詩經‧國風‧豳風‧伐柯
伐柯如何？匪斧不克。
取妻如何？匪媒不得。
伐柯伐柯，其則不遠。
我覯之子，籩豆有踐。
伐『
』柯即是製作斧柄，卻是非斧不行？？將之比作娶『妻』
※《説文解字》： 柯，斧柄也。从木，可聲。
實在費疑猜？？若思善用『工具』能夠創造更好的『工具』，那麼『伐柯伐柯，其則不遠。』果真『有理有則』的乎！？因此假借 SymPy 『符號矩陣』學習『矩陣』，也是『順理而行』的了？！
這裡僅以『基本矩陣』之法，求解一般 
矩陣之『反矩陣』
為例，演義這則『伐柯取妻』有趣之事︰
if
then
望可消消暑氣也！！？？
pi@raspberrypi:~ $ ipython3
Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11)
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object? -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.
In [1]: from sympy import *
In [2]: init_printing()
In [3]: a11, a12, a21,a22 = symbols('a11, a12, a21,a22')
# 一般 2x2 矩陣 M
⎡a₁₁ a₁₂⎤
⎢ ⎥
⎣a₂₁ a₂₂⎦
In [4]: M = Matrix([[a11, a12], [a21,a22]])
# 試以『基本矩陣』求解其『反矩陣』
# 消去 a21
In [5]: E1 = Matrix([[1, 0], [-a21, a11]])
In [6]: E1
Out[6]:
⎡ 1 0 ⎤
⎢ ⎥
⎣-a₂₁ a₁₁⎦
In [7]: E1 * M
Out[7]:
⎡a₁₁ a₁₂ ⎤
⎢ ⎥
⎣ 0 a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
# 消去 a12
In [8]: E2 = Matrix([[a11*a22 - a12*a21, -a12], [0, 1]])
In [9]: E2
Out[9]:
⎡a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ -a₁₂⎤
⎢ ⎥
⎣ 0 1 ⎦
In [10]: E2 * E1 * M
Out[10]:
⎡ 2 ⎤
⎢a₁₁ ⋅a₂₂ - a₁₁⋅a₁₂⋅a₂₁ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
# 歸一化
In [11]: E3 = Matrix([[1/(a11*(a11*a22 - a12*a21)), 0], [0, 1/(a11*a22 - a12*a21)]])
In [12]: E3
Out[12]:
⎡ 1 ⎤
⎢─────────────────────── 0 ⎥
⎢a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ 0 ─────────────────⎥
⎣ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
In [13]: E3 * E2 * E1 * M
Out[13]:
⎡ ⎛ a₁₂⋅a₂₁ 1 ⎞ a₁₂⋅a₂₁ a₁₂⋅a₂₂
⎢a₁₁⋅⎜─────────────────────── + ───⎟ - ───────────────── - ─────────────────
⎢ ⎝a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) a₁₁⎠ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
⎢
⎢ a₁₁⋅a
⎢ 0 ──────────
⎣ a₁₁⋅a₂₂ -
⎛ a₁₂⋅a₂₁ 1 ⎞⎤
+ a₁₂⋅⎜─────────────────────── + ───⎟⎥
⎝a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) a₁₁⎠⎥
⎥
₂₂ a₁₂⋅a₂₁ ⎥
─────── - ───────────────── ⎥
a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ ⎦
# 驗證化作『單位矩陣』
In [14]: (E3 * E2 * E1 * M)[0,0]
Out[14]:
⎛ a₁₂⋅a₂₁ 1 ⎞ a₁₂⋅a₂₁
a₁₁⋅⎜─────────────────────── + ───⎟ - ─────────────────
⎝a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) a₁₁⎠ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [15]: (E3 * E2 * E1 * M)[0,0].simplify()
Out[15]: 1
In [16]: (E3 * E2 * E1 * M)[1,1]
Out[16]:
a₁₁⋅a₂₂ a₁₂⋅a₂₁
───────────────── - ─────────────────
a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [17]: (E3 * E2 * E1 * M)[1,1].simplify()
Out[17]: 1
# 簡化『反矩陣』
In [18]: E3 * E2 * E1
Out[18]:
⎡ a₁₂⋅a₂₁ 1 -a₁₂ ⎤
⎢─────────────────────── + ─── ─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) a₁₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢ ⎥
⎢ -a₂₁ a₁₁ ⎥
⎢ ───────────────── ─────────────────⎥
⎣ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
In [19]: (E3 * E2 * E1)[0,0].simplify()
Out[19]:
a₂₂
─────────────────
a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [20]: (E3 * E2 * E1)[0,1].simplify()
Out[20]:
-a₁₂
─────────────────
a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [21]: (E3 * E2 * E1)[1,0].simplify()
Out[21]:
-a₂₁
─────────────────
a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [22]: (E3 * E2 * E1)[1,1].simplify()
Out[22]:
a₁₁
─────────────────
a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [23]: E = Matrix([[a22/(a11*a22 -a12*a21), -a12/(a11*a22 -a12*a21)], [-a21/(a11*a22 -a12*a21), a11/(a11*a22 -a12*a21)]])
In [24]: E
Out[24]:
⎡ a₂₂ -a₁₂ ⎤
⎢───────────────── ─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢ ⎥
⎢ -a₂₁ a₁₁ ⎥
⎢───────────────── ─────────────────⎥
⎣a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
In [25]: E * M
Out[25]:
⎡ a₁₁⋅a₂₂ a₁₂⋅a₂₁ ⎤
⎢───────────────── - ───────────────── 0 ⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ ⎥
⎢ ⎥
⎢ a₁₁⋅a₂₂ a₁₂⋅a₂₁ ⎥
⎢ 0 ───────────────── - ─────────────────⎥
⎣ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
# 探索這些『基本矩陣』的性質
In [26]: E1
Out[26]:
⎡ 1 0 ⎤
⎢ ⎥
⎣-a₂₁ a₁₁⎦
In [27]: E1.det()
Out[27]: a₁₁
In [28]: E1.inv()
Out[28]:
⎡ 1 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢a₂₁ 1 ⎥
⎢─── ───⎥
⎣a₁₁ a₁₁⎦
In [29]: E2
Out[29]:
⎡a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ -a₁₂⎤
⎢ ⎥
⎣ 0 1 ⎦
In [30]: E2.det()
Out[30]: a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
In [31]: E2.inv()
Out[31]:
⎡ 1 a₁₂ ⎤
⎢───────────────── ─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 1 ⎦
In [32]: E3
Out[32]:
⎡ 1 ⎤
⎢─────────────────────── 0 ⎥
⎢a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ 0 ─────────────────⎥
⎣ a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
In [33]: E3.det()
Out[33]:
1
──────────────────────────────────────────────
3 2 2 2 2
a₁₁ ⋅a₂₂ - 2⋅a₁₁ ⋅a₁₂⋅a₂₁⋅a₂₂ + a₁₁⋅a₁₂ ⋅a₂₁
In [34]: E3.det().simplify()
Out[34]:
1
───────────────────────────────────────────────
⎛ 2 2 2 2⎞
a₁₁⋅⎝a₁₁ ⋅a₂₂ - 2⋅a₁₁⋅a₁₂⋅a₂₁⋅a₂₂ + a₁₂ ⋅a₂₁ ⎠
In [35]: E3.det().simplify().factor()
Out[35]:
1
────────────────────────
2
a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)
In [36]: E3.inv()
Out[36]:
⎡a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) 0 ⎤
⎢ ⎥
⎣ 0 a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦
In [37]: E1.det() * E2.det() * E3.det()
Out[37]:
a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)
──────────────────────────────────────────────
3 2 2 2 2
a₁₁ ⋅a₂₂ - 2⋅a₁₁ ⋅a₁₂⋅a₂₁⋅a₂₂ + a₁₁⋅a₁₂ ⋅a₂₁
In [38]: (E1.det() * E2.det() * E3.det()).simplify()
Out[38]:
1
─────────────────
a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁
# 確定 M 可用『基本矩陣』作表達
In [39]: E1.inv() * E2.inv() * E3.inv()
Out[39]:
⎡a₁₁ a₁₂ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎛ a₁₂⋅a₂₁ 1 ⎞⎥
⎢a₂₁ (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅⎜─────────────────────── + ───⎟⎥
⎣ ⎝a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁) a₁₁⎠⎦
In [40]: (E1.inv() * E2.inv() * E3.inv())[1,1].simplify()
Out[40]: a₂₂