分類彙整: 樹莓派之教育

勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧數據分析‧八下

2015-10-17 懸鉤子

假使我們再次回到

《勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧溼度》文本中所提之『溫度平均』議題︰

Temperature

The Sense HAT features a number of sensors, including a temperature sensor.

The image above shows a clinical thermometer. You may have been asked to place one in your mouth when you’ve been ill. Notice that the numbers start at 35, so it’s only used for measuring human body temperature. The Sense HAT temperature sensors can measure temperatures from as low as -40 degrees Celsius up to +120 degrees Celsius though, so they are much more versatile than a clinical thermometer. The Sense HAT has two temperature sensors. One is built into the humidity sensor and the other is built into the pressure sensor. You can choose which one to use, or you could use both and average the result.

───

『溫度』文本，所謂『平均』的說法是否『合適』的呢？這又該用什麼『原則』來判斷的耶？？

【用什麼度量溫度？】

pi@raspberrypi ~  0 - 65^{\circ}  C \  \pm 2^{\circ} C 0 - 60^{\circ}  C \  \pm 1^{\circ} C \Box = \alpha \cdot \bigcirc + \beta\sigma_{\Box} = \alpha \cdot \sigma_{\bigcirc} python3
Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11) 
[GCC 4.9.1] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sense_hat import SenseHat
>>> 感測 = SenseHat()
>>> 溫度 = 感測.get_temperature()
>>> 壓力 = 感測.get_pressure()
>>> 溼度 = 感測.get_humidity()

>>> 溫度 = round(溫度, 1)
>>> 壓力 = round(壓力, 1)
>>> 溼度 = round(溼度, 1)

>>> print(溫度, 壓力, 溼度) 
27.9 1017.3 67.5
>>>

，恐怕仍舊是不符合『有效數字』之科學記數法者也。

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勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧數據分析‧八上

2015-10-16 懸鉤子

當我們量測一個『物理量』之時，為什麼需要知道『測量方法』的呢？事實上，如果能夠建立『模型』，還可以現象『模擬』更好！因為如此就先知道『待測量』與『理論值』之間的關係，如是也曉得並分析了『精準度』之範圍耶！！所以必須明白『感測器原理』乎？？

【壓力量測】

【溼度量測】

因而得以『解讀』感測器之『數據表』 data sheet ︰

【壓力感測器數據表】

【校正】

【濾波‧補償】

【溼度感測器數據表】

【校正】

【線性化處理】

嫻熟『科學記數法』之『應用實務』的了？？！！

Scientific notation

Normalized notation

Any given integer can be written in the form m×10ⁿ in many ways: for example, 350 can be written as 3.5×10² or 35×10¹ or 350×10⁰.

In normalized scientific notation, the exponent n is chosen so that the absolute value of m remains at least one but less than ten (1 ≤ |m| < 10). Thus 350 is written as 3.5×10². This form allows easy comparison of numbers, as the exponent n gives the number’s order of magnitude. In normalized notation, the exponent n is negative for a number with absolute value between 0 and 1 (e.g. 0.5 is written as 5×10⁻¹). The 10 and exponent are often omitted when the exponent is 0.

Normalized scientific form is the typical form of expression of large numbers in many fields, unless an unnormalized form, such as engineering notation, is desired. Normalized scientific notation is often called exponential notation—although the latter term is more general and also applies when m is not restricted to the range 1 to 10 (as in engineering notation for instance) and to bases other than 10 (as in 3.15× 2²⁰).

Engineering notation

Engineering notation (often named “ENG” display mode on scientific calculators) differs from normalized scientific notation in that the exponent n is restricted to multiples of 3. Consequently, the absolute value of m is in the range 1 ≤ |m| < 1000, rather than 1 ≤ |m| < 10. Though similar in concept, engineering notation is rarely called scientific notation. Engineering notation allows the numbers to explicitly match their corresponding SI prefixes, which facilitates reading and oral communication. For example, 12.5×10⁻⁹ m can be read as “twelve-point-five nanometers” and written as 12.5 nm, while its scientific notation equivalent 1.25×10⁻⁸ m would likely be read out as “one-point-two-five times ten-to-the-negative-eight meters”.

Significant figures

A significant figure is a digit in a number that adds to its precision. This includes all nonzero numbers, zeroes between significant digits, and zeroes indicated to be significant. Leading and trailing zeroes are not significant because they exist only to show the scale of the number. Therefore, 1,230,400 usually has five significant figures: 1, 2, 3, 0, and 4; the final two zeroes serve only as placeholders and add no precision to the original number.

When a number is converted into normalized scientific notation, it is scaled down to a number between 1 and 10. All of the significant digits remain, but the place holding zeroes are no longer required. Thus 1,230,400 would become 1.2304 × 10⁶. However, there is also the possibility that the number may be known to six or more significant figures, in which case the number would be shown as (for instance) 1.23040 × 10⁶. Thus, an additional advantage of scientific notation is that the number of significant figures is clearer.

Estimated final digit(s)

It is customary in scientific measurements to record all the definitely known digits from the measurements, and to estimate at least one additional digit if there is any information at all available to enable the observer to make an estimate. The resulting number contains more information than it would without that extra digit(s), and it (or they) may be considered a significant digit because it conveys some information leading to greater precision in measurements and in aggregations of measurements (adding them or multiplying them together).

Additional information about precision can be conveyed through additional notations. It is often useful to know how exact the final digit(s) are. For instance, the accepted value of the unit of elementary charge can properly be expressed as 1.602176487(40)×10⁻¹⁹ C,^[1] which is shorthand for (1.602176487±0.000000040)×10⁻¹⁹ C

………

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勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧數據分析‧七

2015-10-15 懸鉤子

為什麼用『區間不等式』表達的『誤差 = 量測值 – 真值』

$X_{min} \leq X_{true} \leq X_{max}$

會和『 robust 』健壯一詞扯上關係呢？需知許多『物理現象』可能存在『臨界點』，那時『量測值』的微小誤差，對『臨界現象』之『真值』或『理論值』來講，可就結果大不同的了！俗話說︰壓垮駱駝的最後一根稻草。並非這根草有什麼本事，只恰好是那駱駝再不可承受之『輕』的吧！！也許一段有關『可靠性』文本足以回答的耶？？

宇宙是否有『壽命』？會走上成住壞空的道路？目前的科學尚在爭論是『冷死』、『熱死』或是『漲縮間振盪』？？祇是就『可信』與『不可信』而言，這世間果真有一個『試金石』？果有之，那這個『試金石』可信嗎？人要是能知當是自然能知，要是乾坤未賦于人可知之理，人又將怎知？只不過對於科學上所有『不論』之事，或有人就『存而不論』或有人能『自了自解』，就任之於『奧秘』的『不可說』之中吧！！

在現今的科學與工程上倒是有一個『可靠信』的理論，有一條稱作『浴盆曲線』的圖。說道這條曲線的來源之一，頗令人感傷，它來自對於『新生兒』的『死亡率』之觀察，『出生』的『前三個月』和『後一個月』是『存亡』的關鍵期，絕大多數的『早夭』都發生在這之前，然後進入『常態』階段。工廠生產『□□』為什麼需要『熱機』測試 Burn In Test，就是因是之故。另一源自研究東西的『老化』磨耗，論及『正常』或『異常』使用狀況，反映出不同的『故障率』。結合這兩條曲線就得到所說的那條浴盆曲線了。

圖示於左。

現在的人『用眼』『用耳』過度；飲食的『口味』又太重，或許該想想這樣做，難道就真的是沒『後果』的嗎？也許老子《道德經》中的一段話，頗值得今人來思考︰
第十二章

五色令人目盲；五音令人耳聾；五味令人口爽；馳騁畋ㄊㄧㄢˊ獵，令人心發狂；難得之貨，令人行妨。是以聖人為腹不為目，故去彼取此。

一般物理學中只講『線性系統』，是因為它的數學比較簡單，用之於大多數事物又能『相當符合』的緣故。那什麼是線性系統呢？它是說如果『甲因』產生『甲果』，『乙因』產生『乙果』；那麼『甲乙和因』就產生『甲乙果之和』。然而自然之大，當然不是線性可以『窮盡』的。英國的 Christopher Zeeman 爵士一生致力於宣說『非線性』現象，宣講『巨變理論』Catastrophe Theory。他還為此特別建造了一個『突變機』，以方便學生理解『巨變』是如何『發生』的。美國的 Drexel 大學有一個塞曼突變機的 Flash 演示網頁，有興趣的讀者可以到那裡去玩一玩。

這個『突然變化』的理論，正是理解『橋樑』為何會『斷裂』，又怎是在『此時』的科學說明。常常人們有一種『天真』的想法，以為人事物『昨天』如此，『今天』也如此；『明天』『必然』如此。但事實上，明天只能是『或然』如此的吧！！同時這個理論也補足講解了『老化』曲線的『死亡點』將『在那裡』等著結束這條曲線，終將不可能一直持續磨耗，定然會有一個壽限！！

─── 引自《目盲與耳聾》

雖說現今微機電感測器已經可以量測許多『物理量』︰

Table 8.4 List of mechanical measurands. Adapted from Gardner (1994)

即使再加上已知的各種『換能器』︰

『換能器』 Transducer 是轉換不同『能量形式』的『裝置』，這些能量形式包括了『電能』、『機械能』、『電磁能』、『光能』、『化學能』、『聲能』和『熱能』等等，或許很快將擴及『生化能』與『生物能』種種。雖然現今這個『術語』一般使用在『感測器』 Sensor 上，常用於『測量儀錶』的領域中。從事實上來講『換能器』的『概念』來自於『自然現象』裡，無所不在的各式各樣的『能量交換形式』。就像人類的『五官』以及各類生物的『感覺器官』都需要與『大自然』環境中的『聲、光、臭、味、溫度、壓力…』打交道，才能夠『探得』環境中的『資訊』維持『物種延續』一樣。也可以說『生物界』本身就是換能器之『自然設計』的『大教室』，有人把仿效『自然生物』設計的『學問』稱之為『仿生學』，果真如老子所言︰人法地，地法天，天法道，道法自然的啊！！

在那個還不了解『電是什麼』的時代，當然也不會有『量測電』的『儀器』，更不會有穩定供電的『電源』存在，於是即使如『卡文迪什』之『聰慧』，或許也只可能用『自然之身』去『感測』那『電容器』放電之『衝擊』大小來『揣度』物理上『電荷量』度量的『定量』基準，因是之故縱使他已失去了『科學實驗』的『基本要求』── 人人可重覆之驗證性與精準性 ──，然而即使想要不如此去『度量』，他又能夠如何『量測』的呢？？所以也就可以說『伏打電堆』的發明對『電學』的重要性，這或許也正是『電壓』的『單位』要叫做『伏特』 Volt 的原因。

─── 引自《【Sonic π】電聲學補充《一》》

還是有許多的『物理量』依舊無法直接量測。因此『誤差傳播』之計算仍然是少不了。由於《實驗數據的處理與分析》文本已經言之甚詳︰

誤差傳遞：

經常一個物理量是經由測量數個物理量，再藉由關係式計算而得出。

例如：動量是由測量值質量與速度相乘而得（速度又由位移與時間測量值得出）。

當測量時，質量、位移與時間的個別誤差將影響最後結果的誤差。

假設 X 代表某一個物理量，由

等測量值所決定。

即

而以分別代表等分量樣本分佈的平均值。

則平均值

對於某一組測量樣本數據，可以表示為則

測量值的方差

其中

，，

而稱為協方差（corvarance）。

如果 u 和 v （測量物理量）彼此不相關，則協方差為零。

（通常測量時的個別參數間是互不相干的）

於是方差可以簡化為

……

此處也就不再贅述的了。

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勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧數據分析‧六

2015-10-14 懸鉤子

即使那個『德汝德模型』能夠解釋許多『物理現象』，而且如

《【Sonic π】電路學之補充《二》》文中所說，

假使我們思考這樣的一個『問題』︰

一個由大量粒子構成的『物理系統』，這些粒子具有某一個『物理過程』描述的『隨機變量』 $X_i, i=1 \cdots N$ ，那麼在 $t$ 時刻，這個『隨機變量』的『大數平均值』

$\frac{1}{N} \sum \limits_{i=1}^{N} P[X = X_i] \cdot X_i$

，是這個『物理系統』由大量粒子表現的『瞬時圖像』，也就是『統計力學』上所說的『系綜平均』ensemble average 值。再從一個『典型粒子』的『隨機運動』上講，這個『隨機變量』 $X_{this} (t_i), i = 1 \cdots N$ 會在不同時刻隨機的取值，因此就可以得到此一個『典型粒子』之『隨機變量』的『時間平均值』

$\frac{1}{N} \sum \limits_{i=1}^{N} P[t = t_i] \cdot X_{this}(t_i)$

，這說明了此一『典型粒子』在『物理系統』中的『歷時現象』，那麼此兩種平均值，它們的大小是一樣的嗎？？

在『德汝德模型』中我們已經知道 $P_{nc}(t) = e^{- t / \tau}$ 是一個『電子』於 $t$ 時距裡不發生碰撞的機率。這樣 $P_{nc}(t) - P_{nc}(t+dt)$ 的意思就是，在 $t$ 到 $t+dt$ 的時間點發生碰撞的機率。參考指數函數 $e$ 的『泰勒展開式』

$e^x = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

，如此

$P_{nc}(t) - P_{nc}(t+dt) = e^{- \frac {t}{ \tau}} - e^{- \frac {t+dt}{ \tau}} = e^{- \frac {t}{ \tau}} \left[ 1 - e^{- \frac {dt}{ \tau}} \right]$

$\approx e^{- \frac {t}{ \tau}} \cdot \frac{dt}{\tau}$

，這倒過來說明了為什麼在『德汝德模型』中，發生碰撞的機率是 $\frac{dt}{\tau}$ ，於是一個有 $N$ 個『自由電子』的導體，在 $t+dt$ 時刻可能有 $N \cdot e^{- \frac {t}{ \tau}} \cdot \frac{dt}{\tau}$ 個電子發生碰撞，碰撞『平均時距』的『系綜平均』是

$\frac{1}{N} \int_{0}^{\infty} t \cdot N \cdot e^{- \frac {t}{ \tau}} \cdot \frac{dt}{\tau} = \tau$

。比之於《【Sonic π】電路學之補充《一》》一文中之電子的『時間平均值』，果然這兩者相等。事實上一般物理系統要是處於統計力學所說的『平衡狀態』，這兩種『平均值』都會是『相等』的。當真是『考典範以歷史』與『察大眾於一時』都能得到相同結論的嗎？？

───

具有期望的兩種平均值『相等』特性。幽默的上帝卻先將之歸類為『費米-狄拉克統計』，所以在某些情況下，必須考慮『量子力學』之修正。為什麼會有多種『統計規律』的呢？這從『基本力學』裡根本找不到答案！就像那『光』服從的是『玻色–愛因斯坦統計』！預示著『不可區分性』── 無法『貼標籤』的 ── 之族系存在的耶！！於是《《隨》□ 起舞？！》就成了重要之事的乎？？

隨

《説文解字》：随，从也。从辵，省聲。

土之聚為丘，丘之大成山，果可因『聚大』就『隨』的嘛！

此『事』── 山頭主義 ── 易經有『之』，但看『該不該』『隨』的吧？？

《易經》第十七卦‧澤雷隨

隨：元亨利貞，無咎。

彖曰：隨，剛來而下柔，動而說，隨。大亨貞，無咎，而天下隨時，隨之時義大矣哉！

象曰：澤中有雷，隨﹔君子以嚮晦入宴息。

初九：官有渝，貞吉。出門交有功。
象曰：官有渝，從正吉也。出門交有功，不失也。

六二：系小子，失丈夫。
象曰：系小子，弗兼與也。

六三：系丈夫，失小子。隨有求得，利居貞。
象曰：系丈夫，志舍下也。

九四：隨有獲，貞凶。有孚在道，以明，何咎。
象曰：隨有獲，其義凶也。有孚在道，明功也。

九五：孚于嘉，吉。
象曰：孚于嘉，吉﹔位正中也。

上六：拘系之，乃從維之。王用亨于西山。
象曰：拘系之，上窮也。

，或許已落於『無可奈何』，方不得不說『凶』之情事罷了！！

『東方』曾如是說，『西方』後有研究︰

實驗者【E】命令『老師』【T】對『學生』【L】施予『電擊』，那位扮演『老師』的參與者被告知這樣做真的會使『學生』遭受痛苦的電擊，但實際上這個『學生』是此實驗之一名助手所扮演的。參與者『相信』『學生』每次回答錯誤都真的會遭受電擊，雖然並沒有真的實施。當與參與者進行隔離以後，這個助手會設置一套『錄音機』，這套『錄音機』正由『老師』的『電擊產生器』所控制，正確依據『電擊強度』播出不同的『預製錄音』。

米爾格倫實驗廣告傳單

根據維基百科︰

『米爾格倫實驗』 Milgram experiment ，又稱『權力服從研究』 Obedience to Authority Study 是一個針對社會心理學非常知名的科學實驗。實驗的概念最先開始於 1963 年由耶魯大學心理學家斯坦利‧米爾格倫在《變態心理學雜誌》 Journal of Abnormal and Social Psychology 裡所發表的 Behavioral Study of Obedience 一文，稍後也在他於 1974 年出版的 Obedience to Authority: An Experimental View 裡所討論。這個實驗的目的，是為了測試受測者，在面對權威者下達違背良心的命令時，人性所能發揮的拒絕力量到底有多少。

實驗開始於 1961 年 7 月，也就是納粹黨徒阿道夫‧艾希曼被抓回耶路撒冷審判並被判處死刑後的一年。米爾格倫設計了這個實驗，便是為了測試『艾希曼以及其他千百萬名參與了猶太人大屠殺的納粹追隨者，有沒有可能只是單純的服從了上級的命令呢？我們能稱呼他們為大屠殺的兇手嗎？』

一九七四年米爾格倫在《服從的危險》裡寫道：

在法律和哲學上有關服從的觀點是意義非常重大的，但他們很少談及人們在遇到實際情況時會採取怎樣的行動。我在耶魯大學設計了這個實驗，便是為了測試一個普通的市民，只因一位輔助實驗的科學家所下達的命令，而會願意在另一個人身上加諸多少的痛苦。當主導實驗的權威者命令參與者傷害另一個人，更加上參與者所聽到的痛苦尖叫聲，即使參與者受到如此強烈的道德不安，多數情況下權威者仍然得以繼續命令他。實驗顯示了成年人對於權力者有多麼大的服從意願，去做出幾乎任何尺度的行為，而我們必須儘快對這種現象進行研究和解釋。

引出了『令人震驚』之『整合分析』 meta-analysis 『結論』︰

Thomas Blass ──《電醒全世界的人》的作者 ── of the University of Maryland, Baltimore County performed a meta-analysis on the results of repeated performances of the experiment. He found that the percentage of participants who are prepared to inflict fatal voltages remains remarkably constant, 61–66 percent, regardless of time or country.

The participants who refused to administer the final shocks neither insisted that the experiment itself be terminated, nor left the room to check the health of the victim without requesting permission to leave, as per Milgram’s notes and recollections, when fellow psychologist Philip Zimbardo asked him about that point.

假使再添上『阿希從眾實驗』的『從眾效應』所說

實驗結果︰受試者中有百分之三十七之回答是依據了『大多數』的『錯誤回答』，大概有四分之三的人至少有過一次『從眾行為』，只有大約四分之一的人維持了『獨立自主』性。

『獨立自主』之不易正如《易經‧乾卦》所講︰

初九曰：潛龍勿用。何謂也？
子曰： 龍德而隱者也。不易乎世，不成乎名﹔遯世而無悶，不見是而無悶﹔樂則行之，憂則違之﹔確乎其不可拔，潛龍也。

『尊重事實』，有著『實驗查證』的『科學精神』，從古今歷史來看，實在並不容易！『待人處事』能夠『進取』『有所不為』，不落『鄉愿』『德之戝也』窠臼，誠屬難能可貴！！

───

所以『量測數據』雖然是在『大數法則』的光照之下，它的『數據分佈』尚須仔細探究，避免『先驗的』以為是『 □□ 分佈』的哩！結果恰與『 ○○ 統計』法則之發現，失之交臂的了！！？？

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勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧數據分析‧五

2015-10-13 懸鉤子

過去我們曾經談及『二項分佈』，並且推導它與『卜瓦松分佈』的關係︰

擲一個硬幣產生『正‧反』面兩種結果，這是很普通的現象，今天在『術語』上稱之為『伯努利試驗』Bernoulli trial，是說對一個只有兩種可能結果的單次『隨機試驗』，就一個『隨機變數』 $X$ 而言，

$Pr[X = 1] \ = \ p$
$Pr[X = 0] \ = \ 1-p = q$

，此處 ${Pr}_i[X_i = {\alpha}_i] = q_i$ 是說『隨機變數』 $X_i$ 有 $q_i$ 的機會取 ${\alpha}_i$ 的值。從『期望值』的角度講

$E(X) = \sum \limits_{i=1}^N {Pr}_i \cdot X_i } = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

，它的『標準差』 Standard Deviation 是

$\delta = \sqrt{\sum \limits_{i=1}^N {Pr}_i \cdot {\left( X_i - E(X) \right)}^2} } = \sqrt{ p (1-p)}$

。這為什麼要叫做『伯努利試驗』的呢？一七三零年代，荷蘭出生大部分時間居住在瑞士巴塞爾的丹尼爾‧伯努利 Daniel Bernoulli 之堂兄尼古拉一世‧伯努利 Nikolaus I. Bernoulli，在致法國數學家皮耶‧黑蒙‧德蒙馬特 Pierre Rémond de Montmort 的信件中，提出了一個問題：擲一枚硬幣，假使第一次擲出正面，你就賺了 $1$ 元。如果第一次出現反面，那就要再擲一次，若是第二次擲的是正面，你便賺了 $2$ 元。要是第二次擲出反面，那就得要擲第三次，假若第三次擲的是正面，你便賺 $2^2$ 元……如此類推，也就是說你可能擲一次遊戲就結束了，也許會反覆擲個沒完沒了。問題是，你最多肯付多少錢來玩這個遊戲的呢？假使從『期望值』來考量，這個遊戲的期望值是『無限大』

$E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots$
$=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$
$=\sum \limits_{k=1}^\infty {1 \over 2}=\infty$

，然而即使你願意付出『無限的金錢』去參與這個遊戲。不過，你卻可能只賺到 $1$ 元，或 $2$ 元，或 $4$ 元……等等，只怕不可能賺到無限的金錢。那你又為什麼肯付出巨額的金錢加入遊戲的呢？

其後丹尼爾‧白努利於一七三八年寫了一篇論文『風險度量的新理論之討論』考慮了一個對等的遊戲，不斷的擲同一枚硬幣，直到獲得正面為止，如果你擲了 $N$ 次才最終得到正面，你將獲得 $2^{N - 1}$ 元。即使參與玩這個遊戲的花費是『天價』，假使我們考慮到這個遊戲的『期望收益』是無窮大，我們就應該參加。這就是史稱的『聖彼得堡悖論』。白努利提出了一個理論來解釋這個悖論，他得到了一條原理，『財富越多人越滿足，然而隨著財富的累積，滿足程度的增加率卻不斷下降』。這或許可以說是古典的『邊際效用遞減』版本，就像『白手起家』和其後之『錦上添花』，對一個人的『效用』之『滿足』是完全不同的一樣。他這麼講︰

【邊際效用遞減原理】：一個人對於財富的佔有多多益善，就是說『效用函數』一階導數大於零；隨著財富的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，正因為『效用函數』二階導數小於零。

【最大效用原理】：在『風險』和『不確定』的條件下，一個人行為的『決策準則』是為了獲得最大『期望效用』值而不是最大『期望金額』值。

作者不知『理性』是否該『相信』期望值，或者『感性』果就會『追求』效用量，彷彿『天下』到底是『患寡』還是『患不均』的呢？？

事實上一個『發生』或『不發生』，『存在』也許『不存在』，是『成功』還是『失敗』的『可‧不可』 Yes or No 的『事件機率』能夠表達的『現象界』不勝枚舉，就像『德汝德模型』中『電子』之『碰撞』與『不碰撞』也是一樣的。假使我們將『伯努利試驗』推廣到 $n$ 次中有 $k$ 次的『成功率』，我們就得到了數學上所謂的『二項分佈』

$\Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} = {n\choose k}p^k(q)^{n-k}$

，此處 ${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是 $n$ 中取 $k$ 之『組合數』。假使 $n$ 很大，且機率 $p$ 很小，這個『二項分佈』可以『近似』如下︰

如果 $\lambda = n p$ 是有限大小的『適度量』，回顧指數函數 $e$ 的定義之一是

$\lim \limits_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda}$

依據二項分佈的定義：

$P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}$

如果假設 $p = \lambda/n$ ，當 $n$ 趨於無窮時， $P$ 的極限可以如此計算

$\lim \limits_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim \limits_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}$

$=\lim \limits_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}$

$=\lim \limits_{n\to\infty} \underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1}$

$= \lim \limits_{n\to\infty} \underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1} \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right) \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)} \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1}$

$= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)$

。這就是知名的『卜瓦松分佈』 Poisson distribution，是法國數學家西莫恩‧德尼‧卜瓦松 Siméon-Denis Poisson 在一八三七年『Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters』論文中最早先發表。『卜瓦松分佈』適合於描述單位時間內『隨機事件』發生之次數的『機率分佈』 ── 諸如某種服務在一定時間內所接到的服務請求人數，電話交換機需要轉接的來電次數、公汽站台裡的候車人數、一台機器會出現的故障率、自然災害發生的頻率、DNA 序列的變異數、放射性原子核的衰變係數等等 ──。它有兩個基本性質︰

一、滿足『卜瓦松分佈』的『隨機變數』，它的『期望值』與『變異數』 Variance ── 在此等於『標準差』的平方 ── 相等，都是『參數』 $\lambda$ ， $E[X] = Var[X] = \lambda$ 。

二、兩個獨立而且滿足『卜瓦松分佈』之『隨機變數』，它們的『和』依然滿足『卜瓦松分佈』。

─── 引自《【Sonic π】電路學之補充《一》》

事實上這個『二項分佈』也是通往『常態分佈』的大門︰

正態近似

如果 n 足夠大，那麼分布的偏度就比較小。在這種情況下，如果使用適當的連續性校正，那麼 B(n, p) 的一個很好的近似是常態分布

\mathcal{N}(np,\, np(1-p)).

n 越大（至少 20 ），近似越好，當 p 不接近 0 或 1 時更好。^[5]不同的經驗法則可以用來決定 n 是否足夠大，以及 p 是否距離 0 或 1 足夠遠：

一個規則是 x=np 和 n(1 − p) 都必須大於 5 。

n = 6、p = 0.5 時的二項分布以及正態近似

於是人們逐步知道了

中央極限定理

中央極限定理是機率論中的一組定理。中央極限定理說明，大量相互獨立的隨機變量，其均值的分布以常態分布為極限。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量之和近似服從常態分布的條件。

歷史

Tijms (2004, p.169) 寫到：

中央極限定理有著有趣的歷史。這個定理的第一版被法國數學家棣莫弗發現，他在 1733 年發表的卓越論文中使用常態分布去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分布。這個超越時代的成果險些被歷史遺忘，所幸著名法國數學家拉普拉斯在 1812 年發表的巨著 Théorie Analytique des Probabilités 中拯救了這個默默無名的理論。拉普拉斯擴展了棣莫弗的理論，指出二項分布可用常態分布逼近。但同棣莫弗一樣，拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。直到十九世紀末中央極限定理的重要性才被世人所知。 1901 年，俄國數學家里雅普諾夫用更普通的隨機變量定義中央極限定理並在數學上進行了精確的證明。如今，中央極限定理被認為是(非正式地)機率論中的首席定理。

本圖描繪了多次拋擲硬幣實驗中出現正面的平均比率，每次實驗均拋擲了大量硬幣。

，深入瞭解了

大數定律

在數學與統計學中，大數定律又稱大數法則、大數律，是描述相當多次數重複實驗的結果的定律。根據這個定律知道，樣本數量越多，則其平均就越趨近期望值。

大數定律很重要，因為它「保證」了一些隨機事件的均值的長期穩定性。人們發現，在重複試驗中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值；人們同時也發現，在對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定性。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下後哪一面朝上本來是偶然的，但當我們上拋硬幣的次數足夠多後，達到上萬次甚至幾十萬幾百萬次以後，我們就會發現，硬幣每一面向上的次數約占總次數的二分之一。偶然必然中包含著必然。

切比雪夫定理的一個特殊情況、辛欽定理和伯努利大數定律都概括了這一現象，都稱為大數定律。

以特定擲單個骰子的過程來展示大數定律。隨著投擲次數的增加，所有結果的均值趨於 3.5（骰子點數的期望值）。不同時候做的這個實驗會在投擲數量較小的時候（左部）會表現出不同的形狀，當數量變得很大（右部）的時候，它們將會非常相似。

從此為『量測數據』之『分析』與『處理』奠定了基礎。

在『統計推理』的輔翼下，那古典的『勞侖茲振子』模型，將使『燭龍』繼續光照大地的耶？？！！

今天人們用著『勞侖茲振子』模型結合『統計力學』，來解釋許多大自然『物理現象』的『成因』。根據美國太空總署二零零七年『瑟宓斯衛星任務』 Themis mission 傳回的新數據，科學家發現『太陽』釋放的『帶電粒子』像一道氣流飛向地球，碰到『兩極上空磁場』時又形成若干『扭曲磁場』，因此『帶電粒子』的能量在『瞬間釋放』，並以燦爛眩目的『北極光』形式『呈現』。然而地球上的極光主要只有『紅、綠』二色是因為在『熱成層』的『氮氣』和『氧氣』原子被『電子』碰撞後，各自散發出『紅色』或『綠色』的色光之故。

既然『電磁波』是『波』，一定有『折射』與『反射』的現象，然而從『微觀』的角度來看『巨觀』的『介質』，這可能是『完全不相同』的事情。好比說『理想氣體』方程式所講的『溫度』、『壓力』與『體積』等等的『巨觀量』，其實可以說是『微觀』中『各方向難以計數』之粒子作『彈性碰撞』的『解釋』一樣。因此從『物理理論』之『概念』來講是不是『折射率』也有一個『由來』的呢？舉例來說所謂『電磁波』的『折射定律』是否『邏輯上』能從馬克思威的『電磁理論』推導出來的呢？？或許這也正是『勞侖茲』想要解答的『問題』之一；也許他果然是『受限』於他的時代，但是他的『模型』卻超越了他的『時代』；現今來講人們可以用著『勞侖茲振子』以及『量子統計力學』不只『解釋』那個『折射率』的問題，它還可以說明『吸收率』與『色散性』種種的『成因』。

自然的『奧妙』常在於『最普通』的現象，就像大部分物質都會『熱脹冷縮』，然而『水』結冰時卻是『體積膨脹』，這使得它的『密度下降』，或可以浮之於水上，難到它不是也保護了『水下生物』得以『保持生機』以至於『過冬』的嗎？更不要講大氣最外的『臭氧層』 $O^3$ 到底怎麽回事的了？？

─── 引自《【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《三上》》

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