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亞里斯多德之輪！！

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Dialogue Concerning the Two Chief World Systems

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公 元前三八四年亞里斯多德出生於色雷斯的斯塔基拉，他是哲學家柏拉圖的學生與亞歷山大大帝的老師。他一生著作豐富，囊括了物理學、形上學、詩歌、戲劇、音樂、 生物學、動物學、邏輯學、政治、政府、以及倫理學，乃西方哲學的奠基者之一。亞里斯多德的物理學思想深刻的重塑了中世紀的學術思想，其影響力之大延伸到了 文藝復興時期，終被伽利略所改寫，後為牛頓物理學所取代。

傳聞亞里斯多德著作了一本『 Mechanica or Mechanical Problems; Greek:  Μηχανικά 』之力學書，這個『亞里斯多德之輪』的悖論就是出自這本書。滾動一個圓狀物，用它在平面上運動的『軌跡』就可以測量『圓周長』，這本是平凡無奇。但是左圖的動畫卻顯示， 大小二圓顯然走了一樣的『距離』，難道它們的『圓周長』一樣的嗎？由歐基里德的幾何學可以知道圓周長等於『 π ‧ 直徑』，這到底是怎麼回事呢？很清楚  \overline{AD} = \overline{BE} = \overline{CF} ，難道不是這樣的嗎？一六三二年伽利略用義大利文撰寫了一部天文學著作，英文譯作『關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話』。在『第一天』的對話裡，他談到了『亞里斯多德之輪』︰

SALV. Otherwise what? Now since we have arrived at paradoxes let us see if we cannot prove that within a finite extent it is possible to discover an infinite number of vacua. At the same time we shall at least reach a solution of the most remarkable of all that list of problems which Aristotle himself calls wonderful; I refer to his Questions in Mechanics. This solution may be no less clear and conclusive than that which be himself gives and quite different also from that so cleverly expounded by the most learned Monsignor di Guevara.*

First it is necessary to consider a proposition, not treated by others, but upon which depends the solution of the problem and from which, if I mistake not, we shall derive other new and remarkable facts. For the sake of clearness let us draw an accurate figure. ……

200px-Infinity_symbol.svg。

銀河

為 了能更好的理解伽利略的觀點，就讓我們從今人對『無限』概念的說明開始。坎特爾依著萊布尼茲的思路，將數量『無限大』Infinity 定義成『比任何給定的實數還要大』；以及將其『無限小』infinitesimal  定義成『比任何給定的實數還要小』。之後法國數學家柯西又用著『極限』limit 的概念來論述有著『無窮項』的『數列』或『級數』之『逼近值』，比方\lim \limits_{n \to \infty}x_n = Q 是指︰

對於任何給定的 \epsilon ，都找得到一個 N ，
當 n > N 時， \mid x_n - Q \mid < \epsilon。

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這固然是『嚴謹』的多了，但是對無限的『本性』是什麼並沒有說明？所以許多『誤謬』依然很容易發生？舉個例說，依上圖的方波想像這個無窮級數『 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …… 』，它是有極限值嗎？可以用下面各種不同的『計算法』嗎？

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1 )+ (1 – 1 )…… = 0 + 0 + 0 + 0 + …
1 + (-1 + 1 ) + (- 1 + 1 )  + (- 1 + 1) + ( – 1 …… = 1+0 + 0 + 0 +  …
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ……= (1+1+1+1+…)  –  (1+1+1+1+…)

在 『對話錄』裡伽利略說了一個自然數『平方的悖論』。每一個自然數 n 都可以平方成 n^2，假使我們把自然數的集合稱作 N ，將這個平方的集合叫做 S = \{1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots \}，雖然它也有『無限多』的元素，顯然它的元素間的『差距』是越來越大的吧！這樣我們可以因為 N 有『更多的』的元素，就說  N_{\infty} > S_{\infty} 嗎？再說如果由 S 構造另一個集合 P ，這個集合中的每一個元素都從 S 中的元素『開方根』而來，那難到 P 的元素個數不等於 S 的元素個數嗎？更不要說 P  就是 N 吧！！他又用著『一對一』對應的相同之思路，論證一條『短的線段』和一條『長的線段』都是一樣『無窮的可分』，擁有『一樣多』的『點』。所以伽利略認為 『無限』並不是具有『數量』的『可比較』之性質，而『點』── 並非無窮可分的小 ── 卻是『不可分』的『非量』，此兩者都遠遠超越人類的『理解』。也許可以說他非常明白，一般數學的運算並不適用於這兩個『理念』，知道『向大』而無外之無限與 『往小』又無窮之可分，是兩種完全不一樣的『 \infty 』。

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smaller polygon to roll

因 此伽利略用『可分割』之『有限多邊形』來研究『無窮多邊』的『圓』，並說這個『有限』到『無窮』的『跳躍』是『一步到位』之『不可說』之超越。他觀察以第 一圖『大』多邊形為主的每『定』點之『軌跡』，與第二圖『小』多邊形為主的各『定』點之『現象』來作比較。事實上是『大小』兩多邊形的運動軌跡不同，而且 不同時間的速度也不相同。其實與平面之『接觸點』輪轉而變化，這個『想像』的『固定點』就是亞里斯多德之輪的『誤謬』來源。如果從現今的物理學來講只有 『圓心』之軌跡才走『那一條』畫出的軌跡︰

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BrachistochroneTautochrone_curve

如今這個『大圓』上之圓周的某個『定點』，畫出的『軌跡』稱之為『擺線』cycloid。為什麼要叫作『擺線』的呢？也許是德國的數學家 Christiaan Huygens 所發現這樣作的『鐘擺』之『準確性』和『振幅』無關，或許可以作為一種精準的時鐘？然而事實又何止是如此的呢？有人研究地球上『A、B』兩點之間運動的『最短時間』曲線；以及 有人發現一條叫作 Tautochrone curve  的『同時曲線』── 各物不管原先『起始』在哪個位置，它所『到達』的時刻卻都是相同 的 ── 顯示這一切或許不得不與『之』有關的吧！！

 

─── 『精確』之概念定義與『篤定』之邏輯推導是

『科學』的兩大基礎『柱石』，能不慎 乎？慎之，慎之！！

──

 

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