人們如何發掘『現象』間的『關係』？怎麼探討事物的『性質』？因何能發現且證明隱晦的『數學定理』？！也許讀讀維基百科上『九點圓』詞條一小段文本︰

九點圓

九點圓（又稱歐拉圓、費爾巴哈圓），在平面幾何中，對任何三角形，九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂足、和頂點到垂心的三條線段的中點。九點圓定理指出對任何三角形，這九點必定共圓。而九點圓還具有以下性質：

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。

九點圓

Even if the orthocenter and circumcenter fall outside of the triangle, the construction still works.

歷史

1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由而歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。庫利奇與大上分別於1910年與1916年發表庫利奇－大上定理「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

九點圓證明

如圖： $D$ 、 $E$ 、 $F$ 為三邊的中點， $G$ 、 $H$ 、 $I$ 為垂足， $J$ 、 $K$ 、 $L$ 為和頂點到垂心的三條線段的中點。

容易得出 $\triangle ABS \sim \triangle AFJ$ 、 $\triangle CBS \sim \triangle CDL$ （SAS相似）

因此 $\overline{FJ} // \overline{BH} // \overline{DL}$

同樣可得出 $\triangle ABC \sim \triangle FBD$ 、 $\triangle ASC \sim \triangle JSL$ （SAS相似）

因此 $\overline{FD} // \overline{AC} // \overline{JL}$

又 $\overline{BH} \perp \overline{AC}$ ，可得出四邊形 $DFJL$ 是矩形（四點共圓）

同理可證 $FKLE$ 也是矩形（ $DKFJEL$ 共圓）

$\angle JLD = \angle JGD = 90^\circ$ ，因此可知 $G$ 也在圓上（圓周角相等）

同理可證 $H$ 、 $I$ 兩點也在圓上（九點共圓）

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可以當成發想的起點。假使設想姑且不論到底是怎樣『發現』的，且談已經『被發現』後，是否人們就能容易了解那些『關係』、『性質』、以及『證明』呢？有人說︰閱讀『證明』容易，動手『證明』困難。似乎是講，既然都已理解了『證明』，焉有不曉『關係』與『性質』的耶！！若說條條大路通『羅馬』，就算盡觀了那些條條大路的景緻，和『羅馬』之風光能夠彼此比較的嗎？？！！更何況『始、中、終』的『學習』循環不斷，舊『終』則啟新『始』布線織網深化『閱歷』。所以『學問』浸潤良久總有所悟，宛如說今日這門古老的『幾何學』，是以前那門新創之『幾何學』的嗎！！？？

何不讓我們舉個例子從『解析幾何』的觀點，來看一個歐式幾何之『證明』呢︰

解析幾何

解析幾何（英語：Analytic geometry），又稱為坐標幾何（英語：Coordinate geometry）或卡氏幾何（英語：Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒幾何，是一種藉助於解析式進行圖形研究的幾何學分支。解析幾何通常使用二維的平面直角坐標系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星形線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角坐標系來研究平面、球等各種一般空間曲面，同時研究它們的方程，並定義一些圖形的概念和參數。