λ 運算︰概念導引《四》

新石器時代仰韶文化中期，一個六千五百年前『濮陽西水坡』的墓穴，裡頭有一幅用『蚌殼』堆出的『龍虎圖』，刻意擺放的骸骨方位，到底在說著些什麼呢？中國的天文考古學家馮時先生認為︰

文本引自鄭杭生與胡翼鵬先生所寫的論文《天道左旋，天圆地方：社會運行的溯源和依據》
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對這組蚌殼龍虎圖案解說最深入的研究者是天文考古學家馮時。馮時認為，解釋這幅蚌塑龍虎圖案的關鍵是墓主人脚下、正北面的那個蚌塑梯形與人體脛骨组成的圖案：這是一個北斗的造型，蚌塑梯形表示斗魁，東側横置的兩根脛骨表示斗杓，所以這是一個構造十分完整的二象北斗天象圖。

蚌塑梯形與脛骨構成的北斗圖象，不儘是從形狀上認證，更主要的是從表示斗杓的兩根人體脛骨去尋找線索。古代計算時間的一種方法，是通過對人體影子長短變化的測量，所以最初的測影工具是模仿人體来設計的，這就是“表”。正是因為人體、表與時間具有這種特殊關係，所以古人把計量時間的表叫作“髀”，而“髀”的本義是人體的腿骨，從大量的史料文獻中可以找到證據，古代測量日影的工具“表”就是由人骨轉變而來，所以人骨在作為一個生物體的同時，在古代還曾充當過測定日影的工具。濮陽西水坡４５號墓中的北斗圖，把腿骨、表和時間這三個方面聯繫起来，體現了古人通過立表測影和觀測北斗來測定時間這兩種方法的結合。在這個蚌殼梯形與脛骨的構圖中，脛骨的意義就是表示測定時間的工具。而北斗星也是古代中國人觀望天象，以此作為决定時間的標準星象。所以以脛骨作為這個構圖的長柄，結合整個構圖，可以認定蚌殼梯形與脛骨構成的圖案就是北斗星。確定了北斗星，再聯繫整個圖象的布局和造型，那麼這副蚌殼擺塑的龍和虎就只能作為星象來解釋，這樣本來孤立的龍虎圖由于北斗的存在而被自然地聯繫成了整體，成為天上的星宿和星象，即四象中的蒼龍和白虎。而那個制式奇特的墓穴，其形狀實際呈現了最原始的蓋天圖式，下半部的方形是大地，上半部的圓形是天穹，實則蕴藏著最原始的“天圓地方”觀念。

這個只有蚌殼作為随葬物品的墓穴中，竟然隱藏著“天”的秘密，陪葬墓主人的居然是整個天上的星斗。而那個北斗星的斗魁用貝殼，表明斗魁在天、在上；斗柄用人的腿骨，表明斗柄指地、在下。在天、在上，為神、為鬼；在地、在下，為巫、為人。它實際反映著古人頂天立地的幻想，所體現的是蒼天與大地的配合或聯繫，是神、鬼、人的相互交往。而且 6500 年前的古人對天象有如此精細的認識，說明他們的生活時時刻刻離不開對天象的觀察，不僅僅是觀象授時的實用層面上的應用，而如此虔誠的模擬，更說明他們的思想觀念和行為活動都受著“天”的無形制約。
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在《馬太福音 25:29；》一文中，我們談到了『北極星』的不動與『太陽』之視運動，遠古之人就從觀察實踐中得出了『天圓地方』的『理念』，以及『天左旋，地右動』的『道理』。人們因著『觀測』天地事物，而能建立『理論』；追究『概念』的『緣由』以及『理則』之『依據』，所以創發『哲學』。因此在生活學習的道路上，其實是『事無古今，理無中外』，彼此『同異之間』的『匯通處』往往就是『基元』的『觀念』；『基元觀念』的不同『詮釋』成為相異的『學說體系』。事實上『字串改寫系統』、『圖靈機』與『 λ 運算』，說著『□□』的不同『側寫』，彼此之間可以用『○○』來對應『轉譯』，人們或說『同』或講『異』的各種『詮釋』就祇在其人的了！！

假使說給定了一個『 λ表達式』 $(\lambda x. ((\lambda y. (x \ y)) \ \Box) \ \bigcirc)$ ，有人『第一步』這樣作『 $\beta$ 化約』︰

$((\lambda y. ( \bigcirc \ y)) \ \Box )$

，也有人『第一步』這樣作『 $\beta$ 化約』︰

$(\lambda x. ( (x \ \Box ) \ \bigcirc)$

，這樣不同的『步驟選擇』是否會產生『不同結果』的呢？如果說再次繼續進行『 $\beta$ 化約』，兩者都會得到︰

$(\bigcirc \ \Box )$

，於是我們就可以歸結的說『 $\beta$ 化約』不管是用著怎麽樣的『步驟次序』，都一定能夠得到『相同結果』的嗎？？

為了考察不同次序步驟的『化約策略』，首先讓我們定義『單步 $\beta$ 化約』︰

$A \equiv_{\beta^1} B$

是指表達式 $B$ 是經由表達式 $A$ 中的某一函式應用子表達式 $C =_{df} ((\lambda x. M) N)$ 『 $\beta$ 化約』而得來。假使『約定』零步 $\beta$ 化約是說『 $A \equiv_{\beta^0} A$ 』，這樣我們就可以說『單步』或『多次單步』之『單步 $\beta$ 化約』的『化約封閉性』︰

$U \equiv_{\beta^*} V$

，是講存在一個『單步 $\beta$ 化約』的『序列』

$U =_{df} S_1, S_2, S_3, \cdots, S_k, S_{k+1}, \cdots, S_n =_{df} V, \ S_k \equiv_{\beta^1} S_{k+1}, k=1\cdots n$

。某一表達式 $U$ 我們稱它是『 $\beta$ 可化約』 $\beta$ -redex 是指這個表達式還有『未化約』的子應用表達式 $((\lambda x. M) N)$ 。如果經過『有限的』化約序列，最終抵達一個『沒有未化約』的表達式 $V$ ，也就是說 $V$ 中沒有 $\beta$ -redex，這時我們將 $V$ 稱之為『 $\beta$ 正規元型』normal form。於是我們就可以問︰

各種不同的『化約序列』如果存在『 $\beta$ 正規元型』，那它們是相同的嗎？

【Church-Rosser 定理】說

如果 $P \equiv_{\beta^*} Q$ 而且 $P \equiv_{\beta^*} R$ ；那麼就會存在一個 $S$ ，使得 $Q \equiv_{\beta^*} S$ 以及 $R \equiv_{\beta^*} S$ 。

所以可以講不同的『化約序列』之『 $\beta$ 正規元型』，除了其內函式中的『受約束變元』之『虛名』不同外 ── 可以作『 $\alpha$ 變換』使之一樣 ──，都是『相同的』。這是一個非常重要的歸結，設想萬一它不是這樣，那所謂的『計算』不就成『笑話』了嗎！然而需要小心的是『 $\beta$ 化約』是『單行道』，也就是說 $A \equiv_{\beta} B$ 成立，並不代表 $B \equiv_{\beta} A$ 正確。比方講 $((\lambda x. x) a) \equiv_{\beta} a$ ，從結果變元 $a$ 又要怎麼得回原來函式應用的呢？

那麼『 $\beta$ 化約策略』Reduction Strategy 又是什麼呢？它是一個『函式』 $RS$ ，可以定義如下︰

一、『定義域』與『對應域』是『所有的 λ 表達式』構成的集合

二、如果 $e$ 是一個『 $\beta$ 正規元型』， $RS(e) = e$

三、假使 $m$ 不是『 $\beta$ 正規元型』，化約策略會依據特定方式選擇 $m$ 中的某一『優先』 $\beta$ -redex 子表達項 $t$ ， $RS(m) = t$

這樣看來 $RS$ 函式選擇了特定的『步驟次序』── 策略 ── 來作『單步 $\beta$ 化約』，這也是『程式』之『最佳化』optimize 的源起。然而不是每種『化約策略』都能夠抵達存在的『 $\beta$ 正規元型』。舉例說兩種簡單的『左』和『右』化約策略，它總是優先選擇表達式中的『最左』與『最右』 $\beta$ -redex 子表達項。