【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧下上

⊙	O	I	A	B	⊕	O	I	A	B
O	O	O	O	O	O	O	I	A	B
I	O	I	A	B	I	I	O	B	A
A	O	A	B	I	A	A	B	O	I
B	O	B	I	A	B	B	A	I	O

那麼要如何『了解』上面那個『體』的『加法表』與『乘法表』呢？通常人們會自然的把 $\bigoplus$ 看成『加』，將 $\bigodot$ 想為『乘』。然而『數學』的一般『抽象結構』是由『規則』所『定義』的，很多講的是某個『集合』內之『元素』所具有的『性質』，以及『運算』所滿足的『定律』。這與有沒有人們所『熟悉的』類似結構無關，而且那些『元素』也未必得是個『數』的啊！這或許就是『抽象數學』之所以『困難』的原因。雖然從『純粹』的『邏輯推理』能夠得到『結論』，只不過要是缺乏『經驗性』，人們通常『感覺』不實在、不具體、而且也不安心。就讓我們試著給這個『體』一的比較容易『理解』之結構的『再現』︰設想將 $O, I, A, B$ 表現在『複數平面』上，其中 $O$ 是『原點』，而 $I, A, B$ 位在『單位圓』之上，定義如下
$O \equiv_{rp} \ 0 + i 0 = 0$
$I \equiv_{rp} \ 1 + i 0 = 1$
$A \equiv_{rp} \ - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B \equiv_{rp} \ - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$X \bigoplus Y \equiv_{rp} \ -(X + Y), if X \neq Y$
$X \bigoplus Y \equiv_{rp} \ (X - Y) = 0, if X = Y$
$X \bigodot Y \equiv_{rp} \ X \cdot Y$

$\because I \bigoplus A \equiv_{rp} \ - \left[ 1 + \left( - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]$
$= - \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = B$

$A \bigodot A \equiv_{rp} \ {\left( - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^2$
$= \frac{1}{4} - i \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = B$

$\therefore (I \bigoplus A) \bigoplus B = B \bigoplus B$
$= I \bigoplus A \bigoplus (A \bigodot A) = O$

如果將它用複數改寫成 $1 + A + A^2 = 0$ ，這不就是『上上篇』裡的『三次方程式』 $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ 的『解』 $\omega$ 的嗎？再徵之以『相量』的『向量加法』和『旋轉乘法』，這個四個元素的『體』之『喻義』也許可以『想像』的了。假使人們對於『抽象思考』一再重複的『練習』，那麼『邏輯推演』也將會是『經驗』中的了！就像俗語說的︰熟能生巧；『抽象的』也就成了『直覺』上的了！！

其實在『抽象代數』中『體』 Field 就是種可進行加、減、乘和除【除零例外】之運算的代數結構。『體』的概念是『數系』以及『四則運算』的推廣。從定義上看，『體』是『環』的一種，這兩者的區別在於『體』要求除零元素之外的所有元素，都可以進行『除法』的運算，『等效』的講就是都要有『乘法反元素』。因此『無窮小算術』的『超實數系』也是一個『體』的啊！！

物理上所說的『時空連續體』space-time continuum 起源甚早，也許可以說這個『概念』最早來自於『時間』、『空間』以及『物質』的『度量』的『需要』。雖然『有理數』具有無限『可分性』，但是『無理數』和『超越數』的『存在』，說明了它可能不夠『密集』，再由於它可與自然數產生『一一對應』的關係，所以它只是一種『可數的無限大』。

之後，『坎特爾』構造一種『對角線法』論證了『實數』是『不可數的無限大』。這就產生了『希爾伯特』之二十三個問題的『第一題』連續統假設 Continuum Hypothesis

不存在一個基數絕對大於可列集而絕對小於實數集的集合。

事實上，那個『不可數的』的『實數』一般是用『上下夾擊』之『有理數序列』的『極限值』來定義的，比方說『 $\pi$ 』和『 $e$ 』。在《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中下中‧上》一文中，我們談到

也就是說假設 $\Delta = \frac{1}{M}$ ， $K >> M$ 是一個『巨量』， $K \cdot \Delta > \sum \limits_{n=M}^K \frac{1}{n} \approx \infty$ ！！

，這就是『實數』的『阿基米德性質』。然而『超實數體』中的『無窮小』量『取消』了這個『實數』的『阿基米德性』。也可以說它不會用著『上下夾擊』之『有理數序列』的『極限值』來定義的一個『超實數』的喔！既然『物理世界』中本就有『大小』之『度量』，這又怎麽『反映』在『物理數學』裡的呢？？

如果 $(R^{*}, + , x)$ 是一個『體』，而且 $\leq$ 是這個『體』上的二元『全序關係』 total order ，這時我們稱 $(R^{*}, + , x , \leq)$ 是一個『全序體』 an ordered field，定義為

$a \leq b \ \Longrightarrow a + c \leq b + c$
$0 \leq a \wedge 0 \leq b \ \Longrightarrow 0 \leq a \times b$

。這也是一個『抽象定義』，假使我們不知道『二元關係』是什麼意思？又不了解『序』意味著『比較大小』？以及那個『 $+$ 』與『 $\times$ 』是在講『數』之『四則運算』？那麼我們真的『可能』明白這個『表達式』的『意義』的嗎？此時如果說『無窮小算術』它也是符合『全序公設』大概也不會讓人多『知道』些什麼的吧！要是講『教』也努力的『教了』；而『學』也認真的『學了』。或許說在現今之『知識爆炸』的時代，將要怎麽能夠『創新』延續『教』與『學』之『傳承』的呢？終是一個『重要問題』的吧！也許正是因為不可『冀盼』的『不確定性』，方才催促了『樹莓派』的『誕生』，這世上畢竟得靠『天助自助者』的吧！！如是，又豈能不『善用』圖書館、網路資源以及『最重要』的主動之『自學之樂』的呢？？