樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

L4K ︰ Python Turtle《○》

無窮可知不可極︰

一九六零年，德國數學家『亞伯拉罕‧魯濱遜』 Abraham Robinson 將『萊布尼茲』的微分直觀落實。 用嚴謹的方法來定義和運算實數的『無窮小』與『無限大』，這就是數學史上著名的『非標準微積分』Non-standard calculus ，可說是『非標準分析』non-standard analysis 之父。

就像『複數』 C 是『實數系』 R 的『擴張』一樣，他將『實數系』增入了『無窮小』 infinitesimals 元素 \delta x ，魯濱遜創造出『超實數』 hyperreals r^{*} = r + \delta x，形成了『超實數系』 R^{*}。那這個『無窮小』是什麼樣的『數』呢？對於『正無窮小』來說，任何給定的『正數』都比要它大，就『負無窮小』來講，它大於任何給定的『負數』。 『零』也就自然的被看成『實數系』裡的『無窮小』的了。假使我們說兩個超實數 a, b, \ a \neq b 是『無限的鄰近』 indefinitly close，記作 a \approx b 是指 b -a \approx 0 是個『無窮小』量。在這個觀點下，『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』。也就是說，對於任意給定的 m 來講， m \cdot \delta x 為『無窮小』量；而 \frac{1}{\delta x} 是『無限大』量。然而在『系統』與『自然』的『擴張』下，『超實數』的『算術』符合所有一般『代數法則』。

hyperreals

Standard_part_function_with_two_continua.svg

220px-Sentido_geometrico_del_diferencial_de_una_funcion

速度里程表

有人把『超實數』想像成『數原子』，一個環繞著『無窮小』數的『實數』。就像『複數』有『實部』 R_e 與『虛部』 I_m 取值『運算』一樣，『超實數』也有一個取值『運算』叫做『標準部份函數』Standard part function

st(r^{*}) = st(r + \delta x)
= st(r) + st(\delta x) = r + 0 = r

。 如此一個『函數』 f(x) 在 x_0 是『連續的』就可以表示成『如果 x \approx x_0, \ x \neq x_0，可以得到 f(x) \approx f(x_0)』。

假使 y = x^2，那麼 y 的『斜率』就可以這麼計算

\frac{dy}{dx} = st \left[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \right] = st \left[ \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \right]
= st \left[2 x + \Delta x \right] = 2 x

。 彷彿在用著可以調整『放大倍率』的『顯微鏡』逐步『觀入』 zoom in 一個『函數』，隨著『解析度』的提高，函數之『曲率』逐漸減小，越來越『逼近』一條『直線』── 某點的切線 ── 的啊！！

同樣的『積分』就像是『里程表』的『累計』一樣，可以用

\forall 0 < \delta x \approx 0, \ \int_{a}^{b} dx \approx f(a)\delta x + f(a + \delta x)\delta x + \cdots + f(b - \delta x)\delta x

來表示的呀！！

─── 摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中》

 

道理易解境難抵︰

220px-Fractaldimensionexample

220px-KochFlake.svg

Onetwosix

人們『直覺』上都知道，『線』是一維的、『面』是二維的以及『體』是三維的，也許同意『點』是零維的。但是要怎麽定義『維度』 呢？假使設想用一根有刻度的 R 尺，量一條線段，得到 l \eqcirc ── 單位刻度 ──，如果有另一根 R^' 的尺，它的單位刻度 \eqcirc^' 是R 尺的 \lambda 倍，也就是說 \eqcirc^{'} \ = \lambda \cdot \eqcirc，那用這R^' 之尺來量該線段將會得到 l \cdot \lambda^{-1} \eqcirc^'。同樣的如果 R 尺量一個正方形得到數值 l^2，那用R^' 之尺來量就會得到數值 l^2 \cdot \lambda^{-2}，這樣那R^{' }, R 兩尺的度量之數值比 N = \lambda^{-2}。
於是德國數學家費利克斯‧豪斯多夫 Felix Hausdorff 是這樣子定義『維度』D 的︰

-D =\lim\limits_{\lambda \to 0} \frac{log N} {log \lambda}

，使它也能適用於『分形』的『分維』。

在科赫雪花的建構過程中，從最初 n=0 的 △，到第 n 步時︰

總邊數︰ N_n = 3 \cdot 4^n
單一邊長︰ L_n = (\frac {1}{3})^n
總周長︰l_n = 3 \cdot (\frac {4}{3})^n
圍繞面積︰A_n = \frac {1}{5} (8 - 3 (\frac {4}{9})^n) \triangle

因此科赫雪花的分維是

-\lim\limits_{n \to \infty} \frac{log N_n} {log L_n} = \frac{log 4}{log 3} = 1.261859507\cdots

，它所圍繞的極限面積 A_{\infty} = \frac{8}{5} \triangle，那時的總周長 l_{\infty} = \infty。

─── 摘自《思想實驗！！》

 

與其撒鹽擬紛紛︰

KochSnowflakeDiff

MetatronKoch2

antisnowflake

Koch Antisnowflake-construction

在那遙遠的銀河裡，有一個科赫王國。那裡的初始之王是一位大智慧者，許下宏願建造永不退轉之國︰本國之土逐年增長，本國之人亦逐年增長，以至無量之無窮無有盡期。不知如此過了幾千千萬萬年，每代之王都謹尊聖諭，於冬至日祭、夏至日祀天上的『雪花之神』， 如是傳到了科赫國王。這個新王想知道聖諭它是真是假？欲明白雪花之神是有是無？於是招集舉國聰明之人有智之士商議調查之法。此舉震驚了全國，大部分的國民 都嚇壞了，說︰這是對神的大不敬；毀壞歷代立下的規矩；不尊重先王的傳統。科赫國王無奈之餘只能禪讓以息民怨，自己踏上了求解之路！他想我要怎麼才能知道 『國土逐年增長』是個事實的呢？於是他首先拜訪了精通『土地丈量』 的人，那丈量人告訴他︰我家無數代以來從事丈量，就我所知的確土地逐年增長。科赫問︰那能知道新增與舊有的差異嗎？丈量人答︰人人舊有的都沒有差異，新土 在之間發生。一番對談後科赫雖心中覺得這事奇怪，但是也無法再多知道些什麼，於是再度踏上旅程。一路上餐風露宿，心理奇怪著為何幼時認得的老人他家還沒到 呢？終於抵達了那稽古老人之住處。問訊之下，老人家身康體泰甚是健談。他聽那老人家抱怨道︰行走都不方便啦！子孫所居山頭相距一代比一代更遠，怕是再過數 年想見都見不著啦！！科赫心頭一震，詳細詢知了老人家的子孫何代幾時是相距多少路程，然後辭別進入山裡沉思不知所蹤。原來科赫自幼喜歡數學，但不知他自己 『身在』雪花中，能否發現『答案』就是『雪花』的呢？知道那個王國要是再經歷無窮世代後，也許會變成『行不得』之國？？

後來傳聞科赫國王花了數十年抵達『初始之王』的墓陵，進入墳中關掉了那台年復一年『擴張一步』的『國土製造圖靈機』，並且又再度稱王。這樣想來，或許科赫國王終究找到了『答案』；然而另一個『反科赫王國』大概情況不妙，也許最終凶多吉少，不知是否會有個睿智之王起身自救的嗎？？

─── 摘自《科赫傳說！！》

 

未若柳絮因風起☆★