【Sonic π】電聲學補充《三》下

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一八八二年海因里希‧赫茲解決了兩個曲面彈性體的接觸問題,他所使用之典型的解決方法為現代『接觸力學』奠定了基礎。赫茲雖以電磁學的貢獻聞名,在一八八六年到一八八九年間,發表了兩篇『接觸力學』領域的論文,基本上概述了當兩個線對稱的物體接觸並負重時會如何表現,且從古典『彈性理論』和『連續力學』得到了結論。自此而後,多數研究接觸之基本性質的論文都引用此兩篇文章裡的重要概念。又因法國數學家 Joseph Valentin Boussinesq 發表了關於赫茲論文的研究之重大發現,更確立了他的成果在接觸力學裡屹立不搖的重要性。雖然今天看來,赫茲的理論中有個重大的疏漏便是忽略了兩個固體之間的『附著力』,由於當『固體』具有『高彈性』時,這個因素非常的重要。就算當年赫茲早知道它的重要性,『忽略不計』或許還是必然的。這是為什麼的呢?這是因為當時根本沒有『檢測』附著力的技術。試想赫茲為了發展他的理論,他首先得建立的是『觀察基礎』,要如何『測量』這麼小的『變形量』的呢?赫茲設想以『牛頓環』作為量測設備,於是進行了將玻璃球體放在鏡片上面的接觸實驗,並由此『實驗』的結果,才提出了他所認為的『合理假設』的啊!

舉例而言,一個半徑為 R 的球體在一個彈性平面上,假使要壓出一個深度為 d 的凹痕,所產生的接觸區域的半徑為 a=\sqrt{Rd} ,那麼所需的作用力 F

F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}

,式中

\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}

E_1,E_2 是這兩個接觸體的彈性模量,\nu_1,\nu_2 是它們的泊松比。

直到過了百年後,英國工程師 Kenneth L. Johnson 詹森、肯德爾和羅伯茨才找到一種近似之方法解決了『附著接觸』的問題。

想體會玩一玩『彈力球』bouncy ball 的嗎?

就讓我們再回到《【Sonic π】電聲學補充《三》上》一文中所談的『德汝德模型』,

\frac{d  \langle \vec{p}(t) \rangle}{dt} = - \frac{\langle \vec{p}(t) \rangle}{\tau} + \vec{F}(t)

假使這個『導體』受到『時變電場E(t) = \Re(E_0 e^{i\omega t}) 的驅動,使用『相量』分析法,導體將會產生 J(t) = \Re(\sigma(\omega) E_0 e^{i\omega t}) 的『穩態』響應,此處 \sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 + i\omega\tau}= \frac{\sigma_0}{1 + \omega^2\tau^2}- i\omega\tau\frac{\sigma_0}{1 + \omega^2\tau^2},而 \sigma_0 = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) 是『直流電』的『電導率』。如果仔細考察 \sigma(\omega) 的『虛數』部份 - i\omega\tau\frac{\sigma_0}{1 + \omega^2\tau^2},這個『電流密度』之『相位角』的『落後』,說明了當『電場』發生變化時,『電子』大約需要 \tau 的時距加速才能產生響應。通常 \tau \approx {10}^{-14} - {10}^{-15} 秒非常的小,一般而言『交流電路』上可以看成 \omega \tau \approx 0。然而當 \omega \tau >> 1 時,- i\omega\tau\frac{\sigma_0}{1 + \omega^2\tau^2} \rightarrow \frac{\sigma_0}{i  \omega \tau},從馬克思威的電磁方程組來看,這已經是『電磁波』的傳導了,在導體中發生交替的『電場』與『磁場』變化。如此我們才可以說『歐姆定律』在『交流電』下依然『成立』。

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一六七六年法國學者『愛德姆‧馬略特』Edme Mariotte 提出了『牛頓擺』。之後『惠更斯』用它來研究『碰撞』,並於一七零三年出版了『De Motu Corporum ex Percussione (On the Motion of Bodies by Collision』一書,探討了『動量傳輸』現象。

左圖中,當我們拉開『最右側』的球時,由於『重力』作用它將『擺回』,並且碰撞緊密排列著的另外四個球,此時只有『最左邊』的球將被『彈出』,然後『最左邊』的球『擺回』,再『彈出』了『最右邊』的球,如此反覆繼續,振幅因能量損耗而越來越小,最終停止下來。同時拉開多個球的現象,也是一樣的『右幾左幾,左幾右幾』。

這個『動量傳輸』的『機制』就是『導體』中的『電子』是如何『傳導電流』的喔!!

也就是說『電磁場』以將近『光速』在『導體』中傳播,巨量密集的『自由電子』受驅動處處產生『動量傳輸』,因此即使是那麼小的『漂移速度』,『導體』不但能『負載』很大的『電流』,而且能幾乎各地『立即響應』,大自然果真妙哉!妙哉!!。