每日彙整: 2014-12-03

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 V!》‧下中

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重整化 Renormalization

m_\mathrm{em} = \int {1\over 2}E^2 \, dV = \int_{r_e}^{\infty} \frac{1}{2} \left( {q\over 4\pi r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr

= {q^2 \over 8\pi r_e} \approx \infty, \ \ r_e \to 0

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點電荷

那麼在物理上『發散問題』 \infty 的『由來』又是為什麼的呢？一般我們將『點電荷』看成是『點粒子』，如此『點粒子』半徑 r_e 就會是個『零』。因此它的『慣性質量』，假使依據『電磁學』來計算將會是個『無窮大』，然而這又怎麼可能是『合理』的呢？既然這是由於物理中『理想化近似』所引起的，那不是就從自然中所知的『實際大小』來『取代』不就好了嗎？？『問題』是一、我們不知道那個大小；二、目前的『電磁學』相當符合『量測現象』，難道應該拋棄『整個理論』之概念的嗎？三、各種實驗的結果，『電子』的確很像是個『點電荷』，並且沒發現它有『內部結構』；四、更不要說，一九二八年，英國理論物理學家『保羅‧狄拉克』 Paul Adrien Maurice Dirac  所開啟的『量子電動力學』 QED Quantum electrodynamics

，已經為『物質』與『光』的交互作用提供了完整的科學論述，雖然當使用『微擾理論』 A=\epsilon^0 A_0 + \epsilon^1 A_1 + \epsilon^2 A_2 + \cdots 之『冪級數』 Power series 來作『近似計算』時，在『高階項』的『數列』中會出現『無限大』，因此當時物理學家相當懷疑這套理論是否真的具有一致性。之後，直到一九四七年，美國的物理學家『漢斯‧貝特』 Hans Bethe 獨創了一種『計算技巧』，直接把『無限大』置於『質量』和『電荷』的修正值中。這樣做的話，『無限大』就會被這些常數所吸收，從而得出與『實驗相符』的『有限值』，在今天這個『標準步驟』就叫作『重整化』 Renormalization。

事實上，自從『勞侖茲』發展微觀的『電子之理論』以來，他就計算過『電子』的『電磁質量』 m_0=\frac{4}{3}\frac{E_{em}}{c^2}  以及運用『半徑』 r_e = {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0 m_{\mathrm{e}} c^2} = \alpha {\hbar\over m_{\mathrm{e}} c} \approx 2.8 \times 10^{-15}\ \mathrm{m} 來避免那個『電子』的『慣性質量』變成了『無窮大』；並且推導電子的『運動方程式』 \frac{4}{3} m \vec{a} - \frac{2}{3} \frac{e^2}{c^3} \frac{d\vec{a}}{dt} + structure term = \vec{F}，於是引發了『自己與自生電磁場』的『交互作用』。後來『狄拉克』將此用著『狹義相對論』改寫為 m \vec{a} - \frac{2}{3} \frac{e^2}{c^3} \frac{d\vec{a}}{dt} = \vec{F} - \Re \vec{v}，此處 \Re 代表『電子光子輻射』，那個『自身作用項』 \frac{2}{3} \frac{e^2}{c^3} \frac{d\vec{a}}{dt} 依然存在。然而這有什麼『問題』的嗎？要是如此，只知道『電子』的『位置』與『動量』就不足以『確定』它的『狀態』的了？因為我們還必須知道它的『初始加速度』，那麼牛頓的『力學大廈』恐將垮矣！所以現今使用的『方程式』還是得避免『電子』的『內部結構項』 r_e \to 0，以及不許有『自身作用項』，也就是說『電子的理論』恐未完備，我們總得與可能的『無限大』為伍的吧！！

那麼這個『計算技巧』可以怎麽講的呢？比方說，當我們遇到這麼一種『物理量』的『計算』︰

I=\int_0^a \frac{1}{z}\,dz-\int_0^b \frac{1}{z}\,dz=\ln a-\ln b-\ln 0 +\ln 0

，它在『數學上』是『有問題』的，假使我們用 \epsilon_a 與 \epsilon_b 將之改為

I=\ln a-\ln b-\ln{\epsilon_a}+\ln{\epsilon_b} = \ln \frac{a}{b} - \ln \frac{\epsilon_b}{\epsilon_a}

，如果『物理上』可以『以為是』 \frac{\epsilon_b}{\epsilon_a} \to 1 ，那麼不應該 I = \ln \frac{a}{b} 的嗎？

『巴塞爾問題』是一個著名的『數論問題』，最早由『皮耶特羅‧門戈利』在一六四四年所提出。由於這個問題難倒了以前許多的數學家，因此一七三五年，當『歐拉』一解出這個問題後，他馬上就出名了，當時『歐拉』二十八歲。他把這個問題作了一番推廣，他的想法後來被『黎曼』在一八五九年的論文《論小於給定大數的質數個 數》 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude中所採用，論文中定義了『黎曼ζ函數』，並證明了它的一些基本的性質。那麼為什麼今天稱之為『巴塞爾問題』的呢？因為『此處』這個『巴塞爾』，它正是『歐拉』和『伯努利』之家族的『家鄉』。那麼就這麽樣的一個『級數的和』 \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \lim \limits_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) 能有什麼『重要性』的嗎？即使僅依據『發散級數』 divergent series 的『可加性』 summable  之『歷史』而言，或又得再過了百年的時間之後，也許早已經是『柯西』之『極限觀』天下後『再議論』的了！！因是我們總該看看『歷史』上『歐拉』自己的『論證』的吧！！

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巴塞爾問題
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

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邏輯之歐拉圖

假使說『三角函數』  \sin{x} 可以表示為 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots，那麼『除以』 x 後，將會得到 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots，然而 \sin{x} 的『根』是 x = n\cdot\pi，由於『除以』 x 之緣故，因此 n \neq 0，所以 n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots，那麼 \frac{\sin(x)}{x} 應該會『等於』 \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots，於是也就『等於』 \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots，若是按造『牛頓恆等式』，考慮 x^2 項的『係數』，就會有 - \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}，然而 \frac{\sin(x)}{x}  之『 x^2 項』的『係數』是『- \frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}』，所以 -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2}\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}，於是 \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}。那麼『歐拉』是『對』的嗎？還是他還是『錯』的呢？？