每月彙整: 2014 年 8 月

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

電車問題 ── Thue 改寫系統之補充《一》

1 則留言

已故的英國哲學家菲利帕‧福特 Philippa Foot，她於一九六七年發表了一篇名為《堕胎問题和教條雙重影響》論文，當中提出了『電車問題』，用来『批判』時下倫理哲學中之主流思想，尤其是功利主義的觀點︰

大部分之道德判斷都是依據『為最多的人謀取最大之利益』的原则而決定的。

她的原文引用如下︰

Suppose that a judge or magistrate is faced with rioters demanding that a culprit be found guilty for a certain crime and threatening otherwise to take their own bloody revenge on a particular section of the community. The real culprit being unknown, the judge sees himself as able to prevent the bloodshed only by framing some innocent person and having him executed.

Beside this example is placed another in which a pilot whose aeroplane is about to crash is deciding whether to steer from a more to a less inhabited area.

To make the parallel as close as possible it may rather be supposed that he is the driver of a runaway tram which he can only steer from one narrow track on to another; five men are working on one track and one man on the other; anyone on the track he enters is bound to be killed. In the case of the riots the mob have five hostages, so that in both examples the exchange is supposed to be one man’s life for the lives of five.

設想一個法官或推事正面對著暴徒的要求，有個罪犯必須為某犯行認罪服法，否則他們將自行報復血洗這個社區的特定區域。然而真正的犯行者未明，法官觀察到自己似能阻止這場血洗，只要將無辜者框陷處決就好。

 

 

除了這個例子之外，另一就是︰一位即將墬機的飛行員要如何決定導向哪個較多還是較少人居住的地方呢。

 

為了盡可能平行立論，就這樣假想吧︰某人駕駛一輛即將出軌的火車，他僅能從這一窄軌導向另一窄軌；一邊有五人正在軌上工作，另一軌上有一人；不論他進入何軌，那軌道上的人全都必死無疑。好比暴動中一暴民挾持五位人質一樣，當下的兩個例子中都是如此假設一命與五命之兌換。

這個倫理學之『難題』現今有許多不同的類似之『版本』，也許是因為它是這個領域中最為知名的『思想實驗』之一的罷！！

解決問題

美籍匈牙利的大數學家 George Pólya 寫過一本《怎樣解題》的書，書中強調解題的『第一步』是『了解問題』是什麼？問題的『限制條件』又是什麼？『概念定義』有沒有『歧義』？能不能『改寫重述』這個問題的呢？如果『解題者』能這樣作，那就是『思過半已』。

我們就跟隨波利亞的『金科玉律』，先了解這個問題是什麼？如果從福特女士的說法來看，這是一個『選擇的道德性』、『行為的正義性』和『道德正義能不能有量與質的比較之尺』的相關之『問題』。由於她並沒有說明與提起『□□性』或是定義『○○質』，我們也只能用『歷史 』以來的『思想』假定她說的『理念』和『爭議』。這樣提出以下的『模型』以及『說明』，這個『目的』是期望能『釐清分辨』所論所指。

首先作者將界定若干『術語』，方便談論著這些『語詞』的意義到底是什麼？人們又或是『同意』或者是『不同意』？

人之各種活動至少包含了『思維』與『作為』，我們就簡單截斷的說『行為』是『行動』的『論域』，它還包括著『想而不作』之『不作為』，就是說︰

行為 = Behavior = B = { 行動 } \cup {不作為}

人都有『抉擇』的『自由』，稱之為『自由意志』；在任何情況下得為自己的『行為』來『負責』，或者可能因為這個選擇而產生『愧疚』，但是它也有『不抉擇』的自由︰

自由意志 = Free will  = F = {抉擇} \cup{不抉擇}

，因此『責任』、『權利』、『義務』、『犧牲』或『奉獻』…等等，都是『定義』在 B \times F \times  『人事物』上的某種『關係』 R。

道德判斷 MJ 或公平正義 EJ 都是一種『行為』或與『選擇』的『度量』，它至少『分別』著，『有善、好』、『有惡、壞』和『好壞、善惡无記』。然而這兩者到底是具有『試金石』，『甜度計』還是『度量衡』之某類事物的性質，不同的『權衡理論』之『判準』不同。也就是說  MJ  和 EJ 都是『特定理論』之某類的『函數』，或許相互彼此得由『大同小異』或『求同存異』來『定奪』是非。

人類的歷史上古往今來有一個『信念』的『通則』是︰

凡事若是不道德，皆不可作此選擇，也都不應當作為。

就讓我們『重述』這個『電車問題』如下︰

有些人相信且認為有一根可以『量化道德』之尺的存在，他們在一般的『抉擇情境』下，也會同意這裡『所列舉之選項』是『不道德的』並且不符合於『公平正義』之通則，即使處於此種『特殊情境』之下，也許他們也還是同意著上述的通則，只不過他們卻是用著『數量大小的比較可以得出好壞之高低』的判斷來決定著『善惡』之分界，但是這種『多寡區分』應該是不可能改變『性質分辨』之什麼的吧？？

假使這已然是個真實的『面對』情境，也許一人說︰

既然『道德』的理想已不可能，就用『善惡』的實際吧，要是依舊無法達到，只得按造『好壞』的現實 了，終究『兩利相權，取其重；兩害相衡，取其輕』。

或許另一人講︰

縱使願意自我『犧牲』，依然不能『兩全』，又有誰知『今日之選擇』不是『來日之因果』的呢？更不必說果真有個『選擇的利弊得失』的計較嗎？不如就『擲個銅板』吧！反正人生自古誰無死！該誰的就各安天命吧！！還是終得自己面對無盡的『無奈』。

過去科幻小說家以撒‧艾西莫夫 Isaac Asimov 訂定了『機器人三定律』Three Laws of Robotics︰

第一法則
機器人不得傷害人類，或因不作為使人類受到傷害；

第二法則
除非違背第一法則，機器人必須服從人類的命令；

第三法則
在不違背第一及第二法則下，機器人必須保護自己。

不知這個機器人將如何『看待』那個電車問題？它能不能有一種『演算法』計算出『唯一』的『正確解答』？事實上人生有時不得不遭遇『爛蘋果情境』，彷彿『壞的裡面挑不那麼壞的』就能得到『比較好的一般』；又有時只能『五十步笑百步的自嘲』，還有時真像『父子騎驢一樣不知如何是個好』。易經裡講的『無妄之災』果真是有之的阿！！

天雷無妄

無妄：元，亨，利，貞。 其匪正有眚，不利有攸往。

彖曰：無妄，剛自外來，而為主於內。動而健，剛中而應，大亨以正，天
之命也。 其匪正有眚，不利有攸往。無妄之往，何之矣？ 天命不
佑，行矣哉？

象曰：天下雷行，物與無妄﹔先王以茂對時，育萬物。

初九：無妄，往吉。
象曰：無妄之往，得志也。

六二：不耕獲，不菑畬，則利有攸往。
象曰：不耕獲，未富也。

六三：無妄之災，或系之牛，行人之得，邑人之災。
象曰：行人得牛，邑人災也。

九四：可貞，無咎。
象曰：可貞無咎，固有之也。

九五：無妄之疾，勿藥有喜。
象曰：無妄之藥，不可試也。

上九：無妄，行有眚，無攸利。
象曰：無妄之行，窮之災也。

 

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

Thue 之改寫系統《一》

1 則留言

自從喬治・康托爾 Georg Cantor 發展『集合論』至今，用集合 來談論『抽象系統』已是一種『傳統』。又因為『公理化』axiom 的盛行，今天的『數學』帶給人的印象常是一大套『抽象符號的總匯』，一本書裡到處填滿的是『空間』、『公理』、『假設』、『定義』、『引理』、『定理』、……。然而這卻是為使『定義』能『嚴謹』；『邏輯』能『明確』，希望『精簡』它『承載』的大量之『內容』，以致能達到『言之有物』與『理有所來』。所以就算所知道的『術語』太少，常常會導致『閱讀』的困難，『面對』之且『克服』它終將會大有所穫。

金文大篆抽

甲骨文象

什麼是『抽象化』呢？『抽』字的本意是，在成長茂密的『莊稼』中『拔掉』一些過盛的『株苗』，使得『剩餘』的能夠更『結實飽滿』。而『象』字就是『瞎子摸象』的象之象形。

人事物的『事件』與『現象』通常都太過於『複雜』，很難那樣的『分析』和『認識』它，假使將它用比較『簡約』的『概念』來『概括』，不但有助於『理解』，也能利於『論辨』之雙方，互相『發現』彼此相思維可能之『誤謬』。

150px-2064_aryabhata-crp

金文大篆零

0

100px-Nullset.svg

100px-Empty_set.svg

 

民國３９年發行的兩角鋁幣

一角蘭花硬幣

台灣硬幣5角正面

台灣硬幣5角反面

『零的歷史』講述著人類試圖用著『已知』的等等來『推廣』，並 使它『一 般化 』 ，以致能夠解說『未明』之種種，想用著『簡易』的方式『精煉』所知之宇宙人生中的一切。終究總會有人問起『 3 - 3 』是多少？又為什麼不能『 2 - 5 』呢？然而『應用 0 』與『明白 0 』實有很大的『差別』，比方說『 x^0  應當是 1 』，因為『 \frac {x^m} {x^n } = x^{m - n} 』當 m = n 時，就會有像 『 x^0 』這樣『形式』 的數『發生』，同時很顯然『大小相同之數相除必然是一』，只不過要是 用在『 \frac{0}{0}』上 呢？難到是『 0 \ne 0』 嗎？假使我們思考如果『 x \times 0 = 0』而且『 \frac{0}{0} = 1 』；這樣由於『 (x + 1) \times 0 = 0 』又因『 \frac{0}{0} = 1 』，不可以得到『 x = x + 1 』的嗎？？也許『相容』於已知，又能『理則』之一致，一直 都是並不『易得』的啊！！因此『零』之為『數』的『特殊性』正在於它是數的『正負概念』之『分界』，已知所有的『數』與『量』也只有『 0 』這一個數是『 + 0 = - 0 = 0 』。

相較於『零』，『空集合』引發的爭論就大的多了？這又是為什麼呢？比方假使你『想』要談論一些『什麼』？它總該是『有』吧？不會是『空無一物』的吧？但是像『想寫尚未寫』的□書本，剛拿起『將裝還沒裝』的○袋子，到底□○是否能算是『有』或是『沒有』的呢？也許概念愈是『基本』，或許『辯論』就愈多！『 \phi  』的來歷好比是數系中的『 0 』，用於『指稱』著一個『特殊』的『集合』︰不管它是如同『獨角獸』一樣不『存在』半個元素的呢？還是它指稱『沒盛水』的『空杯子』的呢？舉例說吧，假使一個貨幣收藏家構造了一個集合族 S_t = \{ x | t  是時期，x 是當時面值小於一元的硬幣 \}，這樣的集合構造『合法』的嗎？他說 S_{1980} = \phi  是『有效』的陳述嗎？其實集合雖是由它的元素所構成，但是集合與元素卻是兩個不同的概念。用『命了名』 的集合代表其內『元素』的『進出增減』之事實非常『普通』，以致有時人們會忘了其實『自己的名字』──  細胞共和國的國號 ── 就是這麼用的，它指稱著時光中變化的容顏，又不變的主體『我』！！

有人懷疑空集合可能是『無物』Nothing ？也許想一想『無水之杯』只是『無水』並非是『無杯』，就能明白的了。那麼果真有『無物』的嗎？有啊！比方說︰ S = \{ S \} 就是『誤謬』而『無物』，為什麼呢？假設 S \ne \phi，如果說 S 有某個元素 e，那 e 屬於 \{ S \} 嗎？顯然不屬於，這個 \{ S \} 集合只有一個元素就是 S，但是依據等式 S = \{ S \}，e  它又不得不屬於 \{ S \}，所以產生矛盾。假設 S = \phi，也就是說 \phi = \{ \phi\}，只要知道 \{ \phi\} 有一個元素 \phi，當然不是空集合，就能知道它是個『虛假』陳述了。因此有了 \phi 能使『集合論』的『理論』之論述『精簡』與『定理』的表達『清晰』。

集合論用著一些符號，來表達集合間的關係與運算，以及元素『屬於 \in 不屬於 \notin』某集合的基本關係。為了方便下面的論述，也許也避免『符號用意』的不同，所以先在此簡介一下。假使 S = \{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, \dots, x_k, \dots, x_n \} 和 T = \{ y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, \dots, y_j, \dots, y_m \} ︰

當然這些 x_k, k = 1 \dots n 都是 S 的元素，記作『 x_k \in S 』。如果談論 S 中的『每一個』、『任一個』或『所有的』元素，將以『\forall x\ x \in S 』表示；對等的『有一個』、『某一個』和『存在著』將用『\exists x\ x \in S 』表達。假使 T 是 S 的『子集』記作『 T \subset S 』，定義成『 \forall y\ y \in T \ \Rightarrow \ y \in S 』，這裡的 \Rightarrow 符號意謂邏輯可『推論』出的意思。建構一個『聯集』記作『 T \cup S 』，是說『 \{ x | \ x \in T  或\vee  x \in S \} 』；同樣的構造一個『交集』記作『 T \cap S 』，是講『 \{ x | \ x \in T  且\wedge  x \in S \} 』。所謂的笛卡爾的『乘積』──  座標系或 turple  有序元組 ──寫作『 S \times T 』，就是 \{ (x , y) |\ x \in S \wedge y \in T \}。至於集合的一般構造法 \{x | P x\}  可見之於《{x|x ∉ x} ！！？？》一文，為免於冗長起見其它的符號需要時再作引入。

人與自然關係

人際關係

自反

對稱

反對稱性波函數

邏輯樹

數學家是怎麼看待『關係』Relation 的呢？他說如果有一個集合叫 S，那定義在 S 上的二元關係『 R 』 就是『 S \times S 』的某個『子集』！！雖很『抽象』，分解的說︰
R 是一個有序二元組的集合。
R 是『論域』Domain S \times S 的『子集』。
如果 S 中之任意兩元素 s_1 和 s_2 構成『 ( s_1, s_2 ) 』有序二元組，假使 ( s_1, s_2 ) \in R ，我們就說 ( s_1, s_2 )  擁有關係 R 。

如果 S 有 n 個元素，那 S \times S  就有 n^2 個元素，且有 2^{n^2} 個子集，真是關係多於『牛毛』的啊！假使 R = \phi ，也就是說『在 S 集合裡，萬有元素皆無關』的勒！！這樣就可以追問關係 R 的集合能有什麼『性質』的嗎？比方說『自反性』︰
\forall x \ x \in S \ \Rightarrow \ (x, x) \in R，『反自反性』︰
\forall x \ x \in S \ \Rightarrow \ (x, x) \notin R。並及於『對稱性』︰
\forall x,y \ x ,y \in S \wedge (x,y) \in R \ \Rightarrow \ (y, x) \in R，『非對稱性』︰
\forall x,y \ x ,y \in S \wedge (x,y) \in R \ \Rightarrow \ (y, x) \notin R，『反對稱性』︰
\forall x,y \ x ,y \in S \wedge (x,y) \in R \wedge (y,x) \in R\ \Rightarrow \ x = y，……種種『可定義』的性質。

一般 (x,y) \in R 可記作『 xRy 』，有時為了方便操作又寫成『 x \ \rightarrow \ y 』，這對『遞移性』關係的描述來講尤其是如此︰

\forall x,y,z \ x,y,z \in S \wedge \ x \rightarrow y \ \wedge \ y \rightarrow z \ \Rightarrow \ x \rightarrow z

。x \rightarrow y \wedge y \rightarrow z \ \Rightarrow \ x \rightarrow z 的表達不但可以導引想像，在論域脈絡清楚時── \forall x,y,z \ x,y,z \in S ──，不必寫那麼多的符號干擾思考。

如此當數學家說『函數』f 的定義時︰

假使有兩個集合 S 和 T，將之稱作『定義域』domain 與『對應域』codomain，函數 f 是 S \times T 的子集，並且滿足

\forall x \ x \in S \ \exists ! \ y \ y \in T \ \wedge \ (x,y) \in f

，記作 x \mapsto y = f (x)，『 \exists \ !  』是指『恰有一個』，就一點都不奇怪了吧。同樣『二元運算』假使『簡記』成 X \times Y \mapsto_{\bigoplus} \ Z  ，X=Y=Z=S，是講︰

z = \bigoplus ( x, y) = x \bigoplus y，也是很清晰明白的呀！！

最後我們介紹一下『何謂 Thue 之改寫系統』？結束這個《系列》的第一篇。阿克塞爾‧圖厄【挪威語 Axel Thue】一位數學家，以研究丟番圖用『有理數』逼近『實數』問題以及開拓『組合數學』之貢獻而聞名。他於一九一四發表了『詞之群論問題』Word problem for group 啟始了一個今天稱之為『字串改寫系統』SRS String Rewriting System 的先河，如從現今的研究和發現來看，它與圖靈機的『停機問題』密切相關。上個千禧年之時，John Colagioia 用『Semi-Thue System』寫了一個『奧秘的』 esoteric 程式語言 Thue ，作者宣稱︰

Thue represents one of the simplest possible ways to construe 『constraint-based』基於約束 programming. It is to the constraint-based 『paradigm』典範 what languages like『 OISC 』── 單指令集電腦 One instruction set computer ── are to the imperative paradigm; in other words, it’s a 『tar pit』焦油坑.

 

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

亞里斯多德之輪！！

1 則留言

AristotlesWheel

Aristotle's wheel1

Aristotle's wheel2

Aristotle's wheel3

1280px-Galileos_Dialogue_Title_Page

Dialogue Concerning the Two Chief World Systems

tnsFig005_s

Aristotle's wheel4

Aristotle's wheel5

 

公 元前三八四年亞里斯多德出生於色雷斯的斯塔基拉，他是哲學家柏拉圖的學生與亞歷山大大帝的老師。他一生著作豐富，囊括了物理學、形上學、詩歌、戲劇、音樂、 生物學、動物學、邏輯學、政治、政府、以及倫理學，乃西方哲學的奠基者之一。亞里斯多德的物理學思想深刻的重塑了中世紀的學術思想，其影響力之大延伸到了 文藝復興時期，終被伽利略所改寫，後為牛頓物理學所取代。

傳聞亞里斯多德著作了一本『 Mechanica or Mechanical Problems; Greek:  Μηχανικά 』之力學書，這個『亞里斯多德之輪』的悖論就是出自這本書。滾動一個圓狀物，用它在平面上運動的『軌跡』就可以測量『圓周長』，這本是平凡無奇。但是左圖的動畫卻顯示， 大小二圓顯然走了一樣的『距離』，難道它們的『圓周長』一樣的嗎？由歐基里德的幾何學可以知道圓周長等於『 π ‧ 直徑』，這到底是怎麼回事呢？很清楚  \overline{AD} = \overline{BE} = \overline{CF} ，難道不是這樣的嗎？一六三二年伽利略用義大利文撰寫了一部天文學著作，英文譯作『關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話』。在『第一天』的對話裡，他談到了『亞里斯多德之輪』︰

SALV. Otherwise what? Now since we have arrived at paradoxes let us see if we cannot prove that within a finite extent it is possible to discover an infinite number of vacua. At the same time we shall at least reach a solution of the most remarkable of all that list of problems which Aristotle himself calls wonderful; I refer to his Questions in Mechanics. This solution may be no less clear and conclusive than that which be himself gives and quite different also from that so cleverly expounded by the most learned Monsignor di Guevara.*

First it is necessary to consider a proposition, not treated by others, but upon which depends the solution of the problem and from which, if I mistake not, we shall derive other new and remarkable facts. For the sake of clearness let us draw an accurate figure. ……

200px-Infinity_symbol.svg。

銀河

為 了能更好的理解伽利略的觀點，就讓我們從今人對『無限』概念的說明開始。坎特爾依著萊布尼茲的思路，將數量『無限大』Infinity 定義成『比任何給定的實數還要大』；以及將其『無限小』infinitesimal  定義成『比任何給定的實數還要小』。之後法國數學家柯西又用著『極限』limit 的概念來論述有著『無窮項』的『數列』或『級數』之『逼近值』，比方\lim \limits_{n \to \infty}x_n = Q 是指︰

對於任何給定的 \epsilon ，都找得到一個 N ，
當 n > N 時， \mid x_n - Q \mid < \epsilon。

350px-Synthesis_square

這固然是『嚴謹』的多了，但是對無限的『本性』是什麼並沒有說明？所以許多『誤謬』依然很容易發生？舉個例說，依上圖的方波想像這個無窮級數『 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …… 』，它是有極限值嗎？可以用下面各種不同的『計算法』嗎？

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1 )+ (1 – 1 )…… = 0 + 0 + 0 + 0 + …
1 + (-1 + 1 ) + (- 1 + 1 )  + (- 1 + 1) + ( – 1 …… = 1+0 + 0 + 0 +  …
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ……= (1+1+1+1+…)  –  (1+1+1+1+…)

在 『對話錄』裡伽利略說了一個自然數『平方的悖論』。每一個自然數 n 都可以平方成 n^2，假使我們把自然數的集合稱作 N ，將這個平方的集合叫做 S = \{1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots \}，雖然它也有『無限多』的元素，顯然它的元素間的『差距』是越來越大的吧！這樣我們可以因為 N 有『更多的』的元素，就說  N_{\infty} > S_{\infty} 嗎？再說如果由 S 構造另一個集合 P ，這個集合中的每一個元素都從 S 中的元素『開方根』而來，那難到 P 的元素個數不等於 S 的元素個數嗎？更不要說 P  就是 N 吧！！他又用著『一對一』對應的相同之思路，論證一條『短的線段』和一條『長的線段』都是一樣『無窮的可分』，擁有『一樣多』的『點』。所以伽利略認為 『無限』並不是具有『數量』的『可比較』之性質，而『點』── 並非無窮可分的小 ── 卻是『不可分』的『非量』，此兩者都遠遠超越人類的『理解』。也許可以說他非常明白，一般數學的運算並不適用於這兩個『理念』，知道『向大』而無外之無限與 『往小』又無窮之可分，是兩種完全不一樣的『 \infty 』。

tnsFig005_s

smaller polygon to roll

因 此伽利略用『可分割』之『有限多邊形』來研究『無窮多邊』的『圓』，並說這個『有限』到『無窮』的『跳躍』是『一步到位』之『不可說』之超越。他觀察以第 一圖『大』多邊形為主的每『定』點之『軌跡』，與第二圖『小』多邊形為主的各『定』點之『現象』來作比較。事實上是『大小』兩多邊形的運動軌跡不同，而且 不同時間的速度也不相同。其實與平面之『接觸點』輪轉而變化，這個『想像』的『固定點』就是亞里斯多德之輪的『誤謬』來源。如果從現今的物理學來講只有 『圓心』之軌跡才走『那一條』畫出的軌跡︰

Cycloid_f

220px-CyloidPendulum

BrachistochroneTautochrone_curve

如今這個『大圓』上之圓周的某個『定點』，畫出的『軌跡』稱之為『擺線』cycloid。為什麼要叫作『擺線』的呢？也許是德國的數學家 Christiaan Huygens 所發現這樣作的『鐘擺』之『準確性』和『振幅』無關，或許可以作為一種精準的時鐘？然而事實又何止是如此的呢？有人研究地球上『A、B』兩點之間運動的『最短時間』曲線；以及 有人發現一條叫作 Tautochrone curve  的『同時曲線』── 各物不管原先『起始』在哪個位置，它所『到達』的時刻卻都是相同 的 ── 顯示這一切或許不得不與『之』有關的吧！！

 

─── 『精確』之概念定義與『篤定』之邏輯推導是

『科學』的兩大基礎『柱石』，能不慎 乎？慎之，慎之！！

──

 

樹莓派、部落格訊息

惻隱之心

百合花

悼亡

子水難濟午夜火，

氣爆燄炸驚天槌，

三多二聖一心劫，

通衢街連動地毀。

 

【孟子‧告子上 ‧第六章】

公都子曰：“告子曰：『性無善無不善也。』或曰：

『性可以為善，可以為不善；

是故文武興，則民好善；

幽厲興，則民好暴。』或 曰：

『有性善，有性不善；

是故以堯為君而有象，以瞽瞍為父而有舜 ；

以紂為兄之子且以為君，而有微子啟、王子比干。』

今曰『性善』 ，然則彼皆非與？”

孟子曰：“乃若其情，則可以為善矣，乃所謂 善也。

若夫為不善，非才之罪也。

惻隱之心，人皆有之；

羞惡之心，人皆有之；

恭敬之心，人皆有之；

是非之心，人皆有之。

惻隱之心，仁也；

羞惡之心，義也；

恭敬之心，禮也；

是非之心，智也。

仁義禮 智，非由外鑠我也，我固有之也，弗思耳矣。故曰：

『求則得之，舍 則失之。』

或相倍蓰而無算者，不能盡其才者也。詩曰：

『天生蒸民 ，有物有則；

民之秉夷，好是懿德。』

孔子曰：

『為此詩者，其知道乎！
故有物必有則，民之秉夷也，故好是懿德。』”

 

有人問︰『人道主義』是什麼？，有人答︰

一人墬河百人救之而死，

所救的不是『那個一』，而是『這個人』。

 

───觀世音菩薩終放不下有情世界，必定選擇聞聲救苦 ──

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

測不準原理

1 則留言

可以『講說』的一切都用著『語言』，人們用『物理學語言』說明『物理事件』，用『心理學語言』講述『心理現象』。只要『論及數量』就不得不用『數學語言』。所以數學語言必然成了『科學語言』的重要組成『環節』，它使得我們可以『定量』的談論著『關係式』或是數量間滿足的『方程式』，用之以『預測』未來『將發生』或者『可發生』的種種。假如它的預測『結果』卻是不幸的『不準』，然而此又剛好能成了科學『進步的動力』，難道真的是魚與熊掌果能兼得的嗎？？如果縱觀橫看歷史源流，數學這個科學語言之王，有著『記號法』持續之『變革』一事，可以讓那些好『不容易』獲得的『成果』能以『簡潔』、『易記』與『易用』的方式『被表達』，也就是說它的『傳承』之『精煉』是有著這一個重要的『面象』，雖然它也許很容易就會『被忽略』。

就讓我們『以管窺豹』談談什麼是數學中的『表達式』的『表達』作為開始吧。通常『四則運算』的寫法將運算符號 +  –  *  /  擺在式子中間，又有著先『乘除』後『加減』的規定，所以使用『括號』強制運算次序就無法避免。比方說 ( 3 + 4 ) * 5 和 3 + 4 * 5 的差異。波蘭數學家 Jan Łukasiewicz  曾經提到︰

我在一九二四年突然有了一個無需括號的表達方法，我在文章第一次使用了這種表示法。

，這就是『波蘭表示法』的開始。這個表示法將運算符號放在運算之數目『之前』，故稱作『前綴表示法』，舉前例說就是︰* + 3 4 5 和 + 3 * 4 5。這個表示法是這樣看二元運算『⊕□○』的，這裡的『⊕』是 + – * / 的某一運算；□或○代表『子表達式』，有著表達式相同的結構。如果一個子表達式只有數目，沒有運算符號，那就是『最簡』的表達式。這樣就將它看成了一棵『二元運算樹』。所謂計算法就是『先找出』有『兩個最簡子表達式』之二元運算『先算』，再將計算的結果數目『迭代』那個表達式，如是一步步計算下去，最後要不就能得到正確『答案』，要不就是表達式有『錯誤』。舉個例吧，(3 + 4) * (7 - 2 * 3) 的答案是 7 ，用波蘭表示法寫作

* + 3  4 – 7 * 2  3
= *  7 – 7  6
= *  7  1
= 7

假使你將二元運算『⊕□○』看成數學上的『函數』function ── 比方說代表著 ⊕( □，○ )  ──，這就是 LISP 程式語言常用的表達式寫法，其實上許多程式語言內部都用著這樣的表達式記號法。現今『functional』泛函的或者說功能的一詞推廣了函數概念，成了一種寫程式的『典範』。由於波蘭表示法的計算方式過於麻煩，說不定還容易算錯，揚‧武卡謝維奇又提出『逆波蘭表示法』，不再把運算符號放在前面，卻是將它置於後頭的『後綴表示法』，如此二元運算寫成了『□○⊕』。這樣的寫法有什麼好處呢？最大的好處就是『計算規則』簡單︰

看到數目就將它放上『堆疊』Stack 頂端，

見著運算符號，如果堆疊頂端能取下兩數，取下運算後將結果放回堆疊頂端；如果堆疊頂端不能取下兩數，表達式有錯誤，

最終堆疊頂端將只有答案一數，否則表達式有錯誤。

前面的例子用逆波蘭表示法寫作 『3 4 +  7 2 3 *  – *』，假使用【】表示右邊是頂部的堆疊，計算過程如下︰

【】『3 4 + 7 2 3 *  – *』
【3】『4 +  7 2 3 *  – *』
【3, 4】『+  7 2 3 *  – *』
【7】『7 2 3 * – *』
【7, 7】『2 3 *  – *』
【7, 7, 2,】『3 *  – *』
【7, 7, 2, 3】『*  – *』
【7, 7, 6】『- *』
【7, 1】『*』
【7】『』

由於逆波蘭表示法的計算規則簡單，可以藉著堆疊減少計算機記憶體的需求，又容易程式化，所以德國的計算機科學家 Friedrich Ludwig Bauer 和荷蘭的計算機科學家 Edsger Wybe Dijkstra 於一九六零年代初期提議用之於表達式的求值，其後澳大利亞計算機科學家 Charles Leonard Hamblin 擴充了逆波蘭表示法與其相應的計算機演算法，始廣為人知。

350px-HP_35_Calculator

220px-HP_35_pocket_calculator_main_board

因此於一九六零年代中後期廣泛的被使用在桌上型計算器，也開始應用於工程、商業和金融等等領域。HP-35型科學計算器是  HP 惠普公司在一九七二年所推出的世界上第一台手持式科學計算器。它使用發光二極體作為輸出設備，可以顯示十個位數。它採用逆波蘭表示法不但能夠進行加減乘除，還有三角函數、指數、對數運算等等的功能，由於一共擁有三十五個按鍵而得名。這台出色的機器敲響了工程用的『計算尺』之喪鐘，使它進了歷史的博物館。雖然尚有一些愛好者，只可惜風光早已不在。

二零零九年四月十五日， IEEE 宣布授予HP-35型計算器 IEEE 電子工程及計算里程碑獎。

相對論將『觀察者』帶入物理，改變了『量測』的基本觀念。雖然無限精準的『測量』即使作不到，尚且還可以想像。但是量子力學把『量測』的『測不準』原理放進物理，就是說連想像『粒子』的『軌跡』在原理上都不『允許』！！量子力學是使用著『運算子』operator 的語言來描寫微小粒子之『事件概率』的『波函數』。那『測不準原理』是什麼呢？所謂『經典物理學』classic physics 對一個『物體』運動軌跡的描述是由它的『位置』和『速度』或說『動量』所確定的，一九二七年德國的維爾納‧海森堡 Werner Heisenberg  卻講任何『量子系統』之『量測』必為如下的關係式所制約︰

\Delta x \Delta p \ge \hbar

\Delta t \Delta E \ge \hbar

這並不是因為觀察者的量測，影響了系統── 比方說用粗大的溫度計量一小杯水的溫度 ──所導致的『觀察者效應』，而是宇宙的本質如此。所以即使是想像一個箱子裡的『電子軌跡』都沒有『旨趣』，你不量測它想說它是『波』或者是『粒子』之象純屬『無謂』。這引發一些物理學大方家不滿，認為量子力學根本尚未『完備』。就像發展完成量子力學『波動方程式』的埃爾溫‧薛丁格，他卻也是提出一個稱之為『薛丁格貓 』之想像實驗的人，用以表達目前量子力學之『哥本哈根詮釋』所必須思考的嚴峻性矛盾問題︰

300px-Schrodingers_cat.svg

薛丁格是如此描述這個實驗的：

實驗者甚至可以設置出相當荒謬的案例來。把一隻貓關在一個封閉的鐵容器裡面，並且裝置以下儀器（注意必須保固 這儀器不被容器中的貓直接干擾）：在一台蓋革計數器內置入極少量放射性物質，由於物質的數量極少，在一小時內，這個放射性物質至少有一個原子衰變的機率為 50%，它沒有任何原子衰變的機率也同樣為50%；假若衰變事件發生了，則蓋革計數管會放電，通過繼電器啟動一個榔頭，榔頭會打破裝有氰化氫的燒瓶。經過 一小時以後，假若沒有發生衰變事件，則貓仍舊存活；否則發生衰變，這套機構被觸發，氰化氫揮發，導致貓隨即死亡。用以描述整個事件的波函數竟然表達出了活貓與死貓各半糾合在一起的狀態。
類似這典型案例的眾多案例裏，原本只局限於原子領域的不明確性被以一種巧妙的機制變為宏觀不明確性，只有通過打開這個箱子來直接觀察才能解除這樣的不明確性。它使得我們難以如此天真地接受採用這種籠統的模型來正確代表實體的量子特性。就其本身的意義而言，它不會蘊含任何不清楚或矛盾的涵義。但是，在一張搖晃或失焦的圖片與雲堆霧層的快照之間，實則有很大的不同之處。

不僅如此，在量子系統中，假使兩個粒子在經過短時間彼此間耦合之後，儘管將這兩個粒子分隔很遠的一段距離，量測其中任何一個粒子，會不可避免地影響到另外一個粒子的度量性質，彷彿有隔空的傳心術一般，這種關聯現象稱之為『量子糾纏 』quantum entanglement 。

當初愛因斯坦，波多爾斯基和羅森三人提出 ──  Albert Einstein, Boris Podolsky and Nathan Rosen EPR paradox  ── 這個悖論的目的是想用，沒有任何『物理訊息』── 量子糾纏也該不行 ──的傳播能夠超過『光速』，來證明量子力學的不完備性。但是多次重複所做的實驗已經證實量子糾纏的這個論點，也就是說，量子糾纏的速度確實比光速還要快。最近完成的一項實驗顯示，量子糾纏的作用速度至少比光速快上萬倍，這還只是速度的下限，因為根據量子理論，測量效應是瞬時的。

人類打開了大自然的『天書』，讀取了其中『幾頁』，到底該如何『理解』進而能『詮釋』它呢？許多跡象顯示現今的人們多半只愛談『應用』，至於到底『電子』是存在的嗎？或只是為著理論的『方便』所作的『虛構』的呢？假使它果存在，又為什麼時而是『粒子』時而是『波』的呢？……就留與其人了！！

是否會想懷舊，自己製作一支過去的計算尺，設想著明日之量測

Download (PDF, 20KB)

下載地址