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【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《三下》

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在物理學中，『圓周運動』是指物體的運動軌跡是個圓，或者沿著圓形路徑作運動。等速率圓周運動可以講是一種角速度 \vec {\omega} 不變的旋轉運動。分析後可得
\theta = \omega t
v = r\omega
a = r\omega^2 = \frac {v^2}{r}
T = {2\pi \over \omega}
其中 v 是速度大小，a 為加速度大小，T 是周期，\omega 為角速度大小。假使有人說一個『簡諧運動』可以看成『圓周運動』，這是可以的嗎？據聞當年伽利略用望遠鏡觀測『木星』Jupiter 發現它周遭小星群的出沒有特定樣態， 由此斷定為『木星的月亮』，這件天文大事使得『地球』成了不是唯一有『月亮』的『行星』！從遠處看圓周運動就像是運動的軌跡『投影』，如果我們將一個圓周運動投影到 x 軸上來看它的運動規律，可得

a = \frac{v^2}{r}, \ a_x = - \frac{v^2}{r} \cos(\theta)，依據牛頓第二運動定律，

\frac {F_m}{m} = a_x = - \frac{v^2}{r} \cos(\theta)
= -\frac {4 {\pi}^2 r}{T^2} \cos(\theta)
= -\frac {4 {\pi}^2 }{T^2} x

，這難道不就是『虎克定律』F_x = - k x 的形式的嗎？對比後得到 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}。無怪乎伽利略可以推測那是繞著木星作圓周運動的月亮，而勞侖茲會用『虎克弦』將『電子』與『原子核』栓綁起來，原來是可以這樣看的啊！！

那麼可以用『圓周運動』 來描述『受驅振子』的嗎？一個半徑為 A 的受軀均速圓周運動，就是講『質點』m 的振幅是 A，它所受到的『阻力』\vec{F_d} = - b \vec{v} 是在此圓的『切線』方向上。這樣『驅力』F 可以分解成沿著圓的『切線方向』分量的 \vec{F_t} 用以克服『阻力』\vec{F_d}，|\vec{F_t}| = |\vec{F_d}|；『法線方向』的分量 \vec{F_r} 或者『協同』或者『對抗』系統的虎克力。此時 v = \frac {2 \pi A}{T} = 2 \pi A f, \ a = \frac{v^2}{A}，依據牛頓第二運動定律，法線方向的『向心力』方程式為 a = \frac{k A + F_r}{m}，切線方向是 |F_t| = |F_d| = 2 \pi b A f，假使將系統的『自然頻率』用 f_0 = \frac{1}{ 2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}  來表示，化簡後得到
\frac {|F_r|}{|F_t|} = \frac{2 \pi m}{b f} \left( f^2 - {f_0}^2 \right)，以及
A = \frac {F}{2 \pi \sqrt{4 {\pi}^2 m^2 {(f^2 -{f_0}^2)}^2 + b^2 f^2}}

圓周運動的思路，帶給我們另一種考察『受驅振子』系統行為的觀點。在此再次引用《【Sonic π】聲波之傳播原理︰振動篇》一文中的方程式

頻率為 \omega 的正弦驅動力

此時系統的方程式為

\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} F_0 \sin(\omega t)

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F_0 是驅動力的振幅大小。在線性微分方程式如 \hat{L} x(t) = F(t) 的『求解』裡，如過『\Box』是 \hat{L} x(t) = 0 的一個解，『\bigcirc』是 \hat{L} x(t) = F(t) 一個『特解』，那麼『c \ \Box + \ \bigcirc』就是該方程是的『通解』。我們已經知道 F(t) = 0 的『低阻尼振子』之解在若干個弛豫時間後數值將變得太小了，所以它對於系統長時間之後的『行為』沒有太多的貢獻。因此我們說這個系統的『穩態解』steady-state solution 是

x(t) = \frac{F_0}{m Z_m \omega} \sin(\omega t + \phi)，此處

Z_m = \sqrt{\left(2\omega_0\zeta\right)^2 + \frac{1}{\omega^2}\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2}

是『響應阻抗』函數。而 \phi 是驅動力引發的相位角，可由

\phi = \arctan\left(\frac{\omega_0^2-\omega^2}{2\omega \omega_0\zeta}\right)

所決定，一般它表達著相位『遲滯』 lag 現象。

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盪鞦韆

從圓周運動觀點來看，力的最『有效運用』只在於『克服阻力』，不論對抗或者協同『虎克力』，就是要改變系統的『自然振動』之頻率，因此『頻率偏離』愈大愈『多勞少功』。\frac {|F_r|}{|F_t|} 一式就是這個度量，它在 f = f_0 時為『零』。試著幫一個『盪鞦韆』的小女孩『越盪越快』，就可以體驗這和『越盪越高』是很不相同的一回事 ！！

然而這個系統的最大振幅事實是發生在『共振頻率』 f_{res} = \sqrt{{f_0}^2 - \frac{b^2}{8 {\pi}^2 m^2} 時，這又是怎麼回事的呢？在物理上一個低阻尼『受驅振子』是用『無因次』的『品質因子』Q 來描述『共振腔』 resonator 在鄰近『共振頻率』時，系統中能量比值，它的定義是

當信號振幅不隨著時間變化後，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例，此時系統儲存能量也不會隨時間變化：

Q = 2 \pi \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}} = 2 \pi f_r \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}

此處『每周期能量損耗』Energy dissipated per cycle，就是『驅力』維持系統持續『振動』所需作的功。高 Q 的物理系統可以說是『振動能耗』小，並非所有的系統高 Q 就一定好，通常它與『系統目的』性有關。比方講『 防止門突然關閉的阻尼器』它的 Q 因子為 \frac{1}{2}，然而計算機裡的『振盪器』需要頻率的高度穩定性 Q 因子可以高達 10^9 以上。

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同時物理上也用著鄰近『共振時』，『振幅』的『半峰全寬』 FWHM Full width at half maximum 的『頻寬』 \Delta f 來考察『共振效能』。對於高 Q 值的物理系統，很訝異的可以近似為 FWHM = \frac {f_{res}}{Q}。
從能量的觀點來看『受驅振子』的系統，假設 FWHM 遠小於 f_{res}，也就是說 f \approx f_{res}，因此

f^2 - {f_{res}}^2 = {\left( f_{res} \pm \frac {FWHM}{2} \right)}^2 - {f_{res}}^2
= \pm f_{res} \cdot FWHM + \frac {1}{4} {FWHM}^2
\approx \pm f_{res} \cdot FWHM

假使從能量的觀點來講，當 4 {\pi}^2 m^2 {\left( f_{res} \cdot FWHM \right)}^2 = b^2 f^2 時，這時系統能量為共振時的 \frac{1}{2}。於是 FWHM = \frac {b} {2 \pi m}。

此系統一周期儲存的能量是 E = \frac {1}{2} A^2，一周期 T = \frac {1} {f}『阻力』b v 所作的功是

\int_{0}^{T} b v dx = \int_{0}^{T} b v \frac{dx}{dt} dt
= \int_{0}^{T} b v^2 dt = \frac {1}{2} b A^2 f

。所以 Q = 2 \pi \frac {k} {b f}。由於我們假設 f \approx f_{res} \approx f_0 = \frac{1}{ 2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}，於是我們就得到了

FWHM = \frac {f_{res}}{Q}。

果真是『退一步，海闊天空』，『換個觀點』思考『大惑全解』 。自然中處處能有共振的現象，有些產生『壯觀奇景』，有些引發『毀滅災難』。人們所造之『橋』所建的『樓』，如果不細思與外界可能產生『共振』的問題，假使『橋垮樓塌』不該說是『天災』卻是『人禍』的啊？？