一八三八年，比利時數學家 Pierre François Verhulst 發表了一個『人口成長』方程式，

，此處 是某時的人口數， 是自然成長率， 是環境承載力。求解後得到

，此處 是初始條件。 Verhulst 將這個函數稱作『logistic function』，於是那個微分方程式也就叫做『 logistic equation』。假使用 改寫成 ，將它『標準化』，取 與 ，從左圖的解答來看， ，也就是講人口數成長不可能超過環境承載力的啊！

如果求 的反函數，得到 ，這個反函數被稱之為『Logit』函數，定義為

，一般常用於『二元選擇』，比方說『To Be or Not To Be』的『機率分佈』，也用於『迴歸分析』 Regression Analysis 來看看兩個『變量』在統計上是『相干』還是『無干』的ㄡ！假使試著用『無窮小』數來看 和 ，或許更能體會『兩極性』的吧！！

一九七六年，澳洲科學家 Robert McCredie May 發表了一篇《Simple mathematical models with very complicated dynamics》文章，提出了一個『單峰映象』 logistic map 遞迴關係式 。這個遞迴關係式很像是『差分版』的『 logistic equation』，竟然是產生『混沌現象』的經典範例。假使說一個『遞迴關係式』有『極限值』 的話，此時 ，可以得到 ，於是 或者 。在 之時，『單峰映象』或快或慢的收斂到『零』；當 之時，它很快的逼近 ；於 之時，線性的上下震盪趨近 ；雖然 也收斂到 ，然而已經是很緩慢而且不是線性的了；當 時，對幾乎各個『初始條件』而言，系統開始發生兩值『震盪現象』，而後變成四值、八值、十六值…等等的『持續震盪』；最終於大約 時，這個震盪現象消失了，系統就步入了所謂的『混沌狀態』的了！！

『連續的』微分方程式沒有『混沌性』，『離散的』差分方程式反倒發生了『混沌現象』，那麼這個『量子』的『宇宙』到底是不是『混沌』的呢？？回想之前『λ 運算』裡的『遞迴函式』，與數學中的『定點』定義，『單峰映象』可以看成函數 的『迭代求值』︰。當 ，這個 就是『定點』，左圖中顯示出不同的 值的求解現象，從有『定點』向『震盪』到『混沌』。如果我們將『 logistic equation』改寫成 ，假使取 ，可以得到 ，它的『極限值』 ，根本與 沒有關係，這也就說明了兩者的『根源』是不同的啊！然而這卻建議著一種『時間序列』的觀點，如將 看成 ，這樣 就說是『速度』的了，於是 便構成了假想的『相空間』，這可就把一個『遞迴關係式』轉譯成了一種『符號動力學』的了！！

在某些特定的 值，這個『遞迴關係式』有『正確解』 exact solution，比方說 時，，因為 ，所以 ，於是 ，因此 。再者由於『指數項』 是『偶數』，所以此『符號動力系統』不等速 ── 非線性 ── 而且不震盪的逼近『極限值』的啊。