何謂『大哉問』？比方說︰僅藉維基百科『詞條』可以學

動力學

動力學（Dynamics）是古典力學的一門分支，主要研究運動的變化與造成這變化的各種因素。換句話說，動力學研究力對物體之運動所造成的影響。運動學則是純粹描述物體的運動，完全不考慮導致運動的因素。更仔細地說，動力學研究由於力的作用，物理系統怎樣改變。動力學的基礎定律是艾薩克·牛頓提出的牛頓運動定律。對於任意物理系統，只要知道其作用力的性質，引用牛頓運動定律，就可以研究這作用力對於這物理系統的影響。在古典電磁學裏，物理系統的動力狀況涉及了古典力學與電磁學，需要使用牛頓運動定律、馬克士威方程式、勞侖茲力方程式來描述。動力學是機械工程與航空工程的基礎課程。

乎？？難答也！關鍵之處在『曾經入門』與否耶！！

『詞條』或能喚醒『名目記憶』，恐無法深入『概念內涵』吧◎

就像說

力

力是一種造成物體加速的影響，也可以感官體驗為一種推擠或拖拉，這會造成物體改變方向、改變速度、暫時性或永久性的形變。力會迫使改變物體的運動狀態。^[1]力是一個向量，具有大小和方向。

之『定義』常生疑惑啊！？

牛頓運動定律

牛頓運動定律（Newton’s laws of motion）描述物體與力之間的關係，被譽為是古典力學的基礎。這定律是英國物理泰斗艾薩克·牛頓所提出的三條運動定律的總稱，其現代版本通常這樣表述：^[1]^:88f^[2]

第一定律：存在某些參考系，在其中，不受外力的物體都保持靜止或等速直線運動。
第二定律：施加於物體的淨外力等於此物體的質量與加速度的乘積。
第三定律：當兩個物體互相作用時，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反。

牛頓在發表於1687年7月5日的鉅著《自然哲學的數學原理》裏首先整理出這三條定律。^[3]應用這些定律，牛頓可以分析各種各樣的動力運動。例如，在此書籍第三卷，牛頓應用這些定律與牛頓萬有引力定律來解釋克卜勒行星運動定律。

在鉅著《自然哲學的數學原理》1687年版本裡，以拉丁文撰寫的牛頓第一定律及牛頓第二定律。

概述

物理泰斗艾薩克·牛頓。

在應用牛頓定律之前，必需先將物體理想化為質點^{[註 1]}。所謂「質點」是指物理學中理想化的模型，在考慮物體的運動時，將物體的形狀、大小、質地、軟硬等性質全部忽略，只用一個幾何點和一個質量來代表此物體。質點模型適用的範圍是當與分析所涉及的距離相比較，物體的尺寸顯得很微小，或我們只考慮物體受的外力，物體本身的內部結構、形變、旋轉、溫度等對於分析並不重要。舉例而言，在分析行星環繞恆星的軌道運動時，行星與恆星都可以被理想化為質點。

原初版本的牛頓運動定律只適用於描述質點的動力學，不具有足夠功能來描述剛體與可變形體的運動。1750年，歐拉在牛頓定律的基礎上，推導出能夠應用於剛體的歐拉運動定律。後來，這定律又被應用於假定為連續介質的可變形體。^[4]假若用一群離散質點的組合來代表物體，其中每一個質點都遵守牛頓定律，則可以從牛頓定律推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律可以直接視為專門描述宏觀物體運動的公理，與物體內部結構無關。^[5]在這裏，宏觀物體指的是尺度遠遠大於粒子尺度的物體。

牛頓運動定律只成立於慣性參考系，又稱為牛頓參考系。有些學者喜歡將第一定律作為根本，而將慣性參考系視作第一定律的延伸，也就是說在他們看來，第一定律可以用來定義慣性參考系。假若採用這觀點，則由於只有從慣性參考系觀察，第二定律才成立，所以，不能從第二定律以特例的方式來推導出第一定律。另外又有一些學者將第一定律視為第二定律的推論。特別注意，慣性參考系的概念是在牛頓之後很久才發展成功。^[6]^[7]

故爾

歐拉運動定律

歐拉運動定律（Euler’s laws of motion）是牛頓運動定律的延伸，可以應用於多粒子系統運動或剛體運動，描述多粒子系統運動或剛體的平移運動、旋轉運動分別與其感受的力、力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。^[1]^[2]

剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於可變形體（deformable body）內任意部分的平移運動與旋轉運動。

剛體

歐拉第一運動定律

歐拉第一定律表明，從某慣性參考系觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量與質心加速度的乘積。^[3]歐拉第一定律以方程式表達為

$\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}$

其中， $\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}$ 是剛體感受到的淨外力， $\displaystyle m$ 、 $\displaystyle \mathbf {a} _{cm}$ 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。

導引

思考由 $\displaystyle n$ 個粒子組成的多粒子系統，其質心位置 $\displaystyle \mathbf {r} _{cm}$ 為

$\displaystyle \mathbf {r} _{cm}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{m}}$ ;

其中， $\displaystyle m_{i}$ 、 $\displaystyle \mathbf {r} _{i}$ 分別為第 $\displaystyle i$ 個粒子的質量、位置， $\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$ 是系統的質量。

質心速度 $\displaystyle \mathbf {v} _{cm}$ 為

$\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{m}}$ ；

其中， $\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}$ 是第 $\displaystyle i$ 個粒子的速度。

質心加速度 $\displaystyle \mathbf {a} _{cm}$ 為

$\displaystyle \mathbf {a} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {a} _{i}}{m}}$ ；

其中， $\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}$ 是第 $\displaystyle i$ 個粒子的加速度。

第 $\displaystyle i$ 個粒子感受到的力 $\displaystyle \mathbf {F} _{i}$ 為

$\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}$ ；

其中， $\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(ext)}$ 是這粒子感受到的外力， $\displaystyle \mathbf {F} _{ji}$ 是第 $\displaystyle j$ 個粒子施加於第 $\displaystyle i$ 個粒子的內力。

系統感受到的淨力 $\displaystyle \mathbf {F}$ 是所有粒子感受到的力的向量和：

$\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}$ 。

根據牛頓第三定律，內力與其反作用力的關係為

$\displaystyle \mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ji}$ 。

所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和（淨外力 $\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}$ ）：

$\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}=\mathbf {F} ^{(ext)}$ 。

根據牛頓第二定律，第 $\displaystyle i$ 個粒子感受到的力 $\displaystyle \mathbf {F} _{i}$ 與這粒子的加速度之間的關係為

\displaystyle \mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}

。

總和所有粒子所感受到的力，

$\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}m_{i}\mathbf {a} _{i}=m\mathbf {a} _{cm}$ 。

所以，淨外力 $\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}$ 與質心加速度的關係為

$\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}$ 。

動量守恆定律

多粒子系統的動量 $\displaystyle \mathbf {p}$ 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和：

$\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m\mathbf {v} _{cm}$ ；

其中， $\displaystyle \mathbf {p} _{i}$ 是第 $\displaystyle i$ 個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為

$\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

假設淨外力為零，則系統的動量守恆。

歐拉第二運動定律

歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系的固定點O（例如，原點）為參考點，施加於剛體的淨外力矩，等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}$ ；

其中， $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}$ 是對於點O淨外力矩， $\displaystyle \mathbf {L} _{O}$ 是對於點O的角動量。

導引

思考由 $\displaystyle n$ 個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第 $\displaystyle i$ 個粒子的角動量 $\displaystyle \mathbf {L} _{i}$ 為

\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}

。

$\displaystyle \mathbf {L} _{i}$ 對於時間的導數為

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i})}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}$ 。

根據牛頓第二定律，施加於第 $\displaystyle i$ 個粒子的力 $\displaystyle \mathbf {F} _{i}$ 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以， $\displaystyle \mathbf {L} _{i}$ 對於時間的導數為

$\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ 。

第 $\displaystyle i$ 個粒子所感受到的淨力矩 $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}$ 為 $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ 。所以， $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}$ 的關係為

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}$ 。

總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩 $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}$ 與其角動量 $\displaystyle \mathbf {L} _{O}$ 的關係為

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}$ 。

第 $\displaystyle i$ 個粒子所感受到的淨力 $\displaystyle \mathbf {F} _{i}$ 為

$\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}$ 。

第 $\displaystyle i$ 個粒子所感受到的淨力矩 $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}$ 為

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}$ 。

物體感受到的淨力矩 $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}$ 為：

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}$ 。

應用牛頓第三定律，

$\displaystyle \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {F} _{ji}$ ；

其中， $\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}$ 是從粒子 $\displaystyle \mathbf {r} _{j}$ 到粒子 $\displaystyle \mathbf {r} _{i}$ 的位移向量。

假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律，即粒子運動為古典運動，速度超小於光速，則 $\displaystyle \mathbf {r} _{ij}$ 與 $\displaystyle \mathbf {F} _{ji}$ 同向，叉積為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 $\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}$ ：

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}={\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}$ 。

這樣，可以得到歐拉第二定律方程式

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}$ 。

假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。

相對於質心的歐拉第二運動定律

所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為

$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{cm}+\mathbf {r} '_{i})\times (m_{i}(\mathbf {a} _{cm}+\mathbf {a} '_{i}))$ ；

其中， $\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}$ 、 $\displaystyle \mathbf {a} '_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}$ 分別是第 $\displaystyle i$ 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。