何謂『線性系統』? 假使從『系統論』的觀點來看,一個物理系統 ,如果它的『輸入輸出』或者講『刺激響應』滿足
設使 ,,
那麼
也就是說一個線線系統︰無因就無果、小因得小果,大因得大果,眾因所得果為各因之果之總計。
如果一個線性系統還滿足
,這個系統稱作『線性非時變系統』。系統中的『因果關係』是『恆常的』不隨著時間變化,因此『遲延之因』生『遲延之果』 。線性非時變 LTI Linear time-invariant theory 系統論之基本結論是
任何 LTI 系統都可以完全祇用一個單一方程式來表示,稱之為系統的『衝激響應』。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的『衝激響應』的『卷積』Convolution 。
雖然很多的『基礎現象』之『物理模型』可以用 LTI 系統來描述。即使已經知道一個系統是『非線性』的,將它在尚未解出之『所稱解』── 比方說『熱力平衡』時 ── 附近作系統的『線性化』處理,以了解這個系統在『那時那裡』的行為,卻是常有之事。
科技理論上偏好『線性系統』 ,並非只是為了『數學求解』的容易性,尤其是在現今所謂的『雲端計算』時代,祇是一般『數值解答』通常不能提供『深入理解』那個『物理現象』背後的『因果機制』的原由,所以用著『線性化』來『解析』系統『局部行為』,大概也是『不得不』的吧!就像『混沌現象』與『巨變理論』述說著『自然之大,無奇不有』,要如何『詮釋現象』難道會是『不可說』的嗎??
一般物理上所謂的『疊加原理』 Superposition Principle 就是說該系統是一個線性系統。物理上還有一個『局部原理』Principle of Locality 是講︰一個物體的『運動』與『變化』,只會受到它『所在位置』的『周遭影響』。所以此原理排斥『超距作用』,因此『萬有引力』為『廣義相對論』所取代;且電磁學的『馬克士威方程式』取消了『庫倫作用力』。這也就是許多物理學家很在意『量子糾纏』的原因!俗語說『好事不出門, 壞事傳千里』是否是違背了『局部原理』的呢??
蘇格蘭的哲學家大衛‧休謨 David Hume 經驗論大師,一位徹底的懷疑主義者,反對『因果原理』Causality,認為因果不過是一種『心理感覺』。好比奧地利‧捷克物理學家恩斯特‧馬赫 Ernst Mach 在《Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Historisch-kritisch dargestellt》一書中講根本不需要『萬有引力』 之『名』與『因』,直接說任何具有質量的兩物間,會有滿足
方程組的就好了;他進一步講牛頓所說的『力』根本是『贅語』,那不過只是物質間的一種『交互作用』interaction 罷了!當真是『緣起性空。萬法歸一,一歸於宗。』的嗎??
十八世紀時,法國的物理學數學家杜哈梅 Jean-Marie Duhamel 在解決『偏微分熱傳導方程式』時所發現的『求解辦法』,求解過程使用著物理上『因果原理』,今天稱之為『杜哈梅原理』是一種求解『非齊次線性常微分方程式』的方法。就讓我們藉此方法,換個方式深化理解『波傳播』的現象的『物理解釋』。
首先引用《【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《三》》一文中的『彈簧鏈模型』
假使位於 處質點除了受到了 之力,還遭受到外力 ,因此
它可以用整個物理系統的常量 將上式改寫為
這個系統的波動方程式為
此處波速 , 是每單位線段質量的所受之力,因次是『加速度』。如果說這個彈簧鏈模型是『自然現象』的『適當』物理模型,那麼無論這根『弦』現在是在什麼樣的『物理狀態』,只要我們知道它的『初始狀態』── 位移和速度 ──
,這個方程式都該能『求解』。更廣義的講它也該能從任何 時刻的『物理狀態』
來求解。假使設想此系統從 時刻『演化』到 時刻,這時系統的『外力』 的『貢獻』就必須在求解裡『被加上』 ,由於這個外力的『作用』就是將此弦的速度改變了 ,因此這『等同於』求解在 時刻『不受外力』波動方程式
,有一個如給定的『新始狀態』
, 這個方程式的解就是,系統所受的外力 ,在 至 『時距』中的『貢獻值』
,從『疊加原理』可以知道原先的『初始狀態』方程式的解是
,也就是說它是系統『外力』 從『初始時刻』 到『當下時刻』 的『總作用量』,疊加上『假使沒有外力』作用情況下,系統『固有』的『傳播作用』 在 的值,也 就是『達朗貝爾公式解』。至此我們也就可以用物理來解釋為什麼『波源』的『振動』和『波傳播』之現象間有著『難分難解』的關係。
科學技術的內容已經愈來愈『廣博且複雜』,那要如何『掌握』的呢?也許仔細思考『基本現象』,深入了解『基礎原理』,善用多種『學習工具』,培養『想像力』使之飛揚,終至於能舉一反三,又可聞一知十,其要點總在於『一以貫之』。