【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中

『銜尾蛇』 Ouroboros οὐροβόρος 也被叫做『咬尾蛇』，是一個自古流傳至今的『符號』，形象為一條蛇正在吞食著自己的尾巴，結果呈現出一個『圓環』形狀，有時也表現成數字『8』的樣子，意指『自我吞食者』。這個符號一直都有著多種的『象徵』意義，一般以『無限大』與『循環』最為人們所熟知。此外，『銜尾蛇』也是宗教及神話裡的常見符號，在煉金術中更是重要的『徽記』。知名的心理學家『榮格』認為『銜尾蛇』其實是反映了人類的『心理原型』。

古羅馬時期，埃及的一個『諾斯替教的寶石』 Gnostic gem ，上面刻有『魔法文字』magic words，一隻『銜尾蛇』環繞在『魔法文字』與『聖甲蟲』scarab 之外。作者不知它在述說些什麼的呢？

有人講『銜尾蛇』和『西藏石刻』裡有名的『無盡之結』圖案一樣，都是代表著『生死循環』的概念，也可能是數學上『無限大』的符號『∞』的最初來源。

美國羅徹斯特大學 University of Rochester 的天文與物理教授 Douglas Cline 用『這個圖案』表示『物理統一性』the unity of physics 的『象徵』。除了象徵『無窮』以外，還『印證』了宇宙中『無始無終』的循環概念，是『極小的粒子』與『極大之宇宙』概念的交接。

根據現今物理學的觀念，物質可以分解成分子、原子與基本粒子等等構成單元，然而越是了解『微觀世界』的現象，卻反而越能解釋『巨觀宇宙』的運作規律。一九九三年荷蘭物理學家 Gerard ‘t Hooft 提出︰在一個以『普朗克長度』 $\ell_\text{P} =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \approx 1.616\;199 (97) \times 10^{-35} \mbox{ m}$ 為邊長的面積，大約只能夠存放『一位元』的資訊，在接近普朗克的尺度下，古典的『重力理論』必須要把『量子效應』考慮進去。今天尚未獲得證明的『全像原理』告訴我們：和任何表面相鄰的區域，可以擁有的資訊量都有一個最大值。也就是說，一個屋子可以容納的『資訊量』，並不是由這個屋子的『體積』來決定的，反而受限於這個屋子外牆的『面積』。

這樣說來大天使『加百利之號角』擁有『無限大』的『資訊量』的吧！！

牛頓之
Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

萊布尼茲之
$\frac{dy}{dx}$ 記號法

在『微積分』的發展史中，『費馬』聲稱他借用了『丟番圖』的成就，引入了『足量』概念，這等同於說『誤差』是『無窮小』。然而他未能體會兩者之間的密切關係。之後英國數學家『約翰‧沃利斯』 John Wallis 、『伊薩克‧巴羅』 Isaac Barrow 和『詹姆士‧格里高利』 Gregory of Tours 都有很大的貢獻。雖然『牛頓』的老師巴羅雖然知道『微分』與『積分』這兩者之間有『互逆』的關係，由於求『導數』還沒有一套有系統的計算方法，也許他不能認知此種關係的意義。更因為古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響，一般多認為只有『幾何論證』之方法才是『嚴謹的』和『真正的』數學，所謂的『代數』不過是個輔助的工具罷了。在笛卡兒以及費馬大力倡導以『代數』的方法研究『幾何問題』，這種態度才漸漸有了轉變。可是那時『代數方法』仍然未臻於成熟，而且『實數系統』遲遲未能夠建立，因此許多數學家仍然固守『幾何陣營』。牛頓雖然放棄了他老師的『純幾何』觀點，並且發展出了有效的『微分』方法，不過他始終未敢直接發表。牛頓他雖然利用了『微積分』的技巧，並由『萬有引力』以及『三大運動定律』作出發說明了他的『宇宙體系』，解決了『天體運動』、『流體旋轉』之曲面、『地球扁率』，與『擺線』上重物的運動等等問題。但是『牛頓』在一六八七年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把『微積分』的跡痕抹去，僅以古典的『幾何論證』方式作論述。或許他擔心時人的批評，明知道『這些方法』 ── 乘積法則、鏈式法則、高階導數、泰勒級數和解析方程式…… ── 卻因為『無窮小』在當時仍然飽受非議，故而保持沉默一言不語。

其後德國哲學家與數學家『哥特佛萊德‧威廉‧萊布尼茲』 Gottfried Wilhelm Leibniz ── 一位歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的『亞里士多德』 ── 創造了基於『無窮小』觀念的『微積分』學，雖然那時曾被『牛頓』指責為『抄襲』，然而『萊布尼茨』到今天都被認為是『獨立』發明微積分的另一人。他的『風格嚴密』又『注重形式』且研究『適切符號』，帶來了現今在『微積分』裡『表達式』常用的『記號法』。

由於『無窮小』量必為『非量』的『爭議不斷』，一八二零年時法國數學家奧古斯丁‧路易‧柯西 Augustin Louis Cauchy 提出了『（ε, δ）極限定義』，之後德國數學家卡爾‧特奧多爾‧威廉‧魏爾斯特拉斯 Karl Theodor Wilhelm Weierstraß ── 現代分析之父 ── 總結了『極限』 limit 的概念，終於迴避了『無窮小』的觀念。自此『微積分』就以『極限』作為基礎，而『無窮小』就成歷史雲煙的了！

何謂『連續』 continuity 函數的呢？『魏爾斯特拉斯』這麼說︰

『函數』 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 是『連續的』，是講假使對『任意』的 $\varepsilon > 0$ ，都『存在』一個 $\delta > 0$ 它能夠使所有在 $|x-x_0| < \delta$ 『論域』中的 $x$ 都得到 $\Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 的話，如此我們就說 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 是『連續的』！！

在《吃一節 TCPIP！！中》一文中我們談到了『拓撲學』 Topology 一詞源自希臘文『地點之研究』，始於歐拉柯尼斯堡的七橋問題。這門數學探討『連通性』 connectedness 、『連續性』 continuity 、以及『邊界』 boundary。它不用東西的『形狀』來作分類，而是分析在那個東西裡所有連通的點，各個連續的區域，和有哪些分別內外的邊界。假使從『拓撲學』的觀點來談『函數』的『連續性』，那麼 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 就是 $f(x_0)$ 的『鄰域』 neighborhood，而 $|x-x_0| < \delta$ 也就是 $x_0$ 的『鄰域』。所以函數上『一點』的連續性是說『這個點』的所有『指定鄰域』，都有一個『實數區間』── 鄰域的另一種說法 ── 與之『對應』，『此函數』將『此區間』映射到那個『指定鄰域』裡。

然而一個函數在『某個點』的『連續性』，並不能夠『確保』在『那個點』的『斜率存在』 ── 或說『可微分性』，比方說

$f(x) = \begin{cases}x & \mbox{if }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{if }x < 0\end{cases}$

，當 $x > 0$ 時，『斜率』是 $f^{'}(x) = \frac{df(x)}{dx} = 1$ ，在 $x < 0$ 時，『斜率』為 $0$ ，然而 $x = 0$ 時『斜率』不存在！這使得我們必須研究一個函數在『每個點』之『鄰域』情況，於是數學步入了『解析的』 Analytic 時代。所謂『解析的』一詞是指『這類函數』在 $x = x_0$ 的『鄰域』，可以用『泰勒級數』來作展開

$T(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

。於是一個『解析函數』在定義域的『每一點』上都是『無窮階可導』的。人們將『無窮階可導』的函數，又稱之為『光滑函數』 smooth function。然而『可導性』卻不同於『連續性』，因此又定義了『連續可導性』︰假使一個函數從『一階到 N 階』的導數都『存在』而且『連續』，我們稱之為 $C^{N}$ 類函數。舉例來說

$f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(\tfrac{1}{x})} & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0\end{cases}$

雖然『一階導數』存在但是在 $x = 0$ 時，並不『連續』，所以它只能屬於 $C^{0}$ 類，而不是屬於 $C^{1}$ 類。

雖然一個『光滑函數』就屬於 $C^{\infty}$ 類，但是它可以不是『解析函數』，比方說

$f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}$

是『光滑的』，然而在 $x = \pm 1$ 時無法用『泰勒級數』來作展開，因此不是『解析的』。

縱使人們覺得『連續』與『鄰近』以及『導數』和『光滑』彼此之間有聯繫，由於失去『直觀』的導引，『概念』卻又越來越『複雜』，因此『微積分』也就遠離了一般人的『理解』，彷彿鎖在『解析』與『極限』的『巴別塔』中！更不要說還有一些『很有用』卻是『很奇怪』的函數。舉例來說，『單位階躍』函數，又稱作『黑維塞階躍函數』 Heaviside step function ，可以定義如下

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

，在 $x = 0$ 時是『不連續』的，它可以『解析』為

$H(x)=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}$

，它的『微分』是 $\frac{dH(x)}{dx} = \delta(x)$ ，而且這個『狄拉克 $\delta(x)$ 函數』 Dirac Delta function 是這樣定義的

$\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

，滿足

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1$

。怕是想『解析』一下都令人頭大，『極限』和『微分』與『積分』能不能『交換次序』，它必須滿足『什麼條件』，假使再加上『無限級數』求和，

$\operatorname{III}_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T) = \frac{1}{T}\operatorname{III}\left(\frac{t}{T}\right)$

，果真是我的天啊的吧！！

$f(x) = \begin{cases}x & \mbox{if }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{if }x < 0\end{cases}$

$f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(\tfrac{1}{x})} & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0\end{cases}$

$f'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos(\tfrac{1}{x})} + 2x\sin(\tfrac{1}{x}) & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0.\end{cases}$

$f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}$

$f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

狄拉克 δ 函數
單位脈衝函數

$\delta_{a}(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} e^{- x^2 / a^2}$
$a \rightarrow 0$

一九六零年，德國數學家『亞伯拉罕‧魯濱遜』 Abraham Robinson 將『萊布尼茲』的微分直觀落實。用嚴謹的方法來定義和運算實數的『無窮小』與『無限大』，這就是數學史上著名的『非標準微積分』Non-standard calculus ，可說是『非標準分析』non-standard analysis 之父。

就像『複數』 $C$ 是『實數系』 $R$ 的『擴張』一樣，他將『實數系』增入了『無窮小』 infinitesimals 元素 $\delta x$ ，魯濱遜創造出『超實數』 hyperreals $r^{*} = r + \delta x$ ，形成了『超實數系』 $R^{*}$ 。那這個『無窮小』是什麼樣的『數』呢？對於『正無窮小』來說，任何給定的『正數』都比要它大，就『負無窮小』來講，它大於任何給定的『負數』。『零』也就自然的被看成『實數系』裡的『無窮小』的了。假使我們說兩個超實數 $a, b, \ a \neq b$ 是『無限的鄰近』 indefinitly close，記作 $a \approx b$ 是指 $b -a \approx 0$ 是個『無窮小』量。在這個觀點下，『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』。也就是說，對於任意給定的 $m$ 來講， $m \cdot \delta x$ 為『無窮小』量；而 $\frac{1}{\delta x}$ 是『無限大』量。然而在『系統』與『自然』的『擴張』下，『超實數』的『算術』符合所有一般『代數法則』。

有人把『超實數』想像成『數原子』，一個環繞著『無窮小』數的『實數』。就像『複數』有『實部』 $R_e$ 與『虛部』 $I_m$ 取值『運算』一樣，『超實數』也有一個取值『運算』叫做『標準部份函數』Standard part function

$st(r^{*}) = st(r + \delta x)$
$= st(r) + st(\delta x) = r + 0 = r$

。如此一個『函數』 $f(x)$ 在 $x_0$ 是『連續的』就可以表示成『如果 $x \approx x_0, \ x \neq x_0$ ，可以得到 $f(x) \approx f(x_0)$ 』。

假使 $y = x^2$ ，那麼 $y$ 的『斜率』就可以這麼計算

$\frac{dy}{dx} = st \left[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \right] = st \left[ \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \right]$
$= st \left[2 x + \Delta x \right] = 2 x$

。彷彿在用著可以調整『放大倍率』的『顯微鏡』逐步『觀入』 zoom in 一個『函數』，隨著『解析度』的提高，函數之『曲率』逐漸減小，越來越『逼近』一條『直線』── 某點的切線 ── 的啊！！

同樣的『積分』就像是『里程表』的『累計』一樣，可以用

$\forall 0 < \delta x \approx 0, \ \int_{a}^{b} dx \approx f(a)\delta x + f(a + \delta x)\delta x + \cdots + f(b - \delta x)\delta x$

來表示的呀！！

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