兩物質間之『重力』 與兩電荷間的『靜電力』 都與兩者之間的『距離平方』成反比 ，因此『位能』也就與『距離』成反比 的了。其實，物理上某一種『物理量』的『分布』或是『強度』，會按照距離『來源』之遠近成『平方反比』而下降，是很常見的『物理現象』之描述。於是就特別將之稱為『反平方定律』。數學上來講，『反平方定律』滿足『高斯散度定理』

。 因此一個位在 處的『點電荷』 和一個『半徑』是 ，『球心』亦在 處，而且電荷均勻分佈，『總電荷量』也是 的『帶電球』所產生的『力場』是『等效的』，只不過那個『帶電球』在 處並不是『奇點』的啊！假使說『點電荷』是指當『球半徑』逼近『無窮小』 ，『總帶電量』 卻維持不變，這樣的說法是『合理』的嗎？？

一九六零年，奧地利裔美國科學家『海因茨‧馮‧福爾斯特』 Heinz von Foerster 在《Science》雜誌上發表了一個『世界末日方程式』 Doomsday Equation。這是一個根基於世界『人口成長數據』得出的『巨觀模型』


，當『無限大』發生之時，就是『世界末日』之日
Doomsday, Friday, 13 November, A.D. 2026
。有人將之簡化後得到 ，這就是前面所說的『生長方程式』。在現實世界中，這通常是因為系統中有非線性『正回饋』機制所引發的『現象』。舉例來說，在『伺服器』 server 的『等候理論』 Queueing theory 裡，當『平均工作量』快超過伺服器的『處理能力』時，將會發生『佇列』極速積累現象而崩潰，結果就只能是『當機』的啊！

假使對比著『化學反應速率』方程式來看︰一個典型的『化學反應』 ，

，此處 表示一種給定的反應物的『濃度』， 表示此一反應的『速率常數』。這樣一個『二級反應速率』方程式就可以是 ，這個式子中的『負號』，就是這兩者最主要的差異的啊！可以解得 ，它可是不會發生那個『無限大』的吧！除了『誇張的成長』 Hyperbolic growth 之外，在天文現象上『雙曲線』敘述『只來一次』的『彗星軌道』，或許說『偶然』與『必然』並非真是隔著『千山萬嶺』，就像追問什麼是『有生命』和『無生命』的『分界』一般，終究是『難以分說』的大自然『譜系』罷了的啊！！

切割一個『圓錐』可以得到好幾類『曲線』，而『雙曲線』是其中之一，在此我們僅就『雙曲函數』 的『性質』作點『鋪陳』。在數學上，如果 ，我們定義說 是 的『乘法反元素』，然而只要 ，如果 ，那麼 ，也就是說『雙曲函數』將一個不為『零』的『實數』對應到了『此數』的『乘法反元素』。於是『無窮小』 和『無限大』 並不能『孤立的講』，而是必須『對偶的談』，否則就可能發生『此矛彼盾』的現象。假使說 而且 ，此處 是個『定量實數』，那麼依據一般『代數法則』， 是對的嗎？所謂的『一碼歸一碼』 Case by Case 所指的『特定性』情況，就是『無窮小』數之『等級性』的另一種說法，由於『對偶性』的要求，對於『無限大』並不能夠脫離這個『脈絡』隨意『另外陳述』的啊！也就講包含了『其一』，又怎麽可以不包含了『另一』卻想期望『不矛盾』的呢？？

那麼『雙曲函數』還有什麼重要性的嗎？舉例來說，我們該如何估計 的近似值的呢？如果我們用『自然對數』來看，，


。

再者， 又說著哪種特性的呢？其次它的『反函數』是什麼函數的呢？這兩者又有什麼不同的特性的嗎？