又為什麼『真』與『假』的 λ表達式是

的呢？如果我們將『運算』看成『黑箱』，用『實驗』的方法來『研究』輸入輸出的『關係』，這一組有兩個輸入端的黑箱，對於任意的輸入『二元組』pair  ，有︰

，於是將結論歸結成︰貼『真』標籤的箱子的『作用』是『選擇』輸入的『第一項』將之輸出；而貼『假』標籤的箱子的『作用』是『選擇』輸入的『第二項』將之輸出。

假使一位『軟體』工程師在函式『除錯』時，可能會採取在那個『函式』內『輸出』看看得到的『輸入』參數值是否正確？

於是將結論歸結成︰『真』標識符的函式『作用』是『選擇』輸入參數的『第一項』；『假』標識符的函式『作用』是『選擇』輸入參數的『第二項』。

那麼對一個已經打開的『白箱』，又知道作用的『函式』，怎麼會概念上『一頭霧水』的呢？？如果細思一個邱奇自然數『 0 』， ，這跟『假』的 λ表達式有什麼不一樣的呢？那難道我們能說『0』就是『假』的嗎？在《布林代數》中的『0』與『1』其實是未定義的『兩態』基元概念── 就像歐式幾何學裡的『點』、『線』和『面』是『基本』概念一樣 ──，因此不管說它是『電壓高低』或者講它是『電流有無』的『數位設計』可以應用布林代數。要是我們將『0』『1』與『假』『真』概念連繫起來看，『布林邏輯』就是『真假』是什麼的『系統化』之概念內涵開展，它的『整體內容』呈現『兩態邏輯』的『方方面面』，縱使至於『孤虛』NAND 一個邏輯概念就足夠了，對於『 0 與 1 』概念本身還是『三緘其口』。

其實『 λ表達式』建構上表徵『函式』── 假使代表某種『概念』──的『子函式組織』以及『子函式應用』之『結構』。而這個所謂的『結構』只是在『 λ語言』的『語法』上『呈現』的，所以想要如何『語意詮釋』呢？也許天下《一指》可知，萬物《一馬》可比的吧！！

為什麼不使用 變換的呢？比方考慮下面的函式化約

，這並不是我們對這個『三元』 函式的概念想法，它表達的是『有一個變元 ，應用於變元 後，將它的結果 再次應用於變元 之上 』。然而由於 中的 表達式裡並沒有 變元，所以就被『 變換』的了，再次經過『 變換』後，最終變成了 的『恆等函式』了，這也是為什麼『 變換』會有爭議的原由之一。由於 Lambda Calculator 軟體支持一般『去除減少括號』以便於『書寫』與『閱讀』的『左向優先結合』和『最大函式跨距』之『函式應用約定』，因此上式就可以改寫成︰

，當你輸入帶有括號的『 λ表達式』它會將之『去除掉不必要』的括號『簡化』，可以見之於上圖的『字典』Show Text 的內容︰

FALSE [(\x.(\y.y))] = \x.\y.y
IFTHENELSE [(\p. ( \x. ( \y. ((p x) y))))] = \p.\x.\y.p x y
ISZERO [(\n. ((n (\x.FALSE)) TRUE))] = \n.n (\x.FALSE) TRUE
TRUE [(\x.(\y.x))] = \x.\y.x

，它的『格式』是《『標識符』【定義輸入】=『簡化』》。

如果從程式語言的『使用觀點』考慮上圖七的

IFTHENELSE (ISZERO 0) (+ 2 3) (+ 4 5)

，如果我們知道『IFTHENELSE』的『語法』定義與『功能』，那麼一個『合語法』的『表達陳述』自然得到它所定義的運算結果『(+ 2 3)』，至於運算的『化約過程』在『語用』的角度上看成了『黑箱』，通常只有在『結果』不如『預期』時，或許你自己就是那『語言』的『創始者』，才會觀察『運算過程』，試圖發現各個『定義』所構成之『系統』內部的『相容性』和『一致性』之問題的吧！！

就讓我們用 Lambda Calculator 之『純 λ 運算』，寫個『孤虛』NAND 邏輯，推算到底『牛郎織女』是『相會的成』還是『相會不成』的呢？？

下面是『孤虛語』的『字典定義』︰

且 [\p. \q. p q 假] = \p.\q.p q 假
假 [\x. \y. y] = \x.\y.y
孤虛 [\u. \v. 非 ( 且 u v )] = \u.\v.u v 假 假 真
或 [\p. \q. p 真 q] = \p.\q.p 真 q
有數 [\f. \x. (f x)] = \f.\x.f x
沒嗎？ [\n. n (\x. 假) 真] = \n.n (\x.假) 真
真 [\x. \y. x] = \x.\y.x
若則否則 [\p. \x. \y. p x y] = \p.\x.\y.p x y
非 [\p. p 假 真] = \p.p 假 真

已知『且 (孤虛 假 假) (孤虛 真 真) 』為『假』，那麼

『 若則否則  (且 (孤虛 假 (非 假) ) (孤虛 真 (非 真) ))  (沒嗎？ 假) (沒嗎？ 有數) 』是『成』還是『不成』的呢？？

 

在《馬太福音 25:29；》一文中，我們談到了『北極星』的不動與『太陽』之視運動，遠古之人就從觀察實踐中得出了『天圓地方』的『理念』，以及『天左旋，地右動』的『道理』。人們因著『觀測』天地事物，而能建立『理論』；追究『概念』的『緣由』以及『理則』之『依據』，所以創發『哲學』。因此在生活學習的道路上，其實是『事無古今，理無中外』，彼此『同異之間』的『匯通處』往往就是『基元』的『觀念』；『基元觀念』的不同『詮釋』成為相異的『學說體系』。事實上『字串改寫系統』、『圖靈機』與『 λ 運算』，說著『□□』的不同『側寫』，彼此之間可以用『○○』來對應『轉譯』，人們或說『同』或講『異』的各種『詮釋』就祇在其人的了！！

假使說給定了一個『 λ表達式』 ，有人『第一步』這樣作『 化約』︰

，也有人『第一步』這樣作『 化約』︰

，這樣不同的『步驟選擇』是否會產生『不同結果』的呢？如果說再次繼續進行『 化約』，兩者都會得到︰

，於是我們就可以歸結的說『 化約』不管是用著怎麽樣的『步驟次序』，都一定能夠得到『相同結果』的嗎？？

為了考察不同次序步驟的『化約策略』，首先讓我們定義『單步 化約』︰

是指表達式 是經由表達式 中的某一函式應用子表達式 『 化約』而得來。假使『約定』零步 化約是說 『』，這樣我們就可以說『單步』或『多次單步』之『單步 化約』的『化約封閉性』︰

，是講存在一個『單步 化約』的『序列』

。某一表達式 我們稱它是『 可化約』-redex 是指這個表達式還有『未化約』的子應用表達式 。如果經過『有限的』化約序列，最終抵達一個『沒有未化約』的表達式 ，也就是說 中沒有 -redex，這時我們將 稱之為『 正規元型』normal form。於是我們就可以問︰

各種不同的『化約序列』如果存在『 正規元型』，那它們是相同的嗎？

【Church-Rosser 定理】說

如果 而且 ；那麼就會存在一個 ， 使得 以及 。

所以可以講不同的『化約序列』之『 正規元型』，除了其內函式中的『受約束變元』之『虛名』不同外 ── 可以作『 變換』使之一樣 ──，都是『相同的』。這是一個非常重要的歸結，設想萬一它不是這樣，那所謂的『計算』不就成『笑話』了嗎！然而需要小心的是『 化約』是『單行道』，也就是說 成立，並不代表 正確。比方講 ，從結果變元 又要怎麼得回原來函式應用的呢？

那麼『 化約策略』Reduction Strategy 又是什麼呢？它是一個『函式』，可以定義如下︰

一、『定義域』與『對應域』是『所有的 λ 表達式』構成的集合

二、如果 是一個『 正規元型』，

三、假使 不是『 正規元型』，化約策略會依據特定方式選擇 中的某一『優先』 -redex 子表達項 ，

這樣看來 函式選擇了特定的『步驟次序』── 策略 ── 來作『單步 化約』，這也是『程式』之『最佳化』optimize 的源起。然而不是每種『化約策略』都能夠抵達存在的『 正規元型』。舉例說兩種簡單的『左』和『右』化約策略，它總是優先選擇表達式中的『最左』與『最右』 -redex 子表達項 。

用『左』策略會得到『上圖』，用『右』策略會卡在 。

所謂的『正規策略』是說用這個策略能夠得到『所有可能存在的』 正規元型。事實上從邏輯推理可以證明『最左優先』策略是一種『正則策略』，果真是『天左旋』的乎！！

最後讓我們談談『相等』的概念以及『等號 』的使用，相等和『邏輯推導規則』有關︰

一、 ，無條件自反律

二、 ，對稱律

三、 ，遷移律

此處的 是講，如果由『前提』Premises，我們可以邏輯上推導出『結論』Conclusion。也就是說這是廣義的『相等』關係的『內涵』。

此處雖然並不定義『 λ 運算』中所謂的『等式』到底是指什麼？只是從『基元』觀點下，就是說假設我們基本『知道』或者『同意』兩個表達式『』所指的意義── 比方說指相同的計算結果 ──，於是我們可以提出下面的『 λ 理論』︰

一、 ，『應用』於『等式』之『結果』相等

二、 ，『等式』之『函式』的『應用』相等

三、 ，『等式』之『函式抽象』相等

四、 ，『應用』是無條件的『化約相等』

五、 擴張， ，『外延』相同的『函式』相等

 

傳聞又說『魯班之妻』也是位出色的工匠，因為疼惜魯班經常得在戶外『風雨烈日』下工作，發明了『傘』── 行動『亭』子 ── ，使他能有個『驅避之所』。

在《加百利之號角！！》一文中，我們談過『學習工具箱』的重要性。俗話說︰工欲善其事，必先利其器，在此介紹一個可以放進工具箱裡收集的 JavaScript 的『 λ 計算器』Lambda Calculator。這個軟體是美國 Hendrix 大學計算機科學教授 Carl Burch 所寫，目的是提供『學習』和『實驗』λ 運算的有用之『工具』，它包含了『應用』與『純粹』λ語言等等的『客製化』選項。

現在讓我們利用 MyFun 輸入下式︰

(/ (* (- (+ (MyFun 5) (MyFun 5)) (MyFun 5)) (MyFun 5)) (MyFun 5))

，對任何一個非零的數 來說， ，所以上式的答案應該是『 (MyFun 5) = 26』。難道不該是這樣嗎？『確定的函式』與『相同的輸入』不是該產生『一樣的結果』的嗎？比方說一個傳回『當下時間』的函式『 date 』，你每次調用它的結果不會是相同的吧！在計算機科學中把 date  這類的函式稱為有『副作用』Side effect 的，然而並不是說有『副作用』就是『不好的』，date 函式的目的就是『那個副作用』。但是『副作用』有時又是『問題』的由來，設想出於不明的原因如果很多次『呼叫』call 『MyFun 5』後的傳回結果是『5, 6, 7, 8, …』，那麼上式的答案自然不一樣了，此時想要『除錯』可就『麻煩』的了！

那麼函式的『副作用』又是怎麼發生的呢？ 設想用 變元代表『鍵盤輸入的數值』，這個表達式 就是計算此時『 』的函數值。但是不管輸入是什麼樣的數，輸出又是怎麼樣的值，這個『表達式』都是『不變的』。也就是說因為 變元的值『改』了，所以 也就跟著『變』了。然而所謂的『 變元之值』又指的是什麼呢？變元『記得』當下的『之值』，直到被『賦與』Assign 『新值』，從『圖靈機』的觀點來講，變元就是機器之『內部』與『外部』系統當下的『狀態』。假使說『純函式』Pure Function 是指函式在『相同的輸入』下，一定產生『一樣的結果』，那麼該函式必然是『沒副作用』的函式，而且『所有的變元』的狀態，在函式呼叫『前後』都該是一樣的。因此我們可以說 是『純函式』，因為只要 變元的值是一樣的，計算結果就是相同的，而且計算過程中 並不會更改 變元的狀態。『泛函式』functional 程式設計的『典範』paradigm 主要強調在於『純函式』的重要性，或許也是事出有因的啊！！

 

在《測不準原理》一文中，提到揚‧武卡謝維奇的『波蘭表示法』，它是一種四則運算的『前綴表示法』prefix。如果我們此處再將『 λ表達式』 視履考祥一番，由於一切都是以『函式』為中心，因此『二元運算』Binary operation  也將是用著『函式』來表達。因為『應用化約』的語法形式是『 ( M 視為函式  N 看作變元)』，如此的方式一般就會是用『前綴法』的了。比方說用著 表示二元運算函數 的求值計算。然而一個  λ表達式並沒有規定它的文本長度，所以如果用著定義『標示符』identifier 來『表現』λ表達式，這就更像是在寫『 λ語言的程式』了。

於此再度回顧一下變元的『替換規則』的定義︰

是指將 『表達式』中所有『自由出現』的『 變元』，都使用 『表達項』來取代。我們可以歸納的定義如下︰

是所指 表達式的任意變元
是所指 表達式的任意構成項── 該式在建構過程中的各個合乎語法的子表達式 ──。

一、

二、 ，只要 變元不是 變元

三、

四、

五、 ，只要 變元不是 變元

假使有一個簡單的函式 ，它不包含著其它『子函式』以及『函式應用』，當我們說『』是指 是由上面的變元『替換規則』從   得到的。這時我們講 是經由『 變換』從 變更『受約束變元 』成為 『受約束變元 』而得來。為什麼那一邊說著『自由的』，這一邊又講著『受約束』？是因為 表達式中 變元是『自由的』，『抽象封裝』成為『函式』，這時那個  變元就成『受約束』的了。其次為何要先『限定簡單』的函式呢？如果看一看 的表達式， 那麼我們又要如何替換它呢？人們之所以需要『重新命名』受約束變元，是因為『應用化約』可能產生的『命名衝突』，或許『直覺』上講又怎麽會去用了『 變換』以後，卻反而又製造了『新的衝突』的呢？因此與其將它『一碼歸一碼』的煩雜分解的說，不如就建立某些『不成文的規矩』，每當提到受約束的變元『重新命名』時，就是說使用從來『不曾出現』或者說『不起衝突』的新的變元名字的意思！這樣不管再複雜的表達式都可以用著『 變換』『一步一步』的『系統化』轉換成另一個同等的表達式，於是我們可以說︰

。再者，與『函式所約束之虛名變元』無關的『自由變元』一般都來自於『函式應用』 ── 比方 的『輸入項』 變元 ──，通常除非為了表達清晰起見，人們不會『重新命名』輸入項。如果從『程式計算』的角度講，『計算資料』是程式外部來的，在程式裡當然要叫它什麼名字都可以。於是那個『系統化』的『更名』辦法，自然可以行使於任何『函式』或者『應用』的『子函式表達項』中，也許就不會再有『表達轉換』作法上彼此之歧見的了！！

假使再次細思『 λ 表達式』的歸納定義，最簡單的表達式『始於變元』，然後方在其上建立『函式』，之後才『應用』函式於『變元』之上。因此前面說的那個簡單的函式 的可能構成是極其有限的，比方說 中只能有一個變元，假使 有兩個以上的變元，那一定是由『函式應用』或者『多元函式』所產生的。所以它只可能像是 或者 這樣。也許有人會想難道它不能是像 或者 的嗎？在某些『應用 λ語言』中，這種語法是合宜的；然而這裡用的卻是『純粹』Pure 的 λ語法，這個『語法集』中根本沒有『什麼是 或 』，因此表達所需要用的一切都得在『基元』Primitive 上自己建立。『複雜』與『難題』是兩種不同的『困難性』。許多『難題』表述起來很簡單── 比方說費瑪最後定理︰ 沒有整數解 ──，想解決卻十分困難。而『複雜』是源於構成『部份』眾多或者『結構』縱橫多層，雖然基本『單元』並不『困難』，基礎結構『組件』也很『簡單』，由於『數大層多就是難』這就是 λ 表達式的『寫照』。這個『複雜性』或許也就是『 λ 語法』之所以『方言』崛起的緣故。

終於我們可以無歧義的說

，是講 是函式『 化約』的結果，它是由系統化的變元之替換規則所得來。簡約的講那些 中原有的『自由變元』在 裡依然還是『自由變元』，不會變成『受約束變元』。假使說函式用『抽象封裝』 λ表達式，函式應用『解封函式』產生『結果』的 λ表達式。然而從『字串改寫系統』來看，不管是『 變換』或者是『 化約』都不過是一種字串的『改寫規則』，是將那一個『 λ表達式』的字串改寫成『同等計算』之這一個『 λ表達式』而已！！

現在讓我們談談『 變換』。假設 函式中沒有 變元，那麼 和 除了『文本』不同，『計算結果』上能有什麼不同的嗎？對任何的輸入變元 來講，

，這樣從函式的『對應域』或者說『值域』的考察『觀點』，就是『 變換』的由來，寫作︰

。然而這個『 擴張』卻有些『哲學上』的爭議，人們對於什麼是『函式等同』的定義與看法並不相同。比方講假設說『愛』是種『行為』函式，『愛』或『不愛』的結果取決於『心』；那麼『愛物之心』與『愛』兩者是否會有差異呢？(λ物. (愛 物)) 愛 嗎？？

 

─── 待續…… ───

 

好一場墨子與公輸盤的『帶城牒械』的『紙上談兵』，輸贏自能互見省卻多少生靈塗炭，此不可謂之『智』乎？？

『 λ 運算』的歷史說著︰凡事起頭難。自一八七九年弗雷格 Frege 寫『概念文字 ── 模仿算術純思維之形式語言』以來，有志之士風起雲湧想要打造『概念天梯』直通『真理之路』！然而過程中『怪題悖論』卻也不斷，前輩們上窮碧落下黃泉的『冥思苦想』，遺留下了一些『概念里程碑』，很值得玩味推敲他們又是從『何處得來』的呢？？

就讓我們介紹一些『有名字』的組合子吧︰

【恆等組合子】

【邱奇自然數】

…

【自然數後繼者】

【組合邏輯】

【邏輯真假】

【自我應用】

【Curry之悖論組合子】

【圖靈之定點組合子】