概念的由來並非是無根之木突然結果，自有歷史的淵源，比較像鐵樹開花，基礎之因和境遇之緣的偶遇，彷彿一道閃光劃破天際，於是人們就知道了雷聲不遠的了。

在『群論』 group theory 的歷史上，兩位重要的興起者，或許因為不同的環境因素，都發生不幸的早夭事件。其一是挪威數學家尼爾斯‧亨利克‧阿貝爾 Niels Henrik Abel 生於一八零二年，一八二五年得到政府之資助，始得遊學柏林和巴黎。由於生前不得志，現實裡一直無法獲得教席而能專心的研究，最終在一八二九年，因肺結核在挪威的弗魯蘭病世。就在死後兩天，家中收到了來自柏林的聘書。阿貝爾他以證明五次方程式『不可能』用『多次方根形式』 的一般解與對於『橢圓函數論』的研究而聞名於世。

法國著名的數學家埃瓦里斯特‧伽羅瓦 Évariste Galois 生於一八一一年，當他還是十多歲的青年之時，他就已經發現了 N 次多項式可以用『根式解』的『充份必要條件』，這解決了長期困擾數學界的問題。伽羅瓦是第一個使用『群』 group 這一個術語的人。據聞他是一位激進的共和主義者，在路易‧菲利普復辟的時期被捕入獄。一八三二年時，伽羅瓦於出獄後，在一次幾乎自殺式的決鬥中喪了命，此事件的起因引起了多方各種的揣測？？在今天他與阿貝爾並稱為『現代群論』的創始人 。

過去大數學家『歐拉』曾經著書立論，強調新的數學常常是起源於『觀察』與『實驗』。那麼伽羅瓦和阿貝爾他們又在觀察『什麼』的呢？假使思考 N 階『多項式』和 N 次『方程式』的『融會處』

，此處 是『有理數』， 是對應的『根』。

那麼當時果真已經證明了 N 次『方程式』就有 N 個解的嗎？其實並非如此，然而『三次』與『四次』方程式求解的一般的『方法』大概已經知道了。這又和『五次』方程式能不能求解有什麼關係的呢？就樣我們就從 是『有理數』嗎開始，也許可以窺見一斑。為什麼說 『不可能』是『有理數』的呢？因為它不可能『表達』成『有理數』的『形式』 ，一般約定的說此處 與 是整數而且互質。如果依據『歐幾里得』的證法，假使講一個有理數 的『因式分解』，沒有任何一個『質因子次方』大於二 ── 其內沒有平方數 ──，那麼這個 也就必然不會是『有理數』的了。這又是為什麼呢？因為假設 ，就可以得到 ，然而因為 『互質』，所以 ，而且 也『互質』，這樣又可以得到 ，因此   就一定是當然的了，於是 和 就有了共同『因子』 ，這卻產生了『假設矛盾』，因是之故，『歸謬』的得出了 不是『有理數』。那麼當我們談及 時，這裡所說的『多項式』與『方程式』是一樣的嗎？它們的內在聯繫又是什麼的呢？