樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下上

2014-10-31 懸鉤子

$P(t) = \frac{1}{1 + \mathrm e^{-t}}$

$\operatorname{logit}(p)=\log\left( \frac{p}{1-p} \right)$

$Y \approx F(X, \Box)$

$x_{n+1} = r x_n(1 - x_n)$

相圖

定點‧震盪‧混沌

一八三八年，比利時數學家 Pierre François Verhulst 發表了一個『人口成長』方程式，

$\frac{dN}{dt} = r N \left(1 - \frac {N}{K} \right)$

，此處 $N(t)$ 是某時的人口數， $r$ 是自然成長率， $K$ 是環境承載力。求解後得到

$N(t) = \frac{K}{1+ C K e^{-rt}}$

，此處 $C = \frac{1}{N(0)} - \frac{1}{K}$ 是初始條件。 Verhulst 將這個函數稱作『logistic function』，於是那個微分方程式也就叫做『 logistic equation』。假使用 $P = \frac{N}{K}$ 改寫成 $\frac{dP}{dt} = r P \left(1 - P \right)$ ，將它『標準化』，取 $CK = 1$ 與 $r = 1$ ，從左圖的解答來看， $0 < P <1$ ，也就是講人口數成長不可能超過環境承載力的啊！

如果求 $P(t)$ 的反函數，得到 $t = \ln{\frac {1 -P}{P}}$ ，這個反函數被稱之為『Logit』函數，定義為

$\operatorname{logit}(p)=\log\left( \frac{p}{1-p} \right) , \ 0 < p < 1$

，一般常用於『二元選擇』，比方說『To Be or Not To Be』的『機率分佈』，也用於『迴歸分析』 Regression Analysis 來看看兩個『變量』在統計上是『相干』還是『無干』的ㄡ！假使試著用『無窮小』數來看 $\log\left( \frac{\delta p}{1-\delta p} \right) = \log(\delta p) \approx - \infty$ 和 $\log\left( \frac{1-\delta p} {\delta p}\right) = \log(\frac{1}{\delta p}) = \log(H) \approx \infty$ ，或許更能體會『兩極性』的吧！！

一九七六年，澳洲科學家 Robert McCredie May 發表了一篇《Simple mathematical models with very complicated dynamics》文章，提出了一個『單峰映象』 logistic map 遞迴關係式 $x_{n+1} = r x_n(1 - x_n), \ 0\leq x_n <1$ 。這個遞迴關係式很像是『差分版』的『 logistic equation』，竟然是產生『混沌現象』的經典範例。假使說一個『遞迴關係式』有『極限值』 $x_{\infty} = x_H$ 的話，此時 $x_H = r x_H(1-x_H)$ ，可以得到 $r{x_H}^2 = (r - 1) x_H$ ，於是 $x_H \approx 0$ 或者 $x_H \approx \frac{r - 1}{r}$ 。在 $r < 1$ 之時，『單峰映象』或快或慢的收斂到『零』；當 $1 < r < 2$ 之時，它很快的逼近 $\frac{r - 1}{r}$ ；於 $2 < r < 3$ 之時，線性的上下震盪趨近 $\frac{r - 1}{r}$ ；雖然 $r=3$ 也收斂到 $\frac{r - 1}{r}$ ，然而已經是很緩慢而且不是線性的了；當 $r > 1 + \sqrt{6} \approx 3.45$ 時，對幾乎各個『初始條件』而言，系統開始發生兩值『震盪現象』，而後變成四值、八值、十六值…等等的『持續震盪』；最終於大約 $r = 3.5699$ 時，這個震盪現象消失了，系統就步入了所謂的『混沌狀態』的了！！

『連續的』微分方程式沒有『混沌性』，『離散的』差分方程式反倒發生了『混沌現象』，那麼這個『量子』的『宇宙』到底是不是『混沌』的呢？？回想之前『λ 運算』裡的『遞迴函式』，與數學中的『定點』定義，『單峰映象』可以看成函數 $f(x) = r \cdot x(1 - x)$ 的『迭代求值』︰ $x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), \cdots x_{k+1} = f(x_k) \cdots$ 。當 $f^{(p)} (x_f) = f \cdots p -2 times f \cdots f(x_f) = x_f$ ，這個 $x_f$ 就是『定點』，左圖中顯示出不同的 $r$ 值的求解現象，從有『定點』向『震盪』到『混沌』。如果我們將『 logistic equation』改寫成 $\Delta P(t) = P(t + \Delta t) - P(t) = \left( r P(t) \left[ 1 - P(t) \right] \right) \cdot \Delta t$ ，假使取 $t = n \Delta t, \Delta t = 1$ ，可以得到 $P(n + 1) - P(n) = r P(n) \left[ 1 - P(n) \right]$ ，它的『極限值』 $P(H) \approx 0, 1$ ，根本與 $r$ 沒有關係，這也就說明了兩者的『根源』是不同的啊！然而這卻建議著一種『時間序列』的觀點，如將 $x_n$ 看成 $x(n \Delta t), \ \Delta t = 1$ ，這樣 $\frac{x[(n+1) \Delta t] - x[n \Delta t]}{\Delta t} = x_{n+1} - x_n$ 就說是『速度』的了，於是 $(x_n, x_{n+1} - x_n)$ 便構成了假想的『相空間』，這可就把一個『遞迴關係式』轉譯成了一種『符號動力學』的了！！

在某些特定的 $r$ 值，這個『遞迴關係式』有『正確解』 exact solution，比方說 $r=2$ 時， $x_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{n}}$ ，因為 $x_0 \in [0,1)$ ，所以 $(1-2x_0)\in (-1,1)$ ，於是 $n \approx \infty \Longrightarrow (1-2x_0)^{2^{n}} \approx 0$ ，因此 $x_H \approx \frac{1}{2}$ 。再者由於『指數項』 $2^n$ 是『偶數』，所以此『符號動力系統』不等速 ── 非線性 ── 而且不震盪的逼近『極限值』的啊。

對於 $r=4$ 來講，它的解是

$x_{n}=\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)$

，此處 $\theta$ 是『初始條件』參數，可由 $\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})$ 來決定。假使 $\theta$ 是『有理數』，那麼 $\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)$ 這個『周期函數』，多次『迭代』後就可能產生『極限循環』；要是 $\theta$ 是『無理數』，它有一個『不循環』的無窮小數成份，這個『符號動力系統』就彷彿是『隨機亂動』一般，因此才說它是『混沌』的啊！假使思考 $\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})$ 是一個『有理數』的機會，怕是很渺茫的吧！！

之後，有人『擴張』了 $r=4$ 方法的『解決範圍』，考慮了如下的方程式

$y_{n+1} = a_2 {y_n}^2 + a_1 y_n + a_0, \ a_0 = \frac{(a_1 - 4)(a_1 + 2)}{4 a_2}$ ，它的解是

$y_n(\omega) = \frac{1}{a_2} \left( 2 \cos{\omega 2^{n}} - \frac{a_1}{2} \right)$ 。

並且探討了對於『整數』 $p$ ，當滿足 $f^{(p)} (x) = x$ 『定點』時的『情況』，在此我們就不多說的了。一般來說『非線性』方程式﹐很少能夠有『正確解』，通常多半需要依賴『數值分析』工具去『了解』它的內蘊，在此再次提醒讀者『樹莓派』上的『Mathematica』的『實用性』，並且給出兩個相關的鍊結給有興趣的讀者

【logistic equation】

【單峰映象】

。即使當一個『多項式方程式』的『次方數』超過了『四階』都沒有『一般解』，於是科學上也常用著『牛頓法』或又稱之為『牛頓-拉弗森法』 Newton-Raphson method 來『求』 $F(x) = 0$ 的『解』，從『數值分析』上講，就是『求解』

$x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n)}{\frac{dF}{dx}(x_n)}$ 的啊！假使說所『揣想』的『初始』答案 $x_0$ 並不『適當』，難保不會發生前述的『各種現象』，那麼又該要怎麽『判斷』的呢？？

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【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中中下

2014-10-30 懸鉤子

兩物質間之『重力』 ${\vec{F}}_G$ 與兩電荷間的『靜電力』 ${\vec{F}}_E$ 都與兩者之間的『距離平方』成反比 ${\vec{F}}_G, {\vec{F}}_E \propto \frac{1}{r^2}$ ，因此『位能』也就與『距離』成反比 $\propto \frac{1}{r}$ 的了。其實，物理上某一種『物理量』的『分布』或是『強度』，會按照距離『來源』之遠近成『平方反比』而下降，是很常見的『物理現象』之描述。於是就特別將之稱為『反平方定律』。數學上來講，『反平方定律』滿足『高斯散度定理』

$\iiint_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)\,dV=\oint_S (\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS$

。因此一個位在 $\vec{r}$ 處的『點電荷』 $Q_0$ 和一個『半徑』是 $R_s$ ，『球心』亦在 $\vec{r}$ 處，而且電荷均勻分佈，『總電荷量』也是 $Q_0$ 的『帶電球』所產生的『力場』是『等效的』，只不過那個『帶電球』在 $\vec{r}$ 處並不是『奇點』的啊！假使說『點電荷』是指當『球半徑』逼近『無窮小』 $R_s \approx \delta R$ ，『總帶電量』 $Q_0$ 卻維持不變，這樣的說法是『合理』的嗎？？

一九六零年，奧地利裔美國科學家『海因茨‧馮‧福爾斯特』 Heinz von Foerster 在《Science》雜誌上發表了一個『世界末日方程式』 Doomsday Equation。這是一個根基於世界『人口成長數據』得出的『巨觀模型』
$\frac{dN}{dt} = (a_0 N^{\frac{1}{k}})N$
$a_0 = 5.5 \times {10}^{-12}, k = 0.99$
，當『無限大』發生之時，就是『世界末日』之日
Doomsday, Friday, 13 November, A.D. 2026
。有人將之簡化後得到 $\frac{dN}{dt} = \frac{N^2}{C}$ ，這就是前面所說的『生長方程式』。在現實世界中，這通常是因為系統中有非線性『正回饋』機制所引發的『現象』。舉例來說，在『伺服器』 server 的『等候理論』 Queueing theory 裡，當『平均工作量』快超過伺服器的『處理能力』時，將會發生『佇列』極速積累現象而崩潰，結果就只能是『當機』的啊！

假使對比著『化學反應速率』方程式來看︰一個典型的『化學反應』 $m A + n B \rightarrow C$ ，
$r = - \frac{1}{m} \frac{d[A]}{dt} = k \ [A]^{m} [B]^{n}$
，此處 $[X]$ 表示一種給定的反應物的『濃度』， $k$ 表示此一反應的『速率常數』。這樣一個『二級反應速率』方程式就可以是 $-\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2$ ，這個式子中的『負號』，就是這兩者最主要的差異的啊！可以解得 $\frac{1}{[A(t)]} = \frac{1}{[A(0)]} + kt$ ，它可是不會發生那個『無限大』的吧！除了『誇張的成長』 Hyperbolic growth 之外，在天文現象上『雙曲線』敘述『只來一次』的『彗星軌道』，或許說『偶然』與『必然』並非真是隔著『千山萬嶺』，就像追問什麼是『有生命』和『無生命』的『分界』一般，終究是『難以分說』的大自然『譜系』罷了的啊！！

切割一個『圓錐』可以得到好幾類『曲線』，而『雙曲線』是其中之一，在此我們僅就『雙曲函數』 $y = \frac{1}{x}$ 的『性質』作點『鋪陳』。在數學上，如果 $y \times x = 1$ ，我們定義說 $y$ 是 $x$ 的『乘法反元素』，然而只要 $x \neq 0$ ，如果 $y = \frac{1}{x}$ ，那麼 $y \times x = \frac{1}{x} \times x =1$ ，也就是說『雙曲函數』將一個不為『零』的『實數』對應到了『此數』的『乘法反元素』。於是『無窮小』 $\epsilon$ 和『無限大』 $H$ 並不能『孤立的講』，而是必須『對偶的談』，否則就可能發生『此矛彼盾』的現象。假使說 $\epsilon = \lambda \delta x$ 而且 $H = \frac{1}{\epsilon} = {\lambda}^ {-1} \frac{1}{ \delta x}$ ，此處 $\lambda$ 是個『定量實數』，那麼依據一般『代數法則』， $H \times \epsilon = \lambda \delta x \times {\lambda}^ {-1} \frac{1}{ \delta x} = 1$ 是對的嗎？所謂的『一碼歸一碼』 Case by Case 所指的『特定性』情況，就是『無窮小』數之『等級性』的另一種說法，由於『對偶性』的要求，對於『無限大』並不能夠脫離這個『脈絡』隨意『另外陳述』的啊！也就講包含了『其一』，又怎麽可以不包含了『另一』卻想期望『不矛盾』的呢？？

那麼『雙曲函數』還有什麼重要性的嗎？舉例來說，我們該如何估計 $n!$ 的近似值的呢？如果我們用『自然對數』來看， $\ln{n!} = \sum \limits_{k = 1}^{k = n} \ln{k}$ ，
$\doteq \int_1^{n} \ln {[ x]} dx$
${\doteq x \left( \ln {[ x]} - 1 \right)}{ |_{1} ^ {n}}$
${\doteq n \ln { n} - n$ 。

再者， $\int_{1}^{t} \ln{x} dx = \int_{t}^{t^2} \ln{x} dx$ 又說著哪種特性的呢？其次它的『反函數』是什麼函數的呢？這兩者又有什麼不同的特性的嗎？

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【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中中上

2014-10-29 懸鉤子

太極

窮奇

檮杌

饕餮

《易緯略義》

乾鑿度曰：文王因陰陽定消息，立乾坤統天地，夫有形者生於無形，則乾坤安從生？故曰有太易、有太初、有太始、有太素，太易者未見氣，太初者氣之始，太始者形之始，太素者質之始，氣形質具而未相離，故曰渾淪，言萬物相渾淪而未相離，視之不見、聽之不聞、循之不得、故曰易也，易無形埒也。易變而為一，一變而為七，七變而為九，九者氣變之究也，乃復變而為一，一者形變之始，清輕上為天，濁重下為地，物有始有壯有究，故三畫而成乾，乾坤相並俱生，物有陰陽，因而重之，故六畫而成卦。卦者挂也挂萬物視而見之故三畫已上。為地四畫已上為天物感以動類相應也陽氣從下生。動於地之下則應於天之下動於地之中則應於天之中動於地之上則應於天之上。故初以四，二以五，三以上。此謂之應陽動而進，陰動而退，故陽以七，陰以八，為彖，易一陰一陽合而為十五，之謂道。陽變七之九陰變八之六合於十五則彖變之數若。陽動而進變七之九象其氣之息也陰動而退變八之六象其氣之消也故太一取其數以行九宮四正四維皆合於十五。五音六律七宿。由此作焉。故大衍之數五十所以成變化而行鬼神也。日十干者五音也。辰十二者六律也。星二十八者七宿也。凡五十所以大閡物而出之者也。此原七八九六之始一陰一陽之位說詳虞氏消息。

『大爆炸』Big Bang 又稱『大霹靂』，描述宇宙誕生『初始條件』及其『後續演化』的模型，這個模型得到了現今科研和觀測廣泛的支持。宇宙學家一般所說的大爆炸是：宇宙在遙遠的過去，由一個密度極大而且溫度極高的『太初狀態』演變而來的。依據二零一三年普朗克衛星所得到的最佳觀測結果，這個大爆炸距今約為 $137.98 \pm 0.37$ 億年前，並且一直不斷的膨脹來到了今天的狀態。一九二二年蘇聯物理學家『亞歷山大‧亞歷山大洛維奇‧弗里德曼』 Александр Александрович Фридман 用廣義相對論描述了流體，從而給出了這一模型的場方程式。一九二九年美國物理學家『愛德溫‧哈伯』通過觀測發現，從地球到達遙遠星系的距離正比於這些星系的『紅位移』 red shift，從而得出了『膨脹宇宙』的觀點。據聞『大爆炸』一詞首先是由英國著名天文學家弗雷德‧霍伊爾爵士 Sir Fred Hoyle 在一九四九年三月 BBC 的一次廣播節目中將『那個理論』稱作『這個大爆炸的觀點』。由於霍伊爾是宇宙『穩態學說』的倡導者，因此許多通俗軼事記載霍伊爾這樣講是出於諷刺，但是霍伊爾本人明確的否認了這一點，他聲稱這只是為了強調這兩種模型的顯著不同之處。

『時空』竟然有一個『起源』，那麼到底又該如何想像的呢？？

真的能求解 $\lim \limits_{t \rightarrow 0^{+}} \Psi(\vec{r},t) \ =$ 太易之波函數？？

被譽為愛因斯坦之後最傑出的理論物理學家

時間簡史：從大爆炸到黑洞 A Brief History of Time: from the Big Bang to Black Holes

大麥哲倫雲前黑洞的模擬視圖

英國著名物理學家史蒂芬‧威廉‧霍金 Stephen William Hawking 患有肌肉萎縮性側索硬化症，全身癱瘓不能發音，窮其畢生精力研究『黑洞』 black hole 。一九八八年時寫了一本《時間簡史》的科普圖書︰講述關於宇宙的起源和命運，介紹了什麼是宇宙、宇宙發展的現狀以及關於宇宙本性的前沿知識，解釋了黑洞和大爆炸等等天文物理學的理論。

在《時間簡史》一書裡，據霍金自己說︰一九七五年，他與美國理論物理家『基普‧索恩』 Kip Stephen Thorne 打賭『黑洞到底存不存在？』，為什麼打賭呢？也許霍金擔心黑洞只是『理論』上的概念，而於『現實』中可能根本不存在。或許霍金是『巴斯卡論證』的信徒，他很有意思的押寶在黑洞不存在上。也許霍金想即使他『萬一』輸了，雖然得『贈送』索恩情色雜誌《閣樓》 Penthouse 一年，畢竟證明他是『對的』。假使『幸運』贏了，就算終究他是『錯的』，至少『贏得』專門踼爆英國皇室醜聞的《私家偵探》 Private Eye 雜誌四年。事實上不久之後，霍金就很『⊙⊙』的認輸了。一九九零年霍金到南加州大學演講，當時索恩人在莫斯科，於是霍金大張旗鼓闖入索恩的辦公室拿出當年的賭據來按手印『認輸』。據聞這件事情還有個很好玩的結局，霍金就給索恩訂閱了一年的《閣樓》雜誌，這可讓『索恩的妻子』很惱火，原因倒不是因為對『閣樓』的『內容反感』，因為他的妻子認為霍金應該訂閱一份對『男女都適合』的刊物。

連光線都逃脫不了的黑洞，它可以吞天噬地，是巨大恆星的墳塚。它是因為在核融合反應的燃料耗盡後，發生重力塌縮所形成的。就目前所知，質量最小的黑洞大約是太陽質量三點八倍！！

黑洞的存在，使人們必須面對數學上的『奇異點』 singularity，又叫做『奇點』 ── 該點的值是無限大 $\infty$ ──，由於傳統數學中『無限大』的『巨量』 $H$ 就是計算機學中的『非數』 NaN Not a Number，以至於很難直接的處理。就像光滑的曲線或平面上如果有一個突起來的點，就會破壞了函數在那一點的『可微分性』。或是講一條連續的曲線中有一個斷掉的點，這個點就破壞了這條曲線的『連續性』一樣。只是『物理方程式』既然描述『大自然現象』，人們就得『解釋』這些『奇異點』的『性質』，或許創造新的『算術理論』，避開『邏輯矛盾』的啊！！

舉例來說，雙曲函數 $y = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 實是『未定義』的 $\frac{1}{0}$ ，當 $x$ 是『正無窮小』 $\delta x$ 時， $y = \frac{1}{\delta x} \approx +H$ ，於 $x$ 是『負無窮小』時， $y = \frac{1}{- \delta x} \approx -H$ ，此處 $H$ 是『超實數』中的『巨量』，也就是指『無限大』數。也就是說這個函數在 $x = 0$ 時有一個『奇點』。假使我們考慮一個『生長方程式』
$\frac{dx}{dt}=\frac{k}{(t_c-t)^2}=\frac{x^2}{k}, \ x(0) = \frac{k}{t_c}$
，這個方程是的解是
$x(t)=\frac{k}{t_c-t}$
，當 $t \rightarrow {t_c}^{-}$ 時， $x({t_c}^{-}) \rightarrow \infty$ 。這個方程式或想描述某些自然界的『臨界現象』，彷彿像核子之『連鎖反應』一般發生了突然的『大量增生』現象，那該如何『了解』這個『無限大』之『意義』的呢？？

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$

高能碰撞產生量子黑洞
又稱作微型黑洞 $R = \frac{2GM}{c^2}$

如果說設想 $\delta t \cdot \frac{N}{\delta t} = N$ ，這樣是『合理』的嗎？？

$\lim \limits_{x \rightarrow {x_0}} f(x) = L$
$\lim \limits_{x \rightarrow {x_0}^{+}} f(x) = L^{+}$
$\lim \limits_{x \rightarrow {x_0}^{-}} f(x) = L^{-}$

$f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \text{ for } x< 1 \\ 0 & \text{ for } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \text{ for } x>1\end{cases}$
在 $x_0 = 1$ 時沒有極限值

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{- 3 \sin{x}}{x} = f(H) = \frac{- 3 \sin{H}}{H} + 4 \approx 4$

$\lim \limits_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) = 0$

$\sec^2\theta \le \frac{\tan(\theta + \Delta\theta) - \tan(\theta)}{\Delta\theta} \le \sec^2(\theta + \Delta\theta)$

那麼在『超實數系』中又是怎麽看待『極限』的呢？假使說『一個點』代表一個『實數』 $x_0$ ，這樣所對應的『超實數』 $r^{*} = x_0 + \delta x$ 中的『無窮小』數就是指『那個實數』的『鄰域』。從『包含』與『不包含』這個點 $x_0$ 上來講，可以區分出『兩種鄰域』，能夠得出『不包含』這個點之『三種極限定義』

一、只要 $x \approx x_0$ 且 $x \neq x_0$ ，就能得到 $f(x) \approx L$ ，此時我們說 $\lim \limits_{x \rightarrow {x_0}} f(x) = L$ 。
二、只要 $x \approx x_0$ 且 $x > x_0$ ，就能得到 $f(x) \approx L^{+}$ ，此時我們說 $\lim \limits_{x \rightarrow {x_0}^{+}} f(x) = L^{+}$ 。
三、只要 $x \approx x_0$ 且 $x < x_0$ ，就能得到 $f(x) \approx L^{-}$ ，此時我們說 $\lim \limits_{x \rightarrow {x_0}^{-}} f(x) = L^{-}$ 。

為什麼用『不包含這個點』來作論述的呢？這是因為一個函數在『某個點』未必有『定義』或者說未必能夠『定義』的ㄡ！假使這個函數在此點 $x_0$ 是『連續的』，那麼必然是 $f(x_0) = L = L^{+} = L^{-}$ 的啊！

比方講，左圖的函數在 $x = 1$ 時，又怎麽可能是連續的呢？ $f(1) = 0$ 、 $|\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} \sin{\frac{5}{x -1} \approx \sin{{5} \cdot ( - H) | \leq 1$ 而且 $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{0.1}{x-1} \approx H$ ，所以才說在『此點』這一個函數之『極限值』是不存在的啊！！

然而左圖又是表述什麼狀況的呢？即使我們不考慮各種『可能狀況』，未必就是說不可以『直覺』的『推導』出下面的結果

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{- 3 \sin{x}}{x}$

$=\frac{- 3 \sin{H}}{H} + 4 \approx 4$

。這樣如果我們想要求得某數之『天圓 ○ 之極』，假使我們已經知道總是 $\triangle \ \leq \bigcirc \ \leq \Box$ ，而且當在『此極限』之時 $\triangle \approx \Box$ 的話，那麼我們『當不當』同意，這個『 ○ 之極』也趨近『同一極限』的呢？這就叫做『夾擊定理』或稱之為『三明治法則』，如此人們自然的就將 $x^2 \sin(\tfrac{1}{x})$ 看成 $x^2 \cdot (\leq 1)$ 之數，這樣 $\lim \limits_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x})$ 之結果難道不應該是個『零』的嗎？也就是說，就算有了『無窮小』、『無限大』以及『極限法則』以後，『如何計算』的問題依然存在的啊？也許正因為如此，有些數學家認為『無窮小』數的說法並沒有什麼『特別的』益處，也還是需要『創造解答』的方案罷了。即使這樣的『批評指正』自有所指，然而在『科學實驗』裡，所有的『量測』也都只有『有限』之『精準度』，或許僅用『有理數』來表達就『足夠』的了ㄚ？那所謂『實數』與物理『連續體』豈不也是多餘的呢？？

── 理想或是近似，到底是誰帶來了無限大的勒！！ ──

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【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中上

2014-10-28 懸鉤子

數學王子

歐拉 $\gamma$ 推導

軟體語言中的 INT(x) 函數

$0^0$ 未定式 $\lim \limits_{x \to0^+} 0^x = 0$

0/0 未定式 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty$

0/0 未定式 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ 證明圖

《莊子‧雜篇‧天下 》
……
惠施多方，其書五車，其道舛駁，其言也不中。厤物之意，曰：『至大無外，謂之大一﹔至小無內，謂之小一。無厚，不可積也，其大千里。天與地卑，山與澤平。日方中方睨，物方生方死。大同而與小同異，此之謂【小同異】﹔萬物畢同畢異，此之謂【大同異】。南方無窮而有窮。今日適越而昔來。連環可解也。我知天之中央，燕之北、越之南是也。泛愛萬物，天地一體也。』……

一九九零年發射的『哈伯太空望遠鏡』 HST Hubble Space Telescope 是以美國著名的天文學家『愛德溫‧鮑威爾‧哈伯』 Edwin Powell Hubble 為名，是一架在地球軌道上的望遠鏡。由於它位於地球大氣層之上，因此獲得了地上望遠鏡所沒有的好處：影像不受大氣湍流的影響、視相度極好，更無大氣散射造成的背景光干擾，甚至能觀測會被臭氧層吸收的紫外線。『哈伯太空望遠鏡』彌補了地面觀測的不足，幫助天文學家『理解』和『解答』了許多天文學上的『基本問題』，使得人類對『宇宙緣起』有了更深的『認識』。

『約翰‧卡爾‧弗里德里希‧高斯』 Johann Karl Friedrich Gauß 【Gauss】是德國著名數學家、物理學家、天文學家和大地測量學家，生於布倫瑞克，卒於哥廷根。高斯被認為是歷史上最重要的數學家之一，而且有『數學王子』的美譽。一八零八年，在高斯的數學巨著《算術研究》 Disquisitiones Arithmeticae 首度出現了一個形式符號 $[x]$ 它表示等於或小於實數 $x$ 的『最大整數』，也就是說 $x - 1 < [x] \leq x$ 。今天這個『高斯符號』又稱之為『底函數』 floor function $floor(x) = \lfloor x\rfloor$ ，與另一『頂函數』 ── 是指比實數 $x$ 大的『最小整數』 ── ceiling functions $ceiling(x) = \lceil x \rceil$ 成為一對，經常出現於『數學』和『計算機科學』之中。這個『高斯符號』有什麼重要的嗎？通常一個好的『符號』能使人清晰『表達』複雜和困難的『概念』，而且讓人容易『理解』所說的『內容』，因此是十分重要的啊！！

舉例來說，歐拉研究過『調和級數』 harmonic series $\sum \limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$ 和『自然對數』 natural logarithm $\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx$ 之間的關係，雖然這兩者都是『發散的』 ── 值為無限大 $\infty$ ── 它們的『差值』卻是一個叫做『歐拉-馬歇羅尼常數』的 $\gamma$ 值。它可以定義如下
$\gamma = \lim \limits_{n \rightarrow \infty } \left( \sum \limits_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)$
$=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$ .
，計算後得到
$\gamma = \sum \limits_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}$
$= \tfrac12-\tfrac13 + 2\left(\tfrac14 - \tfrac15 + \tfrac16 - \tfrac17\right) + 3\left(\tfrac18 - \dots - \tfrac1{15}\right) + \dots$
$= 0.57721 56649 \cdots$

。對一個不是『整數』的實數 $x$ ，『高斯函數』也可以表示為

$\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum \limits_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}$

。因此說『超實數系』裡也有『超整數』 hyperinteger 這就一點也不奇怪了吧！如果只從『形式定義』上講，一個『超整數』就是一個『超實數』的『整數部份』，也就是說

$[r^{*}] = [ st(r + \delta x)] = [r]$

，可能沒有什麼意思。假使設想『超實數系』既有『無窮小』 $\delta x$ ，那它的『倒數』 reciprocal $\frac{1}{\delta x}$ 就是『無限大』，也可以叫做『巨量』 Huge，一般用 $H$ 表示。如果說『某數』 $K$ 是個『巨量』，就是講 $\frac{1}{K}$ 是『無窮小』數 $\epsilon$ ，這樣 $\frac{\delta x}{\epsilon}$ 、 $\frac{H}{K}$ 、 $H \cdot \epsilon$ 和 $H - K$ 又是些什麼樣的數呢？它們被稱作『未定式』 Indeterminate form，因為假使不知道它們的『來歷』，我們並不能『確定』最終的『運算結果』 ── 是無窮小、有限量或是無限大 ── 。純就『形式』上講，它門是 $\frac{0}{0}$ 、 $\frac{\infty}{\infty}$ 、 $\infty \cdot 0$ 與 $\infty - \infty$ 的計算，然而這可在『代數運算』是不被允許的啊！但是如果 $x > 0$ ，那麼不管說 $x$ 多大多小 $0^{x} = 0$ ，因此即使 $x$ 是『正無窮小』數 $\delta x$ ，也應該得到 $0^{\delta x} = 0$ 的『極限結果』的吧！同樣的 $\frac{\delta x}{{\delta x}^3} = \frac{1}{{\delta x}^2}$ 是『趨近』於『無限大』的啊！也就是說『無窮小』與『無限大』也是有『等級』 Order 的，如果忽略了『這件事』，隨便混談『至大』和『至小』，大概就是『非量』與『非非量』的『迷惑』之所從來的了！！

舉例來說，左圖中『三角形』 $\triangle OBB^{'}$ 的面積，小於『扇形』 $\sphericalangle OBB^{'}$ ，更小於『四邊形』 $\Box OBCB^{'}$ ，於是

$\sin{\theta} \cos{\theta} < \theta < \tan{\theta}$

，因此 $\cos{\theta} < \frac{ \theta}{\sin{\theta} } < \frac{1}{\cos{\theta}}$

，然而 $\theta \approx 0, \ \cos{\theta} \approx 1}$ ，所以說 $\frac{\sin{\theta} } { \theta} \approx 1$ 的啊！也可以講當 $\theta$ 很小的時候， $\theta$ 和 $\sin{\theta}$ 是『同等級』的啊！！

假使我們想像『巨量 – 巨量 = 常量』的『情況』，就彷彿是用著超級『望遠鏡』來『觀察』遙遠的『銀河系』，然而因為『太遙遠』了，有時它不過祇是天上的『一點』亮光，甚至它的『附近』還有著『星光』點點，這難到說就是『超整數』所想『描繪』的『天文圖象』的嗎？？

由於『無窮小』數滿足『代數法則』，自然人們自可將『狄拉克 $\delta(x)$ 函數』看成『底為 $\delta x$ 高為 $\frac{1}{\delta x}$ 的矩形』，從『直覺』上掌握物理上『衝量』 impulse 一詞所指的『情境』的啊！！

一九六九年美國威斯康辛大學數學系教授『杰羅姆‧凱斯勒』 H. Jerome Keisler 不但盛讚德國數學家『亞伯拉罕‧魯濱遜』 Abraham Robinson 為『微積分』史上三百年來『最重要』發展的第一人，並且推動『無窮小』數之『教育』與『學習』，而且寫作了『Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach』一書推廣這個『理念』，有興趣的讀者可以到『凱斯勒』的網頁『免費』下載『閱讀』該書的喔！！

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中

2014-10-27 懸鉤子

『銜尾蛇』 Ouroboros οὐροβόρος 也被叫做『咬尾蛇』，是一個自古流傳至今的『符號』，形象為一條蛇正在吞食著自己的尾巴，結果呈現出一個『圓環』形狀，有時也表現成數字『8』的樣子，意指『自我吞食者』。這個符號一直都有著多種的『象徵』意義，一般以『無限大』與『循環』最為人們所熟知。此外，『銜尾蛇』也是宗教及神話裡的常見符號，在煉金術中更是重要的『徽記』。知名的心理學家『榮格』認為『銜尾蛇』其實是反映了人類的『心理原型』。

古羅馬時期，埃及的一個『諾斯替教的寶石』 Gnostic gem ，上面刻有『魔法文字』magic words，一隻『銜尾蛇』環繞在『魔法文字』與『聖甲蟲』scarab 之外。作者不知它在述說些什麼的呢？

有人講『銜尾蛇』和『西藏石刻』裡有名的『無盡之結』圖案一樣，都是代表著『生死循環』的概念，也可能是數學上『無限大』的符號『∞』的最初來源。

美國羅徹斯特大學 University of Rochester 的天文與物理教授 Douglas Cline 用『這個圖案』表示『物理統一性』the unity of physics 的『象徵』。除了象徵『無窮』以外，還『印證』了宇宙中『無始無終』的循環概念，是『極小的粒子』與『極大之宇宙』概念的交接。

根據現今物理學的觀念，物質可以分解成分子、原子與基本粒子等等構成單元，然而越是了解『微觀世界』的現象，卻反而越能解釋『巨觀宇宙』的運作規律。一九九三年荷蘭物理學家 Gerard ‘t Hooft 提出︰在一個以『普朗克長度』 $\ell_\text{P} =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \approx 1.616\;199 (97) \times 10^{-35} \mbox{ m}$ 為邊長的面積，大約只能夠存放『一位元』的資訊，在接近普朗克的尺度下，古典的『重力理論』必須要把『量子效應』考慮進去。今天尚未獲得證明的『全像原理』告訴我們：和任何表面相鄰的區域，可以擁有的資訊量都有一個最大值。也就是說，一個屋子可以容納的『資訊量』，並不是由這個屋子的『體積』來決定的，反而受限於這個屋子外牆的『面積』。

這樣說來大天使『加百利之號角』擁有『無限大』的『資訊量』的吧！！

牛頓之
Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

萊布尼茲之
$\frac{dy}{dx}$ 記號法

在『微積分』的發展史中，『費馬』聲稱他借用了『丟番圖』的成就，引入了『足量』概念，這等同於說『誤差』是『無窮小』。然而他未能體會兩者之間的密切關係。之後英國數學家『約翰‧沃利斯』 John Wallis 、『伊薩克‧巴羅』 Isaac Barrow 和『詹姆士‧格里高利』 Gregory of Tours 都有很大的貢獻。雖然『牛頓』的老師巴羅雖然知道『微分』與『積分』這兩者之間有『互逆』的關係，由於求『導數』還沒有一套有系統的計算方法，也許他不能認知此種關係的意義。更因為古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響，一般多認為只有『幾何論證』之方法才是『嚴謹的』和『真正的』數學，所謂的『代數』不過是個輔助的工具罷了。在笛卡兒以及費馬大力倡導以『代數』的方法研究『幾何問題』，這種態度才漸漸有了轉變。可是那時『代數方法』仍然未臻於成熟，而且『實數系統』遲遲未能夠建立，因此許多數學家仍然固守『幾何陣營』。牛頓雖然放棄了他老師的『純幾何』觀點，並且發展出了有效的『微分』方法，不過他始終未敢直接發表。牛頓他雖然利用了『微積分』的技巧，並由『萬有引力』以及『三大運動定律』作出發說明了他的『宇宙體系』，解決了『天體運動』、『流體旋轉』之曲面、『地球扁率』，與『擺線』上重物的運動等等問題。但是『牛頓』在一六八七年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把『微積分』的跡痕抹去，僅以古典的『幾何論證』方式作論述。或許他擔心時人的批評，明知道『這些方法』 ── 乘積法則、鏈式法則、高階導數、泰勒級數和解析方程式…… ── 卻因為『無窮小』在當時仍然飽受非議，故而保持沉默一言不語。

其後德國哲學家與數學家『哥特佛萊德‧威廉‧萊布尼茲』 Gottfried Wilhelm Leibniz ── 一位歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的『亞里士多德』 ── 創造了基於『無窮小』觀念的『微積分』學，雖然那時曾被『牛頓』指責為『抄襲』，然而『萊布尼茨』到今天都被認為是『獨立』發明微積分的另一人。他的『風格嚴密』又『注重形式』且研究『適切符號』，帶來了現今在『微積分』裡『表達式』常用的『記號法』。

由於『無窮小』量必為『非量』的『爭議不斷』，一八二零年時法國數學家奧古斯丁‧路易‧柯西 Augustin Louis Cauchy 提出了『（ε, δ）極限定義』，之後德國數學家卡爾‧特奧多爾‧威廉‧魏爾斯特拉斯 Karl Theodor Wilhelm Weierstraß ── 現代分析之父 ── 總結了『極限』 limit 的概念，終於迴避了『無窮小』的觀念。自此『微積分』就以『極限』作為基礎，而『無窮小』就成歷史雲煙的了！

何謂『連續』 continuity 函數的呢？『魏爾斯特拉斯』這麼說︰

『函數』 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 是『連續的』，是講假使對『任意』的 $\varepsilon > 0$ ，都『存在』一個 $\delta > 0$ 它能夠使所有在 $|x-x_0| < \delta$ 『論域』中的 $x$ 都得到 $\Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 的話，如此我們就說 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 是『連續的』！！

在《吃一節 TCPIP！！中》一文中我們談到了『拓撲學』 Topology 一詞源自希臘文『地點之研究』，始於歐拉柯尼斯堡的七橋問題。這門數學探討『連通性』 connectedness 、『連續性』 continuity 、以及『邊界』 boundary。它不用東西的『形狀』來作分類，而是分析在那個東西裡所有連通的點，各個連續的區域，和有哪些分別內外的邊界。假使從『拓撲學』的觀點來談『函數』的『連續性』，那麼 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 就是 $f(x_0)$ 的『鄰域』 neighborhood，而 $|x-x_0| < \delta$ 也就是 $x_0$ 的『鄰域』。所以函數上『一點』的連續性是說『這個點』的所有『指定鄰域』，都有一個『實數區間』── 鄰域的另一種說法 ── 與之『對應』，『此函數』將『此區間』映射到那個『指定鄰域』裡。

然而一個函數在『某個點』的『連續性』，並不能夠『確保』在『那個點』的『斜率存在』 ── 或說『可微分性』，比方說

$f(x) = \begin{cases}x & \mbox{if }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{if }x < 0\end{cases}$

，當 $x > 0$ 時，『斜率』是 $f^{'}(x) = \frac{df(x)}{dx} = 1$ ，在 $x < 0$ 時，『斜率』為 $0$ ，然而 $x = 0$ 時『斜率』不存在！這使得我們必須研究一個函數在『每個點』之『鄰域』情況，於是數學步入了『解析的』 Analytic 時代。所謂『解析的』一詞是指『這類函數』在 $x = x_0$ 的『鄰域』，可以用『泰勒級數』來作展開

$T(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

。於是一個『解析函數』在定義域的『每一點』上都是『無窮階可導』的。人們將『無窮階可導』的函數，又稱之為『光滑函數』 smooth function。然而『可導性』卻不同於『連續性』，因此又定義了『連續可導性』︰假使一個函數從『一階到 N 階』的導數都『存在』而且『連續』，我們稱之為 $C^{N}$ 類函數。舉例來說

$f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(\tfrac{1}{x})} & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0\end{cases}$

雖然『一階導數』存在但是在 $x = 0$ 時，並不『連續』，所以它只能屬於 $C^{0}$ 類，而不是屬於 $C^{1}$ 類。

雖然一個『光滑函數』就屬於 $C^{\infty}$ 類，但是它可以不是『解析函數』，比方說

$f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}$

是『光滑的』，然而在 $x = \pm 1$ 時無法用『泰勒級數』來作展開，因此不是『解析的』。

縱使人們覺得『連續』與『鄰近』以及『導數』和『光滑』彼此之間有聯繫，由於失去『直觀』的導引，『概念』卻又越來越『複雜』，因此『微積分』也就遠離了一般人的『理解』，彷彿鎖在『解析』與『極限』的『巴別塔』中！更不要說還有一些『很有用』卻是『很奇怪』的函數。舉例來說，『單位階躍』函數，又稱作『黑維塞階躍函數』 Heaviside step function ，可以定義如下

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

，在 $x = 0$ 時是『不連續』的，它可以『解析』為

$H(x)=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}$

，它的『微分』是 $\frac{dH(x)}{dx} = \delta(x)$ ，而且這個『狄拉克 $\delta(x)$ 函數』 Dirac Delta function 是這樣定義的

$\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

，滿足

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1$

。怕是想『解析』一下都令人頭大，『極限』和『微分』與『積分』能不能『交換次序』，它必須滿足『什麼條件』，假使再加上『無限級數』求和，

$\operatorname{III}_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T) = \frac{1}{T}\operatorname{III}\left(\frac{t}{T}\right)$

，果真是我的天啊的吧！！

$f(x) = \begin{cases}x & \mbox{if }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{if }x < 0\end{cases}$

$f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(\tfrac{1}{x})} & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0\end{cases}$

$f'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos(\tfrac{1}{x})} + 2x\sin(\tfrac{1}{x}) & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0.\end{cases}$

$f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}$

$f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

狄拉克 δ 函數
單位脈衝函數

$\delta_{a}(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} e^{- x^2 / a^2}$
$a \rightarrow 0$

一九六零年，德國數學家『亞伯拉罕‧魯濱遜』 Abraham Robinson 將『萊布尼茲』的微分直觀落實。用嚴謹的方法來定義和運算實數的『無窮小』與『無限大』，這就是數學史上著名的『非標準微積分』Non-standard calculus ，可說是『非標準分析』non-standard analysis 之父。

就像『複數』 $C$ 是『實數系』 $R$ 的『擴張』一樣，他將『實數系』增入了『無窮小』 infinitesimals 元素 $\delta x$ ，魯濱遜創造出『超實數』 hyperreals $r^{*} = r + \delta x$ ，形成了『超實數系』 $R^{*}$ 。那這個『無窮小』是什麼樣的『數』呢？對於『正無窮小』來說，任何給定的『正數』都比要它大，就『負無窮小』來講，它大於任何給定的『負數』。『零』也就自然的被看成『實數系』裡的『無窮小』的了。假使我們說兩個超實數 $a, b, \ a \neq b$ 是『無限的鄰近』 indefinitly close，記作 $a \approx b$ 是指 $b -a \approx 0$ 是個『無窮小』量。在這個觀點下，『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』。也就是說，對於任意給定的 $m$ 來講， $m \cdot \delta x$ 為『無窮小』量；而 $\frac{1}{\delta x}$ 是『無限大』量。然而在『系統』與『自然』的『擴張』下，『超實數』的『算術』符合所有一般『代數法則』。

有人把『超實數』想像成『數原子』，一個環繞著『無窮小』數的『實數』。就像『複數』有『實部』 $R_e$ 與『虛部』 $I_m$ 取值『運算』一樣，『超實數』也有一個取值『運算』叫做『標準部份函數』Standard part function

$st(r^{*}) = st(r + \delta x)$
$= st(r) + st(\delta x) = r + 0 = r$

。如此一個『函數』 $f(x)$ 在 $x_0$ 是『連續的』就可以表示成『如果 $x \approx x_0, \ x \neq x_0$ ，可以得到 $f(x) \approx f(x_0)$ 』。

假使 $y = x^2$ ，那麼 $y$ 的『斜率』就可以這麼計算

$\frac{dy}{dx} = st \left[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \right] = st \left[ \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \right]$
$= st \left[2 x + \Delta x \right] = 2 x$

。彷彿在用著可以調整『放大倍率』的『顯微鏡』逐步『觀入』 zoom in 一個『函數』，隨著『解析度』的提高，函數之『曲率』逐漸減小，越來越『逼近』一條『直線』── 某點的切線 ── 的啊！！

同樣的『積分』就像是『里程表』的『累計』一樣，可以用

$\forall 0 < \delta x \approx 0, \ \int_{a}^{b} dx \approx f(a)\delta x + f(a + \delta x)\delta x + \cdots + f(b - \delta x)\delta x$

來表示的呀！！

FreeSandal

每月彙整: 2014 年 10 月

【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下上

【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中中下

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