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【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下中‧中

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具體數學：計算機科學之基石

An ant starts to crawl along a taut rubber rope 1 km long at a speed of 1 cm per second (relative to the rubber it is crawling on). At the same time, the rope starts to stretch uniformly by 1 km per second, so that after 1 second it is 2 km long, after 2 seconds it is 3 km long, etc. Will the ant ever reach the end of the rope?

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小螞蟻

在『具體數學』這本書中提到了另一個『違反直覺』的例子 ──  橡膠繩上的螞蟻 ──，一隻螞蟻以每秒鐘一公分的速度，在一根長一公里拉緊了的橡膠繩上爬行【螞蟻的爬行速度相對橡膠繩】，就在螞蟻爬行的同時，橡膠繩也以每秒一公里的速度伸長，也就是說一秒後，它有兩公里長，兩秒後有三公里長等等。試問螞蟻果真到的了繩子之另一端的嗎？

假設 t 時刻時，螞蟻在 x(t), x_0 = x(0) 的『位置』，以 \alpha 的速度朝另一端爬行，同時橡膠繩用 v 的速度同向均勻伸長，因此橡膠繩上的某點 X 的伸長速度將是 \frac{X}{c + v t} v，此處 c 就是橡膠繩的『原長』，由於起點是『固定』不動的，因此繩上各點的速度與『端點的速度』 v = \frac{c + v t}{c + v t} v 成比例，於是對於一個靜止的觀察者而言，螞蟻的速度將是

\frac{dx(t)}{dt} = x'(t) = \alpha+\frac{x(t)}{c+vt} v

。如果我們設想要是橡膠繩並不與時伸展，那麼這隻螞蟻是一定到的了彼端，假使一個相對於繩子靜止的觀察者將看到什麼現象的呢？或許他將用 \Phi (t) = \frac{x(t)}{c + v t} 來描述這隻螞蟻的行進的吧！ 它從 t=0, \Phi(0) = 0 開始爬行，它將會在 t=T, \Phi(T)=1 時刻到達了另一端。由於

\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ {(c + v t)}^{-1} \cdot x(t) \right]
= {(c + v t)}^{-1} \cdot \frac{dx(t)}{dt} - {(c + v t)}^{-2} \cdot v x(t)
= {(c + v t)}^{-1} \cdot \left[ \alpha + {(c + v t)}^{-1} \cdot v x(t) \right] - {(c + v t)}^{-2} \cdot v x(t)
= \frac{\alpha}{c + v t}，因此我們就可以得到

\Phi(t)=\int{\frac{\alpha}{c+vt}\,dt}=\frac{\alpha}{v}\log(c+vt)+\kappa

此處 \kappa 積分常數。從 \Phi(0)=0，可以得到 \kappa=-\frac{\alpha}{v}\log{c}，所以 \Phi(t)=\frac{\alpha}{v}\log{\left(\frac{c+vt}{c}\right)}。再從 \Phi(T)=1，就得到了 T=\frac{c}{v}\left(e^{v/\alpha}-1\right)。

假使將 c = 1 km, v = 1 km/sec, \alpha = 1 cm/sec 代入後，求得 T=(e^{100,000}-1) \ \mathrm{s}\ \approx2.8\times10^{43,429}\,\mathrm{s}，這隻小螞蟻果真到的了彼端，雖然它得經過千千萬萬個三千大劫的吧！！

那麼為什麼 ︰某點 X 的伸長速度會是 \frac{X}{c + v t} v 的呢？假使考慮一根『有刻度』 p_i, i = 0 \cdots n 的尺，它的一端固定，另一端向外延伸，這樣每個『刻度點』也都相對的向外伸長 {\delta}_i ，於是『固定端』 {\delta}_0 =0，『第一個刻度』在 p_1 + {\delta}_1 的位置，『第二個刻度』在 p_2 + {\delta}_1+ {\delta}_2 的位置，這樣『第 k 個刻度』將在 p_k + \sum \limits_{j=1}^{j=k} {\delta}_j 的位置。假設『橡膠繩』的『彈性』是『均勻』的，這樣所有的 {\delta}_i = \delta x  都相等，因此 p_k + \sum \limits_{j=1}^{j=k} {\delta}_j = p_k + k \delta x，如此當『另一端』用『定速』 v 移動時，此時 n \delta x = v \delta t，於是『第 k 個刻度』就用 \frac{k}{n} v 的速度在移動的啊！

過去有人曾經想像過一種情況︰如果說宇宙中的一切，在夜間會突然的『變大』或者『縮小』，那麼我們能夠『發現』的嗎？假使從『量測』的觀點來看，如果度量用的『尺』 l_{\lambda} = \lambda l_0  隨著時間改變，『被度量事物』的『大小』 S_0 也『協同』的跟隨著變化 S(t) = \lambda \cdot S_0，這樣在那個『宇宙』 裡面 \frac{S(t)}{l_{\lambda} } = \frac{S_0}{l_0}，也就是講『測量』沒有辦法『知道』到底『有沒有』發生過這件事的啊！！然而這卻更進一步引發了『自然定律』到底是否會在『度量單位』的改變下，而有所不同的呢？？

之前在《亞里斯多德之輪！！》一文中，我們談到了『伽利略』的『無窮觀』。一六三八年，伽利略在『兩種新科學』 Two New Sciences 一書中，提出了『平方立方定律』。假使一個『物體』等比例放大 \lambda 倍，那麼它的『面積』將放大 {\lambda}^2 倍，而且它的『體積』將放大 {\lambda}^3 倍。這難到又有什麼奇怪的嗎？

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Two New Sciences

如果思考在大地上『重力』作用下『生物』之『承受力』的問題，當可以明白『壓力』是『單位面積』所負載的『重量』。如此將之『等比例放大』後，這個『壓力』 P = \frac{W}{A} \propto \frac{{\lambda}^3}{{\lambda}^2}，將正比於『放大倍率』 \lambda，所以說一棵樹，並不能夠一直向上生長，一隻螞蟻也很難變大數萬倍而不受影響的啊！如此講來天文學上所說的『宇宙膨漲』應該是有『現象』依據的吧！然而既然已經說是『宇宙』的了，它又該往『哪裡膨漲』的呢？？或許《科赫傳說！！》裡的『雪花維度』是一個『起始點』的吧！！

從數學的觀點來看，\Phi (t) = \frac{x(t)}{c + v t} 是一個所謂的『一階微分方程式』的『積分因子』，這可以讓我們求得『答案』，祇不過它的『意義』又是什麼的呢？就物理上來講，它的意思是說，假使將 \lambda (t) = {c + v t} 當作一根『單位尺』。雖然說我們看來在『那個宇宙』裡， 這個『尺度』隨著時 間變化，這也不過就是那裡『時時刻刻』的『測量值』的吧。如果說一隻小螞蟻自『開始』就永往『終點』行進，假使它不會『退轉』，那麼它到底能不能夠『抵達』終點的啊？設想一旦它於某個 T 時刻到達了『終點』，那一根尺的『終點』與這一隻小螞蟻之最後『位置』也就重合的了。所以就一個『慣性座標系』靜止的觀察者來講﹐這個發生的『事件』之『距離』也是『相同的』啊！然而就那個『繩上的觀察者』來講，這隻螞蟻不過就是走過了『一單位』的距離罷了！！