點波源 $Q_0$ 距離為 $r^'$ 的點 $Q$ ，它的波擾是

$\psi(\mathbf{r'}) = \frac {\psi_0 e^{ikr'}}{r'}$ ，此處 $i = \sqrt{-1}$ 。

根據惠根斯原理以及波的疊加原理，將所有與點 $Q$ 在『同一波前』上的點波源所發出的『次波』，針對於空間的某個 $P$ 點，將各部份的『子波』貢獻疊加在一起，就能夠得到在點 $P$ 的『總波擾』。為了和獲得的『實驗結果相符合』，菲涅耳發覺必須將計算結果乘以一個『常數因子』 $-i/\lambda$ 與『傾斜因子』 $K(\chi)$ ；此處 $\chi$ 是三角形△ $Q_0PQ$ 在點 $Q$ 的外角。

常數因子意謂著『次波』與『主波』的相位差為 $\frac {\pi}{2}$ ，也就是說相對於主波，次波的相位超前了 $\frac {\pi}{2}$ ，此外次波與主波之間的振幅比率為 $1:\lambda$ 。關於傾斜因子的修正，菲涅耳設想，當 $\chi=0$ 時，傾斜因子 $K(\chi)$ 是最大值；而當 $\chi = \pi/2$ 時，傾斜因子 $K(\chi)$ 等於零。假使不做這個假設，那麼『次波』可以朝著各個方向傳播，這包括了『向前傳播』與『向後傳播』。然而實驗上並沒有觀察到向後傳播的『事實』，所以為了符合『實驗結果』，必須假定當『次波』朝著不同方向傳播時它的振幅不一樣，對於向前傳播的振幅最大，至於向後傳播的振幅很微小，可能等於零。經修正後，從點波源 $Q_0$ 發射出的波，其『波前』上之微小面元素 $\mathrm{d}S$ ，對於點 $P$ 所貢獻的波擾 $\mathrm{d}\psi(\mathbf{r})$ 為

$\mathrm{d}\psi(\mathbf{r}) = -\ \frac {i\psi_0 e^{ik(r'+R)}}{\lambda r' R} K(\chi)\,\mathrm{d}S$

式中， $R$ 是 $Q, P$ 兩點間的距離。

因此，在點 $P$ 的總波擾就是

$\psi(\mathbf{r}) = -\ \frac {i\psi(\mathbf{r}')}{\lambda} \int_{\mathbb{S}} \frac {e^{ikR}}{R} K(\chi)\,\mathrm{d}S$ 。

此處， $\mathbb{S}$ 代表波前的積分曲面。

當然從『克希荷夫繞射公式』，可以推導出惠更斯‧菲涅耳原理。而且並不需要菲涅耳提出的『假設』與『修正』，它們會在推導的過程中，自然而然的顯露出來。因此惠更斯‧菲涅耳的表達式可以看成是克希荷夫繞射公式的一種近似。同時克希荷夫給出了『傾斜因子 』 $K(\chi)$ 的數學式為

$K(\chi )=\frac{1}{2}(1+\cos \chi)$ 。

於是可以知道，當 $\chi=0$ 時，傾斜因子 $K(\chi)$ 是最大值 $1$ ；然而當 $\chi = \frac{\pi}{2}$ 時，傾斜因子 $K(\chi)$ 並不等於零，而是 $\frac{1}{2}$ 。所以『波』的確是朝所有『可能方向』傳播的！傾斜因子的存在使得次波的波幅會因為傳播方向的不同而不同︰朝著主波方向波幅較大；而逆著主波方向波幅較小。這解釋了為甚麼波動只會朝著前方傳播的物理現象！！