【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧下下‧上

$h(x) = \pi x - \frac{\pi}{2}$

$\tan{x}$

二分逼近法

$\left[ \begin{array}{cc} {[-4,-3]} & {[-2,2]}\\ {[-2,2]} & {[-4,-3]} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} {[-8,8]}\\ {[-8,8]} \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{cc} p_1 & p_2\\ p_2 + 1 & p_1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} u_1\\ u_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{p_1+6p_2}{5.0} \\ 2p_1-6 \end{array} \right]$
$p_1 \in [2,4], \ p_2 \in [-2,1]$

如果說任何一個『開區間』 $(a, b) \equiv_{df} \{x \in R, \ a < x < b \}$ ，無論 $| b - a|$ 再小，都可以『一一對應』整體實數，是否會讓人『驚訝』的呢？也就是說一個『開區間』與整體『實數』是一樣『等級』之『無限大』的啊！！舉個例說 $\tan{( \pi x - \frac{\pi}{2})}$ 將 $(0, 1)$ 的區間，一一對應到了整體實數。假使將整體『實數』表達成

$R = \left( \bigcup \limits_{0}^{\infty} [0, k] \right) \bigcup \left( \bigcup \limits_{0}^{\infty} [-k, 0] \right)$

，此處 $[a, b] \equiv_{df} \{x \in R, \ a \leq x \leq b \}$ 是一個包含著『端點』的『閉區間』。通常數學中有關『實數性質』的『分析』經常用著『開閉區間』來『論證』。從『自然數』是『可數的』無限大來看，『實數』可由可『列舉』 enumerate 的無窮多個『區間』之『聯集』構成。

假使 $p, q \ p < q$ 是『有理數』， $r = \frac{p + q}{2}$ 也是一個『有理數』，而且 $r \in (p, q)$ ，這是『有理數』的『可分性』，也就是說任『兩個不等』的『有理數』之間『存在』另一個『有理數』，雖然『有理數』能夠無限的『密集』，它也只不過是『可數的』無限大。然而這種『密集性』不僅僅可以用來『逼近』一個『實數』，更可以藉著『不等式』與『整數』的『離散性』 ── 相鄰兩個『整數』 $n, n+1$ 之間不存在另一個『整數』 ── 來論證種種『實數性質』，這也說明了『不等式』在『數學分析』裡的『重要性』。就像在『劉維爾數』 $0 < \left|x- \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}$ 是個『無理數』的證明裡

假使它不是一個『無理數』，那麼 $w = \frac{c}{d}, \ (c, d \in \mathbb{Z}, d > 0)$ 。要是取足夠大的 $n$ 使得 ${2^{n-1}} > d$ ，在 $\frac{c}{d} \ne \frac{p}{q}$ 時有
$\left| w - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{c}{d} - \frac{p}{q} \right|$
$= \left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}$ ，因此就與它的定義發生矛盾。

為什麼沒有提及『萬一』 $\frac{c}{d} = \frac{p}{q}$ 的情況的呢？因為此時 $|w - \frac{p}{q} = \frac{c}{d} - \frac{p}{q}| =0$ ，這就違背了『劉維爾數』 $|w - \frac{p}{q}| >0$ 的定義。又為什麼可以得到 $\left| \frac{cq-dp}{dq} \right| \ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1}q}$ 的呢？由於 $cq - dp$ 是『整數』，所以它的『差值』至少是個『一』之故。因此對於『不等式』而言，『等號』的『有無』有時是很不相同的，就像『開區間』與『閉區間』的性質也並不相同一樣。從觀察左圖就可以知道，『不等式』構成的『方程式』一般在『求解』上其實是非常『複雜的』。

在《λ 運算︰計物數《上》》一文中，我們說到『皮亞諾』 Peano 提出了『自然數』之五條公設的系統。用著『未定義』的『基元』數『零 0』，以及『後繼數』successor 的『概念』，打造了『一階算術』系統，現今稱之為『皮亞諾算術系統』。在《布林代數》文章裡，我們對比了『布林代數』、『集合論』與『邏輯學』之間的『密切關係』。整個『布林代數』是可以建立在一個二元運算『孤虛』 ── Sheffer豎線 $|$ ── 之上。也就是說一個『系統』的『公設化』往往不只一種『選擇』，或許是因為雖然兩個看起來『不同』的『概念』，它們彼此之間的『邏輯關係』卻是『等價的』，所以『甲可以推導出乙』，而且『乙能夠演繹出甲』，在此處，我們僅以與『無窮小』概念的『親疏遠近』編排次序，並不論及何者更為『基本』這樣的判斷。

『羅素悖論』在『集合論』的發展史上產生了重大的影響，因此『集合之集合』的構造勢必得『避免矛盾』，『坎特爾』 Cantor 證明了『實數集合』的『元素』是『不可數』的多，這再次引發了如何『列舉』的『難題』，也就是說既然『實數』如果無法『一一指定』，那你又怎麽能夠確定『所說之數』是『存在的』呢？比方說 $\bigcap \limits_{0}^{\infty} \ (0, 2^{-n}) = \phi$ 。所以我們從『言之有物』的觀點，就直接『同意』所謂的『選擇公理』︰一個【集合族】是指由非『空集合』 $\phi$ 所組成的一個『集合』。『存在』著一種【選擇函數】，它是個定義在某個『集合族』 $X$ 上的函數，對於這個函數來講，所有在『集合族』 $X$ 中的『集合元素』 $S$ ，都能夠『選擇』 $f_{choice}(S) \in S$ 。也就是說 $f_{choice} (S)$ 可以『指定』某一個 $S$ 中的『元素』。這裡所說的『同意』之意思就不過是想要在『直觀』中『簡化』討論之事項，比方講像某些『探討』著一條平面上的『封閉曲線』，它到底是不是能夠將『平面』分割成『曲線內』與『曲線外』之兩個部分的此類『議論』。這樣『實數分析』中所謂的『疊套閉區間』 $I_n = [a_n, b_n]$
$\ a_n < a_{n+1}, b_{n+1} < b_n, \ n=1 \cdots n$ 的『概念』，就『超實數』 $r^{*} = r \pm \delta x$ 來講，就是『標準部份函數』 $st(r^{*}) = r$ ，所以說如果那個 $r, \ a_n \leq r \leq b_n, \ |b_n - a_n| \approx 0$ 的話，一定會有 $\bigcap \limits_{1}^{\infty} I_n \neq \phi = r$ ，也就是說這就『確定』了那個『實數值』。假使我們換個觀點來看 $a_n$ 與 $b_n$ 都各自構成一個了『單調』之『上升』以及『單調』之『下降』的『序列』，而且 $|b_n - a_n| \approx 0$ ，那麼難到不該 $a_{\infty} = b_{\infty} = r$ 的嗎？如果說自然界之『物理量』總是來自於『度量』，因此那兩個稱作『柯西序列』 Cauchy sequence 的 $a_n, b_n$ 的『序列』，它們所『代表』的就是『量測』的『極限分析』的啊！假使用『超整數』與『巨量』 $H, K$ 可敘述為 $st (a_H-b_K)= 0$ 。假使設想著對於『可列舉』之物，至少可以說在『無窮遠』處之時﹐『那些‧哪些』的物將會是距離『這麼‧這麼』之『無窮近』的吧？然而對於『不可列舉』之物，我們真的還能夠講述著『某個‧某個』的『什麼』的嗎？因為說不定它還框陷在『難計』的『侑限』裡，你又怎麽可能得到『遠近』之『結論』的呢？？或許這就是『有理數』的『可數性』很適合用來『建構』那種『不可數性』的吧！！