【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《一》

光的『本性』到底是什麼？一個光的『折射問題』就曾經在科學史上引發過大『論戰』！追根溯源西元二世紀時古希臘的托勒密 Claudius Ptolemy 在所著之《光學》Optics 第五卷裡，提出了他的折射實驗與定律。也許在那個時代，並不清楚『正弦』Sin 的概念，所以他結論並不正確。其後於九八四年伊朗學者伊本‧沙爾 Ibn Sahl 在《論點火鏡子與透鏡》On Burning Mirrors and Lenses 裡最早正確地描述了『折射定律』，並且將之應用於找出能夠讓『光聚焦』而又不會產生『幾何像差』之『透鏡』的形狀。然而只可惜他的研究結果並未為其它的學者所注意到。因此往後的許多年，人們又再次的從托勒密的『錯誤理論』開始『研究折射』。到了十一世紀初阿拉伯的學者海什木 Al Hazen 『重新再做』托勒密的實驗，雖然在著作的《光學書》Book of Optics 中總結出了一些法則，卻也沒能夠得出折射的『正弦定律』。如此又過了五百年，一六零二年英國天文學家托馬斯‧哈里奧特 Thomas Harriot 重新發現了『折射定律』，不過他並沒有發表這個結果，只是在與德國天文學家約翰內斯‧克卜勒 Johannes Kepler 通信中曾提及過這件事。其後於一六二一年荷蘭天文學家威理博‧司乃耳 Willebrord Snellius 推導出了一個數學上的『等同形式』，然而在其有生之年，人們並不知道他的成就。作者雖然不知這些偉大的『天文學家們』為何當時『人不知』他們的『研究結論』？然而設想從事『竹藤工藝』者，假使不知道『如何彎曲』那個『竹片』與『藤條』的話，大概想做『什麼家具』都可能是困難的吧！那麼如果不知道如何『屈折光線』，一個天文學家又怎麽能夠製造『好的透鏡』，用以『觀測天象』的呢？？

一六三七年法國的大哲學家勒內‧笛卡兒 René Descartes 在其專著《屈光學》Dioptrics 裡，推導出了這個『折射定律』，並且用自己的理論解析了一系列的『光學問題』。在這推導裡，他做了兩個『假設』︰一、『光』的『傳播速度』與周遭的『介質密度』成『正比』；二、『光的速度』沿著『交界面』方向的『速度分量守恆』。一六六二年法國律師和業餘數學家皮埃爾‧德‧費馬 Pierre de Fermat 發表了『最短時間原理』：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。藉此推導出了『折射定律』，但是該原理假設了與笛卡兒相反之『光的傳播速度與介質密度成反比』，為此費馬強烈的反駁笛卡兒的導引，認為笛卡爾的假設是錯誤的。根據歷史學者以撒‧福雪斯 Issac Vossius 一六六二年在著作《De natura lucis et proprietate》裏的敘述，笛卡兒事先閱讀了司乃耳的論文，然後調製出自己的導引。有些歷史學者覺得這指控太過誇張，令人難以置信；也有很多歷史學者都存疑過曾經發生了這回事，然而費馬與惠更斯卻分別多次重複地譴責笛卡兒之行為缺失。在此不論歷史上的『是非對錯』，這場光的『粒子說』與『波動說』之大戰正方興未艾！一六六四年英國博物學家羅伯特‧虎克 Robert Hooke 開始提倡光的『波動說』。但是一六六九年被授予劍橋大學三一學院盧卡斯數學教授席位的牛頓卻是笛卡兒的『光粒子說』之發揚者。一六七零年到一六七二年期間，牛頓負責在校講授光學。他研究了光的折射，發表『三稜鏡』可以將白光發散成彩色光譜，而且藉著透鏡和另一個三稜鏡可以將彩色光譜合組為白光。雖然虎克本人曾經公開批評牛頓的光微粒說。但是因為牛頓在多門物理領域的成就，使得他被公認是這場『光本性爭論』的贏家。

一六七八年荷蘭物理、天文和數學家克里斯蒂安‧惠更斯 Christiaan Huygens 依據虎克的提議，在其著作《光論》（Traité de la Lumiere）裡應用他創造的『子波原理』 ── 今天的惠更斯原理──，從光的波動性質，成功的推導出並且解釋了司乃耳定律。之後於一七零三年惠更斯在其著作《Dioptrica》中又談到了這定律，並且正式的將這定律的發現歸功於司乃耳。一八零二年英國的科學家與醫生托馬斯‧楊 Thomas Young ── 被譽為『世界上最後一個什麼都知道的人』 ── 做實驗發現，當光波從較低密度介質傳播到較高密度介質時，光波的波長會變短，他因此歸結出光波的傳播速度會降低。楊氏之所以大名鼎鼎在於他所提出的『雙縫實驗』 double-slit experiment 就是這一場『古典光本性大戰』勝負之最終『判定性實驗』。之後這個『光本性問題』又發生了量子力學史上的『愛因斯坦‧波耳』大戰，以及波耳所提出的『波、粒互補性原理』。那麼光到底是什麼呢？？請看

這段動畫影片道盡了現今科學所了解的『量子本性』，妙哉！沒有『觀察者』時它是『波』，想確定『它』而『作觀察』時，它又是『粒子』，果真是 Oh! My God !!

在說費馬原理之前，讓我們先談談一個函數 $f(x)$ 如何求『極值』── 極大值、極小值或拐點 ── 的問題。假使我們把函數看成是『山巒起伏』，那麼從經驗上講『山頂』就是它比『週邊都高』的地方；而『山谷』就是它比『週邊都低』的位置，一般都會比較『平坦』。因此觀察一個函數之各個點的『斜率』就可以知道它的『起伏變化』，那一些『斜率為零』的『點』，就可能是該函數那個『點附近區域』裡的『最大值』或者『最小值』，當然也可能是『凹凸改變處』，這時叫做『拐點』或者『反曲點』，它並不是那個區域裡的『極大極小值』。在數學裡一個函數『求斜率』的方法就是將該函數『微分』 $\frac{df}{dx}$ 。

就像有人說的︰『費馬原理』也許不應該稱作『最短時間原理』，而是應該叫做『平穩時間原理』。因為事實上光線並非都是選擇這一條『時間最短』的路徑。比方說右圖的『半圓形鏡面』，光走得路徑 $\overrightarrow{QO} \cdot \overrightarrow{OP}$ 是反射路徑中的『最大值』。而在『 $\frac{1}{4}$ 圓平面切合鏡面』圖中，光走得路徑 $\overrightarrow{QO} \cdot \overrightarrow{OP}$ 卻是那一個所有『可能路徑』函數中的『拐點』。而這個『平穩』是說著所有可能路徑 $\overrightarrow{QX} \cdot \overrightarrow{XP}$ 的『光徑函數』是『可微分的』這一件事。那麼這個『費馬原理』有什麼重要性嗎？它是『幾何光學』的基本原理，可以用來『推導』各類由『鏡面』與『透鏡』組合而成的『光學系統』的『成像原理』。『理解』種種『光學設備』── 望遠鏡、顯微鏡、放大鏡、近視眼鏡… ── 的『設計原理』。