傳說中大天使加百利之號角 Gabriel’s Horn 一旦響起，就是審判日 Judgment Day 的到來。然而卻沒有任何人見過這個號角？這也許正是義大利數學家埃萬傑利斯塔‧托里拆利 Evangelista Torricelli 想像創造托里拆利小號之原因︰它是一個表面積無限大但卻體積有限的三維物體，或許該是用著第五元素乙太才能構成的吧！！
比方說︰『事實就是發生過了的事』？如果曾經有一隻猴子真的敲打出了莎士比亞的哈姆雷特，那麽這是那隻猴子它自己能知道的事實嗎？假使連它自己都不能知道，人們會認為這是件發生過的事實嗎？又假使歷史上根本沒有莎士比亞的哈姆雷特，然而未來將會有□□的○○，到那時有隻猴子曾使這事成真的了，難道真的可以歸結說過去曾經有一隻猴子真的敲打出了□□的○○的嗎？
學習就像是個『羊角螺旋』的軌跡，一再的一次又一次覆裹著中心的主題，每次的回歸，總是帶著新的知識與舊的記憶。自古以來人類一直想方設法希望解開大自然的奧秘，也許終將能有一天，這個思想螺旋成了『龍捲風』，大到能含括天地萬物。
這樣的一個學習者將會如何建造自己知識之金字塔的呢？他會不會用『想像的實驗』去釐清『基本概念』之糾葛的呢？還是用『推導歸謬』的邏輯，去探測一個『自明假設』之深遠結論的呢？又或者會將在大自然中發現的方程式求解，然後『畫圖』與『演示』這個解之意義的呢？……
如果從人類的創造發明史來看，那樣的學習者終將使用當時之最好的『學習工具』，打造自己的『學習工具箱』，甚至會創新『既有之工具』。就現今來講，除了使用電腦的一般應用軟體之外 ── 比方說文書處理等等 ──，最重要的就是能掌握 『程式語言』與『數學語言』的工具。或許這正是樹莓派基金會一開始打造樹莓派時所想的重要原因，讓學習者能有學習的工具！！
十七世紀時，數學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似，『分形』或說『碎形』fractal 的數學從那時起漸漸地成形。直到一八七二年，現代分析之父，德國的卡爾‧特奧多爾‧威廉‧魏爾斯特拉斯 Karl Theodor Wilhelm Weierstraß 給出一個處處連續但卻處處不可微分的這種非直覺性之函数︰
其中 
為正的奇數，使得：
。
一九零四年瑞典數學家尼爾斯‧法比安‧海里格‧馮‧科赫 Niels Fabian Helge von Koch 不用著魏爾施特拉斯那種抽象又解析之定義，給出了現今稱作『科赫雪花』的直觀幾何學構造，如果用荷蘭植物學家 Aristid Lindenmayer 植物生長過程的數學模型 L 系統表示為︰
字元︰F
常數︰ ＋，－
公理︰F＋＋F＋＋F
規則: F → F－F＋＋F－F
F︰向前
－︰左轉 60°
＋︰右轉 60°
一九一五年波蘭數學家瓦茨瓦夫‧弗朗西斯克‧謝爾賓斯基 Wacław Franciszek Sierpiński 造出了『謝爾賓斯基三角形』，隔年又造出了『謝爾賓斯基地毯』。一九三八年法國數學家保羅‧皮埃爾‧萊維 Paul Pierre Lévy 在一篇論文中將『自相似曲線』的概念推廣，給出了一個新的『萊維 C 』碎形曲線，以 L 系統記為：
變數︰ F
常數︰＋－
公理︰ F
規則︰ F → ＋F－F＋
F︰ 向前
－︰左轉 45°
＋︰右轉 45°
其後集合論之父康托爾 Cantor 也給出一個具有不尋常性質的線段集合，康托爾的『三分點集』︰
一、將一個區間集合三分，去掉中間的一段，構成了一個新的區間集合。
二、將新構成的集合一再的重複著『一』之步驟。
一直要到一九世紀末，複數平面的迭代函數才逐漸的由，法國大數學家儒勒‧昂利‧龐加萊 Jules Henri Poincaré 、德國數學家菲利克斯‧克萊因 Felix Christian Klein 以及法國數學家加斯東‧朱利亞 Gaston Maurice Julia 等等研究開拓，方形成了今天的『分形理論』，然而還得等到有人用電腦繪出它們的圖形後，人們才驚訝的發現原來它們是如此的『優美』與『壯麗』的啊！！
一九六七年本華‧曼德博 Benoît B. Mandelbrot ，一位生於波蘭華沙幼年就隨全家移居法國巴黎的數學家，是分形幾何學的創立者。在一篇名為 《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension 的論文裡，曼德博探討了維度界於 1 和 2 之間的自相似曲線。雖然那時曼德博並沒有使用『分形』一詞，但是『分形』這詞據說也還是他所創造的，更不要講他致力於透過著作和演講向大眾介紹自己的理論，這也使得分形理論之研究成果廣為人知的了。
科赫雪花是一條無限長的曲折之線，但卻包圍著有限的面積，這難道是天堂裡才能有的『雪花』嗎？那想不想多了解一點，或者畫出也許算算這能是真的嗎？假使想，那你可以用，樹莓派基金會曾經多次癹文 post ，談著的一個稱作『Mathematica』之工具，它是一套專業的數學文章寫作、計算、畫圖、演示、…，又可以寫程式的應用軟體。這個 Mathematica 軟體的最初撰寫者，Wolfram 公司的創始人 Wolfram 先生將它免費提供給了樹莓派的使用者，真可謂是教育的有心人了！！更有興趣的讀者還可以到 Wolfram 之樹莓派網頁，多知道一些其他相關資源。下面列出幾個著名的『分形』之 Mathematica 網址，它的網頁上還有可以下載的 Mathematica 範例『筆記本』︰
Gabriel’s Horn
Koch Snowflake
Sierpiński Sieve
Peano Curve
── 教育的加百利之號角已然吹響，就讓自己與時俱進吧 ──