我們已經知道小海龜的狀態︰

$S = [\vec{r} = (xcor , ycor) , \vec{\theta}] = [\vec{r} , \vec{\theta}]$

以及用來改變狀態的指令︰

$\vec{l}$ ，平移，記作 ${\hat{T}}_{\vec{l}}$

$\theta$ ，旋轉，記作 ${\hat{R}}_{\theta}$

$\theta$ = ${360}^{\circ} -\theta$

$\vec{l}$ = $- \vec{l}$

或可援引物理學的

算符

在物理學裏，算符（operator），又稱算子，作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

表示法，簡明描述小海龜之狀態變化與在平面上形成的軌跡。

如果用 ${\hat{O}}_k$ 表示『平移』 ${\hat{T}}_{\vec{l}}$ 或『旋轉』 ${\hat{R}}_{\theta}$ 的算子，那麼小海龜之『行為程式』就可表為 $\hat{O} = {\hat{O}}_n , \cdots , {\hat{O}}_2, {\hat{O}}_1$ 作用於『初始態』 $S$ 。此處我們先看看一種有趣的情況︰