【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 !V 》

假使我們再次考察『狹義相對論』的『勞侖茲變換』

\begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} =  L_v \begin{bmatrix} x \\ t \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^2}}  \begin{pmatrix} 1 & -v \\ -\frac{v}{c^2} & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}

,當『光的速度c \approx \infty 時,或著在 \frac{v}{c} \approx 0 情況下,L_v \approx G_v,『事件』的描述滿足『伽利略變換』

\begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} = G_v \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -v \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}

。這說明了在日常『經驗』裡,我們很難『察覺』 相對論的『速度效應』,這或許就是『相對論』難以理解的『原因』。如果細思『速度加法』定義為 w \bigoplus v = \frac{w + v}{1 + (w v / c^2)},它能滿足對所有『慣性觀察者』而言,『光速不變』都是 c 的嗎?c \bigoplus v = \frac{c + v}{1 + (c v / c^2)} = c,看來的確是如此,甚至是當 v \approx cc \bigoplus c = c。那麼一個持續被加速的『粒子』,為什麼會『超不過光速』的呢?假使用牛頓的『第二運動定律\vec{F} = m \vec {a} 來設想,當一個粒子的『速度』越來越高時,『推動力』所能產生的『加速度』將會越來越小,這暗示著『粒子質量』隨著速度的增加而變大。這就是所謂的『相對論質量m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}},此處 m_0 是『靜止質量』。也就是說,一個有『靜止質量』的物體,當它的『運動速度』接近『光速』時,它的『相對論質量』就會趨近『無限大』。然而『超光速』的『不可能性』就在於此時『質量』將會變成了『虛數』的啊!因此在『狹義相對論』裡,牛頓的『第二運動定律\vec{F} = m \vec {a} 需要使用『動量型式』來改寫

\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m \vec{v})}{dt}

= \frac {dm}{dt}\vec{v} + m\frac {d\vec{v}}{dt} = {m_0}\frac {d\gamma}{dt}\vec{v} + \gamma {m_0}\frac {d\vec{v}}{dt}

= \frac{\gamma^3 {m_0} \left( \vec{v} \cdot \vec{a} \right)}{c^2} \ \vec{v} + \gamma {m_0}\, \vec{a}

,此處 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}。從上式可以看出,在『狹義相對論』裡,物體的『運動方程式』要複雜的多了,是『非線性』的,而且『』與『加速度』也不再『同向』的了。就讓我們探究一下在『狹義相對論』中的『動能\frac{1}{2}m v^2 概念吧。一個物體的『動能變化』是『外力』對該物所作的『』,因此可以表示成

{dE_k}=\vec{F} \cdot {d\vec{x}}= \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot {d\vec{x}} = \vec{v} \cdot d(m \vec{v}) = v^2dm+mvdv

,由於 m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}},因此 m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2,於是 mvdv=c^2dm-v^2dm,所以得到

{dE_k}=c^2dm

。將之積分後就是 {E_k}={\int \limits_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2,果真是令人驚訝,『動能變化』竟然與『質量變化』直接相關!假使我們『定義說』︰總能量 = 靜止能量 + 動能,就得到了『愛因斯坦』大名鼎鼎的 E = m c^2 的了!!

於是乎一個具有『靜止質量m_0 的物體,它也就一定具有了『能量m_0 c^2,當它以『速度v 運動時,它的『總能量』是 m c^2,當 v << c 時, m c^2 - m_0 c^2 \approx \frac{1}{2} m_0 v^2,這就是人們所熟悉的『牛頓力學』的『動能表達式』;再從 m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2,我們也可以得到『能量‧動量關係式E^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2,如果就『質能轉換』的觀點來看,擁有『能量』也就具有『動量』,這對『光子』來說是這樣的嗎?假設『光子』的『質量』是 m,那麼它的『動量』就是 m c,依據  E^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2,『光子』的『靜止質量m_0 為『』,也就是說『不存在』著能與『光子偕行』的『慣性座標系』,這為什麼的呢?因為『靜止的光』之『質量為零』那就根本就『不存在』的啊!再從『光是電磁波』的角度來講, 『光子能量E = h \nu = m c^2,所以『光子動量p = m c = \frac{h \nu}{c^2} c = \frac{h}{\lambda},那個『光電效應』就是『光波』與『光粒子』的『波粒二元性』之相會的吧!!

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『太易』為何有『太初』,『太初』因何作『霹靂』?!

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宇宙選擇的時空幾何學!?

更不要說『宇宙論』的那個『大爆炸』,『霹靂』『生?!』『時空』;『太初』『時空』自『膨脹』;『太始』『時空』創『夸克』;『太素』『時空』造『原子』;『此時』『』形『』具而『未相離』,故曰『渾淪』,言萬物相渾淪而未相離,視之不見、聽之不聞、循之不得、故曰『』也。

從一九零七年之『等效原理』開始,到了一九一二年左右,創生出『宇宙中一切物質的運動都可以用曲率來描述,重力場實際上是彎曲時空的表現』的『思 想』,『愛因斯坦』歷經了漫長之『試誤過程』,最終於一九一六年十一月二十五日寫下了『重力場方程式』,完成了『廣義相對論』。現今這條方程式稱作『愛因斯坦場方程式』 EFE  Einstein field equations:

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}

其中,G_{\mu\nu} 稱為『愛因斯坦張量』; R_{\mu\nu} 是從『黎曼張量』縮併而成的『里奇張量』,代表『曲率項』; R 是從『里奇張量』縮併而成的『純量曲率』; g_{\mu\nu} 是從 (3+1) = 4 維時空的『度量張量』; T_{\mu\nu} 是『能量‧動量‧應力張量』; G 是『重力常數』; c 是『真空光速

這麼一個『方程式』真就是『時空』 ── 自變數 ── 『開闢』『度量』 ── 因變數── 的『大霹靂方程式』的嗎?不知該說是『奇也怪哉』或說是『奇也妙哉』,真有著一個『想度量自己』又能夠『自圓其說』的『宇宙』的嗎??

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真空場方程式的紀念硬幣

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重力場與加速度等效

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愛因斯坦解釋廣義相對論
之手稿扉頁

大同而與小同異,此之謂小同異;萬物畢同畢異,此之謂大同異。

若是我們『研究』自然中『發生』『事物』的『同異』,那麼我們將會『認為』『魚上陸地』與『鳥飛上天』是『變化大者』之『』『』的嗎?或者說『用進廢退』來說就是『相較之小』之『』『』的呢?也許無須『好辯哉』,也不必作『大哉辨』,『自然』自有其『道理』的啊!所以人才會問著『世間』果真有『道德律』的嗎??

孟子‧公孫丑上

公孫丑問曰:夫子當路於齊,管仲、晏子之功,可復許乎?

孟子曰:子誠齊人也,知管仲、晏子而已矣。或問乎曾西曰;『吾子與子路孰賢?』曾西蹙然曰:『吾先子之所畏也。』曰:『然則吾子與管仲孰賢?』曾西艴然不悅,曰:『爾何曾比予於管仲?管仲得君,如彼其專也;行乎國政,如彼其久也;功烈,如彼其卑也。爾何曾比予於是?』

曰:管仲,曾西之所不為也,而子為我願之乎?

曰:管仲以其君霸,晏子以其君顯。管仲、晏子猶不足為與?

曰:以齊王,由反手也。

曰:若是,則弟子之惑滋甚。且以文王之德,百年而後崩,猶未洽於天下;武王、周公繼之,然後大行。今言王若易然,則文王不足法與?

曰:文王何可當也?由湯至於武丁,賢聖之君六七作。天下歸殷久矣,久則難變也。武丁朝諸侯有天下,猶運之掌也。紂之去武丁未久也,其故家遺俗,流風善政,猶有存者;又有微子、微仲、王子比干、箕子、膠鬲皆賢人也,相與輔相之,故久而後失之也。尺地莫非其有也,一民莫非其臣也,然而文王猶方百里起,是以難也。齊人有言曰:『雖有智慧,不如乘勢;雖有鎡基,不如待時。』今時則易然也。夏后、殷、周之盛,地未有過千里者也,而齊有其地矣;雞鳴狗吠相聞,而達乎四境,而齊有其民矣。地不改辟矣,民不改聚矣,行仁政而王,莫之能禦也。且王者之不作,未有疏於此時者也;民之憔悴於虐政,未有甚於此時者也。飢者易為食,渴者易為飲。孔子曰:『德之流行,速於置郵而傳命。』當今之時,萬乘之國行仁政,民之悅之,猶解倒懸也。故事半古之人,功必倍之,惟此時為然。

公孫丑問曰:夫子加齊之卿相,得行道焉,雖由此霸王不異矣。如此,則動心否乎?

孟子曰:否。我四十不動心。

曰:若是,則夫子過孟賁遠矣。

曰:是不難,告子先我不動心。

曰:不動心有道乎?

曰:有。北宮黝之養勇也,不膚撓,不目逃,思以一豪挫於人,若撻之於市朝。不受於褐寬博,亦不受於萬乘之君。視刺萬乘之君,若刺褐夫。無嚴諸侯。惡聲至,必反之。孟施舍之所養勇也,曰:『視不勝猶勝也。量敵而後進,慮勝而後會,是畏三軍者也。舍豈能為必勝哉?能無懼而已矣。』孟施舍似曾子,北宮黝似子夏。夫二子之勇,未知其孰賢,然而孟施舍守約也。昔者曾子謂子襄曰:『子好勇乎?吾嘗聞大勇於夫子矣:自反而不縮,雖褐寬博,吾不惴焉;自反而縮,雖千萬人,吾往矣。』孟施舍之守氣,又不如曾子之守約也。

曰:敢問夫子之不動心,與告子之不動心,可得聞與?

告子曰:『不得於言,勿求於心;不得於心,勿求於氣。』不得於心,勿求於氣,可;不得於言,勿求於心,不可。夫志,氣之帥也;氣,體之充也。夫志至焉,氣次焉。故曰:『持其志,無暴其氣。』

既曰『志至焉,氣次焉』,又曰『持其志無暴其氣』者,何也?

曰:志壹則動氣,氣壹則動志也。今夫蹶者趨者,是氣也,而反動其心。

敢問夫子惡乎長?

曰:我知言,我善養吾浩然之氣。

敢問何謂浩然之氣?

曰:難言也。其為氣也,至大至剛,以直養而無害,則塞于天地之閒。其為氣也,配義與道;無是,餒也。是集義所生者,非義襲而取之也。行有不慊於心,則餒矣。我故曰,告子未嘗知義,以其外之也。必有事焉而勿正,心勿忘,勿助長也。無若宋人然:宋人有閔其苗之不長而揠之者,芒芒然歸。謂其人曰:『今日病矣,予助苗長矣。』其子趨而往視之,苗則槁矣。天下之不助苗長者寡矣。以為無益而舍之者,不耘苗者也;助之長者,揠苗者也。非徒無益,而又害之。

何謂知言?

曰:詖辭知其所蔽,淫辭知其所陷,邪辭知其所離,遁辭知其所窮。生於其心,害於其政;發於其政,害於其事。聖人復起,必從吾言矣。

宰我、子貢善為說辭,冉牛、閔子、顏淵善言德行。孔子兼之,曰:『我於辭命則不能也。』然則夫子既聖矣乎?

曰:惡!是何言也?昔者子貢、問於孔子曰:『夫子聖矣乎?』孔子曰:『聖則吾不能,我學不厭而教不倦也。』子貢曰:『學不厭,智也;教不倦,仁也。仁且智,夫子既聖矣!』夫聖,孔子不居,是何言也?

昔者竊聞之:子夏、子游、子張皆有聖人之一體,冉牛、閔子、顏淵則具體而微。敢問所安。

曰:姑舍是。

曰:伯夷、伊尹何如?

曰:不同道。非其君不事,非其民不使;治則進,亂則退,伯夷也。何事非君,何使非民;治亦進,亂亦進,伊尹也。可以仕則仕,可以止則止,可以久則久,可以速則速,孔子也。皆古聖人也,吾未能有行焉;乃所願,則學孔子也。

伯夷、伊尹於孔子,若是班乎?

曰:否。自有生民以來,未有孔子也。

曰:然則有同與?

曰:有。得百里之地而君之,皆能以朝諸侯有天下。行一不義、殺一不辜而得天下,皆不為也。是則同。

曰:敢問其所以異?

曰:宰我、子貢、有若智足以知聖人。汙,不至阿其所好。宰我曰:『以予觀於夫子,賢於堯舜遠矣。』子貢曰:『見其禮而知其政,聞其樂而知其德。由百世之後,等百世之王,莫之能違也。自生民以來,未有夫子也。』有若曰:『豈惟民哉?麒麟之於走獸,鳳凰之於飛鳥,太山之於丘垤,河海之於行潦,類也。聖人之於民,亦類也。出於其類,拔乎其萃,自生民以來,未有盛於孔子也。』

孟子曰:以力假仁者霸,霸必有大國,以德行仁者王,王不待大。湯以七十里,文王以百里。以力服人者,非心服也,力不贍也;以德服人者,中心悅而誠服也,如七十子之服孔子也。詩云:『自西自東,自南自北,無思不服。』此之謂也。

孟子曰:「仁則榮,不仁則辱。今惡辱而居不仁,是猶惡溼而居下也。

如惡之,莫如貴德而尊士,賢者在位,能者在職。國家閒暇,及是時明其政刑。雖大國,必畏之矣。詩云:『迨天之未陰雨,徹彼桑土,綢繆牖戶。今此下民,或敢侮予?』孔子曰:『為此詩者,其知道乎!能治其國家,誰敢侮之?』

今國家閒暇,及是時般樂怠敖,是自求禍也。禍褔無不自己求之者。詩云:『永言配命,自求多褔。』太甲曰:『天作孽,猶可違;自作孽,不可活。』此之謂也。

孟子曰:尊賢使能,俊傑在位,則天下之士皆悅而願立於其朝矣。市廛而不征,法而不廛,則天下之商皆悅而願藏於其市矣。關譏而不征,則天下之旅皆悅而願出於其路矣。耕者助而不稅,則天下之農皆悅而願耕於其野矣。廛無夫里之布,則天下之民皆悅而願為之氓矣。信能行此五者,則鄰國之民仰之若父母矣。率其子弟,攻其父母,自生民以來,未有能濟者也。如此,則無敵於天下。無敵於天下者,天吏也。然而不王者,未之有也。

孟子曰:人皆有不忍人之心。先王有不忍人之心,斯有不忍人之政矣。以不忍人之心,行不忍人之政,治天下可運之掌上。

所以謂人皆有不忍人之心者,今人乍見孺子將入於井,皆有怵惕惻隱之心。非所以內交於孺子之父母也,非所以要譽於鄉黨朋友也,非惡其聲而然也。

由是觀之,無惻隱之心,非人也;無羞惡之心,非人也;無辭讓之心,非人也;無是非之心,非人也。惻隱之心,仁之端也;羞惡之心,義之端也;辭讓之心,禮之端也;是非之心,智之端也。人之有是四端也,猶其有四體也。有是四端而自謂不能者,自賊者也;謂其君不能者,賊其君者也。

凡有四端於我者,知皆擴而充之矣,若火之始然,泉之始達。苟能充之,足以保四海;苟不充之,不足以事父母。

孟子曰:矢人豈不仁於函人哉?矢人唯恐不傷人,函人唯恐傷人。巫匠亦然,故術不可不慎也。孔子曰:『里仁為美。擇不處仁,焉得智?』夫仁,天之尊爵也,人之安宅也。莫之禦而不仁,是不智也。不仁、不智、無禮、無義,人役也。人役而恥為役,由弓人而恥為弓,矢人而恥為矢也。如恥之,莫如為仁。仁者如射,射者正己而後發。發而不中,不怨勝己者,反求諸己而已矣。

孟子曰:子路,人告之以有過則喜。禹聞善言則拜。大舜有大焉,善與人同。舍己從人,樂取於人以為善。耕、稼、陶、漁以至為帝,無非取於人者。取諸人以為善,是與人為善者也。故君子莫大乎與人為善。

孟子曰:伯夷,非其君不事,非其友不友。不立於惡人之朝,不與惡人言。立於惡人之朝,與惡人言,如以朝衣朝冠坐於塗炭。推惡惡之心,思與鄉人立,其冠不正,望望然去之,若將浼焉。是故諸侯雖有善其辭命而至者,不受也。不受也者,是亦不屑就已。柳下惠,不羞汙君,不卑小官。進不隱賢,必以其道。遺佚而不怨,阨窮而不憫。故曰:『爾為爾,我為我,雖袒裼裸裎於我側,爾焉能浼我哉?』故由由然與之偕而不自失焉,援而止之而止。援而止之而止者,是亦不屑去已。

孟子曰:伯夷隘,柳下惠不恭。隘與不恭,君子不由也。